De baan is de cirkel met middelpunt $O$ en straal $R$. Hij wordt in tegenwijzerrichting doorlopen in $2\text{π}$ seconden, dus de snelheid is $R$.

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}R\text{sin}(t)\\ R\text{cos}(t)\end{array}\right)$

$\sqrt{R^2{\text{sin}}^{\text{2}}(t)+R^2{\text{cos}}^{\text{2}}(t)}=\sqrt{R^2{\text{(sin}}^{\text{2}}(t)+{\text{cos}}^{\text{2}}(t)\text{)}}=\sqrt{R^2}=R$

$\mathrm{‐}{R}^2\text{sin}(t)\cdot \text{cos}(t)+R^2\cos (t)\cdot \text{sin}(t)=0$

De baan is de cirkel met middelpunt $O$ en straal $7$. Hij wordt in tegenwijzerrichting doorlopen in $\text{π}$ seconden, dus de snelheid is $14$.

Het verschil is dat de baan in wijzerrichting doorlopen wordt.

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}7\text{ω}\text{sin}(\text{ω}t)\\ 7\text{ω}\text{cos}(\text{ω}t)\end{array}\right)$

$\left|7\text{ω}\right|$

Bijvoorbeeld tussen de tijdstippen $0$ en $1$ wordt afstand $R$ afgelegd en tussen de tijdstippen $1$ en $2$ wordt afstand $3R$ afgelegd.

Er wordt een afstand van $100R$ afgelegd, dat zijn $\frac{100}{2\text{π}}\approx \mathrm{15,9...}$rondjes, dus $16$ keer (inclusief op het moment van de start).

De afgelegde afstand is $R{t}^2$;

De snelheid is $2Rt$ ($\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(R{t}^2\right)=2Rt$).

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2Rt\sin (t^2)\\ 2Rt\cos (t^2)\end{array}\right)$

De grootte van de vector uit d is:
$\sqrt{4R^2{t}^2{\sin }^2(t^2)+4R^2{t}^2{\cos }^2(t^2)}=\sqrt{4R^2{t}^2({\sin }^2(t^2)+{\cos }^2(t^2))}=\sqrt{4R^2{t}^2}=2Rt$.
Je kunt het ook zo doen: $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2Rt\sin (t^2)\\ 2Rt\cos (t^2)\end{array}\right)=2Rt\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}\sin (t^2)\\ \cos (t^2)\end{array}\right)$; $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}\sin (t^2)\\ \cos (t^2)\end{array}\right)$ heeft lengte $1$, dus de gevraagde lengte is $2Rt$.

${\left(\frac{2t}{t^2+1}\right)}^2+{\left(\frac{t^2-1}{t^2+1}\right)}^2=\frac{4t^2}{{\left(t^2+1\right)}^2}+\frac{t^4-2t^2+1}{{\left(t^2+1\right)}^2}=$ $\frac{t^4+2t^2+1}{{\left(t^2+1\right)}^2}=1$

De $x$-component van de snelheidsvector is: $\frac{\mathrm{‐}2t^2+2}{{\left(t^2+1\right)}^2}$.
de $y$-component van de snelheidsvector is: $\frac{4t}{{\left(t^2+1\right)}^2}$.

$\frac{\mathrm{‐}2t^2+2}{{\left(t^2+1\right)}^2}\cdot \frac{2t}{{\left(t^2+1\right)}^2}+\frac{4t}{{\left(t^2+1\right)}^2}\cdot \frac{t^2-1}{{\left(t^2+1\right)}^2}=0$.
Het kan ook met minder gereken: in a hebben we gezien dat: $x^2+y^2=1$. Differentiëren naar $t$ geeft volgens de kettingregel: $x\cdot x^{\prime }+y\cdot y^{\prime }=0$.

$(\mathrm{‐}3a,b)$; $(pa,b)$

$(a,pb)$

$(pa,pb)$

$\{\begin{array}{l}x=2\cos (t)\hfill \\ y=\sin (t)\hfill \end{array}$

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\sin \left(t\right)\\ \cos \left(t\right)\end{array}\right)$

figuur bij opgave 18

Teken de snelheidsvector in $P$ en vermenigvuldig die horizontaal met $2$, immers de snelheid in de $x$-richting wordt $2$ keer zo groot en blijft in de $y$-richting hetzelfde.

In de snijpunten met de $y$-as, dan wordt er maximaal 'geprofiteerd' van de horizontale vermenigvuldiging.

De grootte van de snelheidsvector is
$\sqrt{4{\sin }^2(t)+{\cos }^2(t)}=\sqrt{3{\sin }^2(t)+{\sin }^2(t)+{\cos }^2(t)}=\sqrt{3{\sin }^2(t)+1}$.

$\sqrt{3{\sin }^2(t)+1}$ is maximaal als ${\sin }^2(t)$ maximaal is, dat is als $\sin (t)=\pm 1$, dus in de snijpunten met de $y$-as.

$x=2x_{\text{oud}}^{}$ en $y=y_{\text{oud}}^{}$

${\left(\frac{x}{2}\right)}^2+y^2=1\iff x^2+4y^2=4$

Snijpunten met de $x$-as:
$y=0\iff {\left(\frac{x}{2}\right)}^2=1\iff x=\pm 2$, de snijpunten zijn dus: $(\pm \mathrm{2,0})$.
De snijpunten met de $y$-as zijn: $(\mathrm{0,}\pm 3)$.

-

Horizontaal met $2$, verticaal met $3$.

$x=x_{\text{oud}}-2$ en $y={}_{\text{oud}}+3$

$x_{\text{oud}}=x+2$ en $y_{\text{oud}}=y-3$, dus: ${(x+2)}^2+{(y-3)}^2=1$

$\frac{{(x-1)}^2}{4}+\frac{{(y-2)}^2}{9}=1$

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}t\sin (t)+\cos (t)\\ t\cos (t)+\sin (t)\end{array}\right)$

$\overrightarrow{v}\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \left(t\right)\\ \sin \left(t\right)\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}\sin \left(t\right)\\ \cos \left(t\right)\end{array}\right)$

${\overrightarrow{v}}_{\text{rad}}(t)=\left(\begin{array}{c}\cos \left(t\right)\\ \sin \left(t\right)\end{array}\right)$ en wijst in de richting van de straal en ${\overrightarrow{v}}_{\tan }(t)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}\sin \left(t\right)\\ \cos \left(t\right)\end{array}\right)$ staat loodrecht op de straal, want deze vector heeft inproduct $0$ met $\left(\begin{array}{c}\cos \left(t\right)\\ \sin \left(t\right)\end{array}\right)$.

Zie figuur op de volgende bladzijde.

Eerste manier: $\left|\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}t\sin (t)+\cos (t)\\ t\cos (t)+\sin (t)\end{array}\right)\right|=\sqrt{t^2({\sin }^2(t)+{\cos }^2(t))+{\sin }^2(t)+{\cos }^2(t)}$ $=\sqrt{t^2+1}$.
Tweede manier, zie figuur op de volgende bladzijde: de tangentiële component heeft lengte $t$ en de radiële heeft lengte $1$, dus de somvector heeft lengte $\sqrt{t^2+1}$.

figuur bij opgave 21

De versnellingsvector $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}\cos (t)\\ \mathrm{‐}\sin (t)\end{array}\right)$ is tegengesteld aan $\left(\begin{array}{c}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)$.

$R$

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}R{\text{ω}}^2\cos (\text{ω}t)\\ \mathrm{‐}R{\text{ω}}^2\sin (\text{ω}t)\end{array}\right)$

De versnellingsvector heeft grootte $a={\text{ω}}^{2}R$ en de snelheidsvector heeft grootte $v=\text{ω}R$.
$v^2={\text{ω}}^2{R}^2=a\cdot R$.