14.3 Samengestelde bewegingen >

Hoofdstukken > Snelheid en richting

In deze paragraaf bekijken we de baan en de snelheid van een punt dat aan twee bewegingen tegelijkertijd deelneemt. In paragraaf 2 van hoofdstuk 11 Bewegen hebben we gezien dat de snelheidsvector van de resulterende beweging de som van de snelheidsvectoren van de twee samenstellende delen is. Hier vergelijken we die manier met het bepalen van de snelheidsvector door differentiëren.

De cycloïde

Een cirkel met straal $1$ cm rolt zonder slippen over de $x$ -as (de grondlijn). Het middelpunt $M$ van de cirkel is op tijdstip $t$ in $(t,1)$ .
We bekijken nog eens de beweging van het vast gekozen punt $P$ op de cirkelrand dat op $t = 0$ in $O (0,0)$ is. De baan van $P$ is een cycloïde.

Bepaal de tijdstippen waarop $P$ op de grondlijn komt en ook de tijdstippen waarop $P$ maximale hoogte heeft exact.

Kun jij zonder differentiëren zeggen wat de snelheidsvector van $P$ is op het moment dat het op de grondlijn komt? Licht je antwoord toe.

Wat is de snelheidsvector van $P$ in de toppen (zonder differentiëren)? Licht je antwoord toe.

We gaan verder met opgave 25. Zoals eerder opgemerkt, neemt $P$ deel aan twee bewegingen.

$P$ beweegt over de cirkel met middelpunt $M$ in wijzerrichting en is op tijdstip $t = 0$ in het laagste punt van de cirkel.
$M$ beweegt over de lijn $y = 1$ en is op $t = 0$ in $(0,1)$ .

Bepaal de snelheidsvector op tijdstip $t$ bij elk van deze bewegingen.

De snelheidsvector van $P$ op tijdstip $t$ is de som van de vectoren uit vraag a.

Welke snelheidsvector op tijdstip $t$ vind je?

De bewegingsvergelijkingen van $P$ zijn: $(t - \sin (t), 1 - \cos (t))$ .

Ga na dat je hetzelfde antwoord als in b vindt door de snelheidsvector bij deze beweging met differentiëren te bepalen.

In het hoofdstuk Bewegen heb je de snelheidsvector in een punt $P$ van de cycloïde geconstrueerd.

figuur 1

Voer die constructie nog eens uit op het werkblad.

In het vervolg van deze opgave gaan we een mooie eigenschap van de snelheidsvector ontdekken. Daarmee kunnen we dan handiger de raaklijn in $P$ aan de cycloïde vinden.

figuur 2

We zullen zien dat lijn $P Q$ in figuur 2 de raaklijn aan de cycloïde is in $P$ . Hierbij is $Q$ het hoogste punt op de rolcirkel. De lijn loodrecht op $P M$ snijdt de "topraaklijn" in $S$ . De lijn door $P$ evenwijdig aan de grondlijn noemen we $k$ .

Waarom zijn de driehoeken $S P M$ en $S Q M$ congruent?

Dus de hoeken $P S M$ en $Q S M$ zijn even groot.

Waarom is lijn $P Q$ bissectrice van de lijnen $S P$ en $k$ ?

In opgave 26 hebben we gezien dat de snelheidsvector van de som van twee snelheidsvectoren is, één die evenwijdig is met lijn $k$ en één die evenwijdig is met lijn $S P$ .

Hoe volgt nu dat de somvector van deze twee evenwijdig is met lijn $P Q$ ?

Figuur 2 toont de plaats van $P$ op een bepaald moment.

Welk punt van de rolcirkel staat op dat moment stil?

Opmerking:

De raaklijn in een punt van de cycloïde gaat door de top van de rolcirkel.

Er is nog een andere manier om in te zien dat elke raaklijn aan de cycloïde door de top van de rolcirkel gaat. Het punt uit onderdeel e van opgave 27 noemen we $X$ .
Op dat moment draait lijnstuk $P X$ dus om $X$ . Omdat de raaklijn in een punt aan de cirkel loodrecht op de straal staat, volgt hieruit dat de raaklijn in $P$ aan de cycloïde door de top van de rolcirkel gaat.

Leg dat uit.

Opmerking:

Dat de snelheidsvector van de resulterende beweging de som van de snelheidsvectoren van de twee samenstellende delen is, volgt ook uit de somregel voor differentiëren.

$P$ is een punt van een cycloïde. De getrokken lijn is de grondlijn. Het middelpunt van de rolcirkel heeft de stippellijn als baan.

Teken op het werkblad de raaklijn in $P$ aan de cycloïde als $P$ op een opgaand stuk van de cycloïde ligt. Licht je antwoord toe.

Teken de raaklijn in $P$ aan de cycloïde als $P$ op een neergaand stuk van de cycloïde ligt. Licht je antwoord toe.

De limaçon

figuur 1

In het hoofdstuk Bewegen hebben we de limaçon bekeken.
Een cirkel (de rolcirkel genoemd, in figuur 1 wit) wordt zonder slippen om een andere cirkel (in figuur 1 oker) gerold. Beide cirkels hebben dezelfde straal. We volgen de beweging van een punt $P$ op de omtrek. De baan van $P$ wordt limaçon genoemd.
Neem aan: de cirkels hebben straal $1$ . We brengen een assenstelsel aan zó dat het contactpunt van de cirkels de standaardcirkelbeweging maakt, dat wil zeggen dat $P$ op $t = 0$ in $(1,0)$ is en met snelheid $1$ eenheid/s linksom over de eenheidscirkel beweegt. (Zeg dat $t$ de tijd is, die we rekenen in seconden.) De baan van $P$ is hieronder getekend. Het middelpunt van de rolcirkel beweegt over de gestippelde cirkel.

$P$ neemt deel aan twee bewegingen:

$P$ draait in tegenwijzerrichting over de rolcirkel met middelpunt $M$ ,
het middelpunt $M$ draait in tegenwijzerrichting om $O$ over een cirkel met straal $2$ .

De gegevens zijn zoals hierboven beschreven.
Zoals we in het hoofdstuk Bewegen gezien hebben beweegt het punt $P$ twee keer zo snel als het contactpunt De bewegingsvergelijkingen van het punt $P$ zijn: ${\begin{matrix} x = 2 \cos (t) - \cos (2 t) \\ y = 2 \sin (t) - \sin (2 t) \end{matrix}$ .

Bepaal de snelheidsvector van de beweging met differentiëren.

Wat is de snelheidsvector op $t = 0$ ?

Bereken exact de tijdstippen waarop $P$ horizontaal beweegt, met behulp van de snelheidsvector uit a.

Bereken ook exact de tijdstippen waarop $P$ verticaal beweegt, met behulp van de snelheidsvector uit a.

De calypso

In het hoofdstuk Bewegen hebben we ook de calypso bekeken.

P

is een punt op een draaiende schijf. Die schijf zit op haar beurt met het middelpunt

M

vast op een grotere ronddraaiende schijf. Hiernaast staat een bovenaanzicht. In een geschikt assenstelsel wordt de beweging van

M

gegeven door:

{\begin{matrix} x = 2 \cos (t) \\ y = 2 \sin (t) \end{matrix}

en die van

P

ten opzichte van

M

door:

{\begin{matrix} x = \cos (2 t) \\ y = ‐ \sin (2 t) \end{matrix}

Beschrijf de beweging van $M$ ten opzichte van $O$ in woorden.
Doe dat ook voor de beweging van $P$ ten opzichte van $M$ .

De beweging van $P$ ten opzichte van $O$ wordt gegeven door: ${\begin{matrix} x = 2 \cos (t) + \cos (2 t) \\ y = 2 \sin (t) - \sin (2 t) \end{matrix}$ .
De baan ziet er zó uit.

Er is een tijdstip tussen $0$ en $π$ waarop de eerste coördinaat van $P$ gelijk is aan $\frac{1}{2}$ .

Bereken dit tijdstip exact.

(hint)

Gebruik

\cos (2 t) = 2 \cos^{2} (t) - 1

, dan krijg je een kwadratische vergelijking in

\cos (t)

Teken op het werkblad de kleine schijf op dit tijdstip.

Construeer de snelheidsvector waarmee $P$ op dat moment beweegt als som van de snelheidsvectoren van de twee afzonderlijke bewegingen.

Bepaal de snelheidsvector op tijdstip $t$ met differentiëren.

Controleer je antwoord op d met de snelheidsvector die je in e gevonden hebt.

De calypsokromme heeft drie punten waar de snelheidsvector $\vec{0}$ is.

Welke punten van de kromme zijn dat, denk je?

Beredeneer dat de snelheidsvector in $(3,0)$ gelijk aan $\vec{0}$ is.

Bereken de coördinaten van de punten waar de snelheidsvector $\vec{0}$ is, met behulp van de snelheidsvector uit opgave 31e.

Jakob Steiner (1796-1863)
Zwitsers wiskundige

De calypsokromme van opgave 31 kun je ook als volgt krijgen.
Neem een punt $P$ op een cirkel met straal $1$ . Rol die cirkel aan de binnenkant over een cirkel met straal $3$ . Als je de cirkel met straal $3$ met middelpunt $O$ neemt en $P$ door $(3,0)$ laat gaan, krijg je precies de figuur van opgave opgave 31. De baan van $P$ staat bekend als de Deltoïde van Steiner. Zie de GeoGebra applet Deltoïde. Je kunt hem ook bij Wikipedia vinden: http://it.wikipedia.org/wiki/Deltoide_(curva).

In opgave 31 hebben we de draaisnelheid van de kleine schijf twee keer zo groot genomen als die van de grote schijf. Als je hem drie keer zo groot neemt, krijg je de figuur hierboven links en als je hem vier keer zo groot neemt de figuur hierboven rechts. De Deltoïde is een speciaal geval van de calypso's.