Eenparige cirkelbeweging

Het volgende is in hoofdstuk 8 Goniometrie aan de orde geweest.
Een punt beweegt volgens de standaardcirkelbeweging: ${\begin{cases} x = cos (t) \\ y = sin (t) \end{cases}$ .
Dat is de beweging over de eenheidscirkel in tegenwijzerrichting met startpunt $(1,0)$ . We nemen de tijd in seconden en de afstanden in cm. De grootte van de snelheid is dan $1$ cm/s.
In deze paragraaf variëren we op de standaardcirkelbeweging.

$P$ beweegt volgens ${\begin{cases} x = R cos (t) \\ y = R sin (t) \end{cases}$ , met $R > 0$ .

Beschrijf de beweging van $P$ zoals hierboven voor de eenheidscirkel gedaan is.
Kun je de snelheid van $P$ bepalen zonder te differentiëren? Licht je antwoord toe.

Bereken de snelheidsvector op tijdstip $t$ .

Bereken de snelheid. Is je antwoord hetzelfde als in vraag a?

Gebruik het inproduct om te laten zien dat de snelheidsvector loodrecht staat op de straal.

Hiernaast zie je een schijf met middelpunt. Er is een punt $A$ op de rand van de schijf aangegeven en nog een punt $B$ . De schijf draait met constante snelheid om het middelpunt. De snelheidsvector van het punt $B$ is getekend.

Teken op het werkblad de snelheidsvector van het punt $A$ . Let op de juiste lengte.

(hint)

Gebruik gelijkvormigheid.

We bekijken de cirkelbeweging ${\begin{cases} x = 7 cos (ω t) \\ y = 7 sin (ω t) \end{cases}$
met $ω$ willekeurig, ongelijk $0$ .

Beschrijf de beweging als $ω = 2$ .
Hoelang duurt een rondje? Hoe groot is de snelheid (niet differentiëren)?
Licht je antwoord toe.

Neem $ω = ‐ 2$ . Wat is het verschil met de beweging in het geval $ω = 2$

Druk de snelheidsvector op tijdstip $t$ in $ω$ uit.

Bereken de (grootte van) snelheid. Klopt dat met je antwoord in vraag a en b?

Beschrijf de beweging ${\begin{cases} x = 4 \cos (‐ t) + 2 \\ y = 4 \sin (‐ t) - 3 \end{cases}$ precies.

$A$ is het punt $(a, b)$ .
Punt $P$ beweegt volgens ${\begin{cases} x = R \cos (ω t) + a \\ y = R \sin (ω t) + b \end{cases}$ , met $R > 0$ en $ω \neq 0$ .

De baan is een cirkel met middelpunt $A$ . De beweging gaat in tegenwijzerrichting als $ω > 0$ , anders in wijzerrichting.
De tijd voor één rondgang is: $\frac{2 π}{| ω |}$ . Omdat de snelheid van $P$ constant $| ω R |$ is, spreken we van een eenparige cirkelbeweging.

Andere bewegingen over de cirkel

De bewegingsvergelijkingen van $P$ zijn:
${\begin{cases} x = R \cos (t^{2}) \\ y = R \sin (t^{2}) \end{cases}$ , met $R$ positief.

Leg uit dat $P$ over een cirkel beweegt, maar niet steeds dezelfde snelheid heeft.

Hoe vaak wordt het punt $(0, R)$ gepasseerd op het tijdsinterval $[0,10]$ ?

Welke afstand legt $P$ af in het tijdsinterval $[0, t]$ ?

Bepaal hoe groot de snelheid van $P$ op tijdstip $t$ is, zonder de snelheidsvector te bepalen. Licht je antwoord toe.

Bereken de snelheidsvector op tijdstip $t$ met differentiëren.

Wat is de snelheid op tijdstip $t$ volgens vraag d? Klopt die met je antwoord op vraag c?

In een eerder hoofdstuk hebben we ook andere bewegingen over de eenheidscirkel bekeken, bijvoorbeeld de beweging:
${\begin{cases} x = \frac{2 t}{t^{2} + 1} \\ y = \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1} \end{cases}$ .

Ga langs algebraïsche weg na dat de beweging over de eenheidscirkel gaat.

Bereken de snelheidsvector op tijdstip $t$ .

Toon met het inproduct aan dat de snelheidsvector loodrecht staat op de straal.

Horizontaal en verticaal vermenigvuldigen

In het plaatje hierboven wordt rechthoek $R$ horizontaal vermenigvuldigd met factor $2$ . Dat wil zeggen: de afstand van elk punt van de rechthoek tot de $y$ -as wordt verdubbeld (en de afstand tot de $x$ -as blijft gelijk). Het beeld is rechthoek $S$ .
Als je rechthoek $R$ horizontaal met factor $‐ \frac{1}{2}$ vermenigvuldigt, krijg je rechthoek $T$ .

Wat zijn de coördinaten van het punt dat je krijgt door het punt $(a, b)$ horizontaal met factor $‐ 3$ te vermenigvuldigen? En als je het met factor $p$ vermenigvuldigt?

Wat is het beeld van $(a, b)$ bij verticale vermenigvuldiging met factor $p$ ?

Wat is het beeld van $(a, b)$ bij vermenigvuldiging met factor $p$ ten opzichte van de oorsprong $O (0,0)$ ?

Het punt $(a, b)$

horizontaal vermenigvuldigen met $p$ geeft het punt $(p a, b)$ ,
verticaal vermenigvuldigen met $p$ geeft het punt $(a, p b)$ ,
ten opzichte van $O (0,0)$ vermenigvuldigen met $p$ geeft het punt $(p a, p b)$ .

$P$ maakt de standaardcirkelbeweging: ${\begin{cases} x = \cos (t) \\ y = \sin (t) \end{cases}$ .
$Q$ is het punt dat je krijgt door $P$ horizontaal met $2$ te vermenigvuldigen.
Met $P$ beweegt ook $Q$ .

Geef de bewegingsvergelijkingen van $Q$ .

Bereken de snelheidsvector van $Q$ op tijdstip $t$ .

figuur bij opgave 18c

In de figuur zie je de baan van $Q$ , met $Q$ in een bepaalde positie.

Construeer de snelheidsvector van $Q$ in die positie met behulp van de snelheidsvector van $P$ in een geschikte positie.
(Geef zoals gebruikelijk een snelheidsvector met grootte $1$ aan met lengte $1$ .)
Licht je antwoord toe.

In welke punten van de baan is de snelheid van $Q$ het grootst? Licht je antwoord toe.

Ga met behulp van onderdeel b na dat de snelheid van $Q$ op tijdstip $t$ gelijk is aan $\sqrt{3 \sin^{2} (t) + 1}$ .

Ga met de formule in het vorige onderdeel na in welke punten $Q$ het snelst beweegt. Licht je antwoord toe. Geef je antwoord exact, zonder te differentiëren.

De baan van $Q$ noemen we een ellips.

Door de eenheidscirkel horizontaal en/of verticaal te vermenigvuldigen krijg je een ellips. Een ellips heeft twee symmetrieassen (tenzij de vermenigvuldigingsfactor $‐ 1$ of $1$ is).
De stukken hiervan die binnen de ellips liggen heten korte en lange as

We gaan een vergelijking van de ellips van opgave 18 opstellen.
Het punt $Q (x, y)$ op de ellips krijg je door $P$ (het origineel van $Q$ ) horizontaal met $2$ te vermenigvuldigen.
De eerste coördinaat van $P$ noemen we $x_{oud}$ en de tweede $y_{oud}$ . Er geldt: $x_{oud}^{2} + y_{oud}^{2} = 1$ .

Druk de coördinaten van $Q$ uit in $x_{oud}^{}$ en $y_{oud}^{}$ .

Met behulp van a kun je de vergelijking $x_{oud}^{2} + y_{oud}^{2} = 1$ herschrijven tot een verband tussen $x$ en $y$ .

Welke vergelijking vind je zo?

Gegeven de figuur met vergelijking ${(\frac{x}{2})}^{2} + {(\frac{y}{3})}^{2} = 1$

Bereken langs algebraïsche weg de coördinaten van de snijpunten van de figuur met de coördinaatassen.

Teken de figuur in GeoGebra.

De figuur ontstaat door de eenheidscirkel horizontaal en verticaal met bepaalde factoren te vermenigvuldigen.

Hoe?

De figuur met vergelijking $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , met $a, b > 0$ is een ellips.
Als $a \neq b$ , is de ellips geen cirkel en kunnen we spreken van de assen van de ellips. Die liggen op de coördinaatassen en hebben lengte $2 a$ en $2 b$ .

In opgave 19 heb je een manier gevonden om een vergelijking van de beeldfiguur (ellips) te vinden met de vergelijking van de originele figuur (eenheidscirkel). Die manier kun je algemener gebruiken.
We verschuiven de eenheidscirkel over de vector $(\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix})$ .
Een punt $(x, y)$ op de beeldfiguur ontstaat uit een punt $(x_{oud}, y_{oud})$ op de eenheidscirkel.

Druk $x$ en $y$ uit in $x_{oud}$ en $y_{oud}$ .

De vergelijking $x_{oud}^{2} + y_{oud}^{2} = 1$ kun je herschrijven tot een vergelijking in $x$ en $y$ .

Doe dat.

Geef een vergelijking van de ellips met een horizontale as van lengte $4$ en verticale as van lengte $6$ , waarbij de assen snijpunt $(1,2)$ hebben.

De ellips met een horizontale as van lengte $2 p$ , een verticale as van lengte $2 q$ en symmetriepunt $(a, b)$ heeft vergelijking $\frac{{(x - a)}^{2}}{p^{2}} + \frac{{(y - b)}^{2}}{q^{2}} = 1$ .

Een punt $P$ beweegt volgens: ${\begin{cases} x = t \cos (t) \\ y = t \sin (t) \end{cases}$ , met $t \geq 0$ .
De baan is een zogenaamde spiraal van Archimedes.

Bereken de snelheidsvector op tijdstip $t$ .

De beweging gaat over een ‘uitdijende’ cirkel met straal $t$ en met ‘omlooptijd’ $2 π$ .

Schrijf de snelheidsvector $\vec{v} (t)$ op tijdstip $t$ in de vorm:
$\vec{v} (t) = (\begin{array}{l} \dots \\ \dots \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} \dots \\ \dots \end{array})$ .

$\vec{v} (t)$ is dus de som van twee componenten ${\vec{v}}_{rad} (t)$ en $t \cdot {\vec{v}}_{tan} (t)$ .

Ga na dat de eerste component ${\vec{v}}_{rad} (t)$ radieel gericht is, dat wil zeggen in de richting van de straal.
Ga na dat de tweede component $t \cdot {\vec{v}}_{tan} (t)$ tangentieel gericht is, dat wil zeggen in de raakrichting van de cirkel met straal $t$ .
(Latijn: tangĕre=raken)

Hieronder en op het werkblad is een stuk van de baan getekend.

Teken de radiële en tangentiële component van de snelheidsvector in het aangegeven punt.

Bereken de snelheid op tijdstip $t$ op twee manieren: met je antwoord op a en met je antwoord op d.

Versnelling

Bij een eenparig rechtlijnige beweging is de versnelling $0$ . Omgekeerd: als de versnelling bij een beweging $0$ is, dan is de beweging eenparig rechtlijnig. Verandert de snelheidsvector bij een beweging in richting of in grootte, dan is er sprake van een versnelling. De versnelling wordt gedefinieerd als de verandering van de snelheidsvector.

$P$ beweegt volgens ${\begin{cases} x (t) \\ y (t) \end{cases}$ .
De versnellingsvector $\vec{a}$ van $P$ is dan: $\vec{a} = (\begin{array}{l} x^{″} (t) \\ y^{″} (t) \end{array})$ .

Als je een voorwerp aan een touw rond slingert, is er een kracht nodig in de richting van het middelpunt van de cirkel, de zogenaamde centripetale kracht $\vec{F}$ .
Er geldt (tweede wet van Newton) $\vec{F} = m \cdot \vec{a}$ . We noemen $\vec{a}$ de centripetale versnellingsvector. (Latijn: petĕre=zoeken)

Bekijk de standaardcirkelbeweging en ga na dat de versnellingsvector in de richting van het middelpunt wijst.

Neem aan: $R > 0$ .

Bereken de grootte van de versnellingsvector van de beweging: ${\begin{cases} x = R \cos (t) \\ y = R \sin (t) \end{cases}$ .

Bekijk de beweging ${\begin{matrix} x = R \cos (ω t) \\ y = R \sin (ω t) \end{matrix}$ .

Wat is de grootte van de versnellingsvector?

Laat zien dat de versnelling gelijk is aan $\frac{v^{2}}{R}$ , waarbij $v$ de snelheid is.

Bereken de versnellingsvector van de beweging van de kanonskogel van opgave 1.

Wat stelt deze versnelling voor?

Bekijk nog eens de beweging van opgave 5: ${\begin{cases} x = t^{2} \\ y = \frac{2}{3} t^{3} - 4 t \end{cases}$ .

Bepaal exact in welk punt de versnelling absoluut gezien minimaal is.