Snelheid

De baan van een kanonskogel ligt vast op het moment dat die de loop verlaat. (We verwaarlozen de luchtwrijving en er staat geen wind.) Ook ligt de richting en de grootte van de snelheid op elk moment vast. Hoe je deze kunt berekenen is onderwerp van de volgende opgave.

Buiten de onwetende heeft de wetenschap geen vijand

figuur 1

Een kogel wordt afschoten, we veronderstellen vanaf de grond. De baan van de kogel ligt in een verticaal vlak. We brengen daarin een assenstelsel aan: de $x$ -as horizontaal over de grond en de $y$ -as verticaal door het uiteinde van de loop. De snelheidsvector waarmee de kogel de loop verlaat is te ontbinden in zijn componenten langs de $x$ - en $y$ -as.
Neem aan dat de horizontale component grootte $20$ m/s en de verticale component grootte $40$ m/s heeft. Na $t$ seconden is de kogel in $(20 t,40 t - 5 t^{2})$ ; hierbij is de valversnelling afgerond op $10$ m/s². In figuur 1 staat de baan.

Bereken exact op welk moment de kogel op de grond komt.

We gaan de snelheid van de kogel op tijdstip $1$ bepalen. Op tijdstip $1$ is de kogel in $(20,35)$ en op tijdstip $3$ in $(60,75)$ .
De verplaatsing tussen deze tijdstippen is $(\begin{matrix} 40 \\ 40 \end{matrix})$ (in meters). Dus $\frac{1}{3 - 1} \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 40 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 20 \end{matrix})$ (in m/s) is de gemiddelde verplaatsing per seconde. Deze vector zie je in figuur 2.

figuur 2

Wat is de gemiddelde verplaatsing per seconde tussen de tijdstippen $1$ en $2$ ? En tussen $1$ en $1,5$ ? En tussen $1$ en $1,01$ ?

Teken de gemiddelde verplaatsingen per seconde uit vraag b op het werkblad in figuur 1, alle met beginpunt $(20,35)$ .

Deze verplaatsingen benaderen de snelheidvector op tijdstip $1$ .

Wat is, denk je, de snelheidsvector op tijdstip $1$ ?

Benader de snelheidvector op tijdstip $2$ .
Teken deze vector met beginpunt de positie van de kogel op tijdstip $2$ op het werkblad in figuur 2.

Een punt $P$ beschrijft een baan: $x = f (t)$ , $y = g (t)$ .
Hoe bepaal je de snelheidsvector op tijdstip $3$ in $(f (3), g (3))$ ?
De gemiddelde verplaatsing per seconde tussen $3$ en $t$ is
$\frac{1}{t - 3} \cdot (\begin{array}{l} f (t) - f (3) \\ g (t) - g (3) \end{array}) = (\begin{array}{l} \frac{f (t) - f (3)}{t - 3} \\ \frac{g (t) - g (3)}{t - 3} \end{array})$ . Door $t$ tot $3$ te laten naderen, krijgen we de snelheidsvector op tijdstip $3$ . Dat is $(\begin{array}{l} f^{'} (3) \\ g^{'} (3) \end{array})$ .

$f^{'} (3)$ is de horizontale component van de snelheidsvector.
$g^{'} (3)$ is de verticale component van de snelheidsvector.
De snelheidsvector geeft de richting van de baan in $(f (3), g (3))$ . De lijn door $(f (3), g (3))$ met richtingsvector $(\begin{array}{l} f^{'} (3) \\ g^{'} (3) \end{array})$ is raaklijn aan de baan.
De snelheid op tijdstip $3$ is $\sqrt{f^{'} {(3)}^{2} + g^{'} {(3)}^{2}}$ ; dat is de grootte van de snelheidsvector.

Een bewegend punt $P$ bevindt zich op tijdstip $t$ in $(f (t), g (t))$ .
De snelheidsvector van $P$ op tijdstip $t$ is: $(\begin{array}{l} f^{'} (t) \\ g^{'} (t) \end{array})$ .

De snelheid van $P$ op tijdstip $t$ is: $\sqrt{f^{'} {(t)}^{2} + g^{'} {(t)}^{2}}$ .
De lijn door $(f (t), g (t))$ met de snelheidsvector als richtingsvector is raaklijn aan de baan.

Opmerking:

De procedure hierboven om de snelheidsvector van een bewegend punt op een tijdstip te vinden is hetzelfde als de procedure om de helling van een gewone grafiek van een functie te vinden. Die procedure levert bij een gewone grafiek de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Bij een kromme krijg je een richtingsvector van de raaklijn. (Behalve als de snelheidsvector $(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array})$ is; daaruit is de richting van de raaklijn niet direct te vinden.)
Het is fysisch duidelijk dat de snelheidsvector wijst in de richting van de baan: anders vliegt het punt uit de baan.
In het plaatje hiernaast wijst de snelheidsvector niet in de richting van de baan, maar heeft hij een component loodrecht op de baan. Die zou veroorzaken dat het punt niet zijn baan vervolgt.

We gaan verder met opgave 1.

Bereken de snelheidsvector op tijdstip $t$ .

Teken enkele snelheidsvectoren van het kogeltje; laat ze alle in hetzelfde punt beginnen en kies voor afstand “ $20$ ” een lengte van $20$ mm. Als voorbeeld is de snelheidsvector op tijdstip $0$ hiernaast getekend.

Als je alle snelheidsvectoren zou tekenen, met steeds hetzelfde beginpunt, zou een driehoek helemaal opgevuld worden.

Teken die driehoek.

Opmerking:

Algemeen geeft een snelheidsvector $\vec{v}$ twee dingen aan:

in welke richting de beweging plaatsvindt en
hoe snel de beweging plaatsvindt.

In de natuurkunde spreekt men van snelheid waar wij snelheidsvector gebruiken. In het Engels is velocity de snelheidsvector en speed de grootte van de snelheidsvector.

Een punt $P$ beweegt in een assenstelsel. $P$ bevindt zich op tijdstip $t$ in het punt $(x, y) = (1 + 3 t^{2},2 - 4 t^{2})$ .
We schrijven ook wel:
de bewegingsvergelijkingen van $P$ zijn: ${\begin{matrix} x = 1 + 3 t^{2} \\ y = 2 - 4 t^{2} \end{matrix}$ .

Leg uit dat $P$ over een halve lijn beweegt. Teken die halve lijn.

Beschrijf de halve lijn met een vergelijking en een ongelijkheid.

Bereken de snelheidsvector van $P$ op tijdstip $t$ .

In welk punt heeft $P$ snelheid $10$ ?

De bewegingsvergelijkingen van een punt $P$ zijn: ${\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 4 t \end{cases}$ .

Teken de lijn waarover $P$ beweegt.

Laat met een berekening zien dat de gemiddelde verplaatsing van $P$ per seconde tussen de tijdstippen $t_{1}$ en $t_{2}$ niet van $t_{1}$ en $t_{2}$ afhangt.

Bereken de hoek die de snelheidsvector met de $x$ -as maakt.

De bewegingsvergelijkingen van een punt $P$ zijn: ${\begin{cases} x = t^{2} \\ y = \frac{2}{3} t^{3} - 4 t \end{cases}$ .

Hierboven staat de baan van $P$ .

In welke richting gaat $P$ door de oorsprong?

Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten met de $x$ - en $y$ -as.

Bereken de snelheidsvector op tijdstip $t$ .

In welke punten is de snelheidsvector horizontaal (evenwijdig met de $x$ -as) en in welke punten verticaal? Schrijf je berekening op.

Wat is de snelheid op tijdstip $t$ ?

Snelheid en raken

We gaan verder met opgave 5. Het punt $(9,6)$ van de baan noemen we $T$ .

Bereken de snelheidsvector in $T$ .

Bereken de hoek van die snelheidsvector in $T$ met de positieve $x$ -as maakt.

Geef een vergelijking van de raaklijn in $T$ aan de baan.

Bereken exact de tijdstippen waarop het bewegende punt op de plekken is waar de raaklijn een hoek van $45 °$ met de $x$ -as maakt.

Je kunt eenzelfde baan met verschillende snelheden doorlopen. In de volgende opgave vergelijken we de snelheidsvectoren.

Bekijk de beweging: ${\begin{cases} x = {\sqrt[3]{t}}^{2} \\ y = \frac{2}{3} t - 4 \sqrt[3]{t} \end{cases}$ .

Laat langs algebraïsche weg zien dat de baan hetzelfde is als die van opgave 5.

Bereken de snelheidsvector in $T (9,6)$ . Ga na dat deze een veelvoud is van de snelheidsvector in $T$ van opgave 6.

Opmerking:

De grootte van de snelheidsvector in $T$ is in opgave 7 anders dan in opgave 6. De richtingen van de snelheidsvectoren in $T$ zijn in de opgaven hetzelfde. Dat spreekt eigenlijk vanzelf, want beide wijzen in de richting van de baan.

De kromme uit opgave 5 bestaat uit twee delen die beide grafiek van een gewone functie zijn. Bekijk het deel waarop $T$ ligt. Als je de functie waarvan dat deel de grafiek is differentieert, kun je ook een vergelijking van de raaklijn vinden. We gaan in opgave 8 na of je zodoende hetzelfde resultaat vindt.

Gegeven de functie $f$ met $f (x) = \frac{2}{3} x \sqrt{x} - 4 \sqrt{x}$ .

Laat langs algebraïsche weg zien dat de grafiek van $f$ een deel van de baan van het bewegend punt $P$ uit opgave 5 is.

Het punt $T (9,6)$ ligt op de grafiek van $f$ .

Geef een vergelijking van de raaklijn in $T$ aan de grafiek van $f$ met behulp van $f^{'}$ .

Een punt $A$ beweegt volgens: ${\begin{cases} x = t^{2} \\ y = t^{3} \end{cases}$ .
Hiernaast staat de baan.

Bereken de snelheidsvector van $A$ op tijdstip $t$ .

Waarom kun je de richting van de baan op $t = 0$ niet bepalen met behulp van de snelheidsvector?

De baan bestaat uit twee 'takken'. Elk van de takken is grafiek van een functie.

Geef van beide functies een formule: $y = \dots$ .

Wat is de richting van de baan in $O (0,0)$ ? Licht je antwoord toe.

Herhaling
Als $α$ de hoek tussen twee vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ (beide niet $\vec{0}$ ) is, dan geldt: $\vec{v} \cdot \vec{w} = | \vec{v} | \cdot | \vec{w} | \cdot \cos (α)$ .

De baan in opgave 5 snijdt zichzelf in $(6,0)$ .

Bereken exact de cosinus van de hoek waaronder dit gebeurt. (Dat is de hoek van de raaklijnen aan de twee stukken baan in $(6,0)$ .)