1

a

b

Ik meet in de driehoek voor $B X = 2,6$ cm, dus de afstand is ongeveer $260$ meter.

2

a

hoogte parallellogram is $1 \frac{1}{2} \cdot sin (30 °) = \frac{3}{4}$

b

c

oppervlakte parallellogram is $\frac{3}{4} \cdot 5 = 3 \frac{3}{4}$

3

a

antwoord bij a

antwoord bij b

b

Zie rechter figuur hierboven.

c

$4 \cdot 5 = 20$

4

a

hoogte $= 7 \cdot sin (60 °) = 3 \frac{1}{2} \sqrt{3}$ , oppervlakte $= 6 \cdot 3 \frac{1}{2} \sqrt{3} = 21 \sqrt{3}$

b

$h = b \cdot sin (α)$

c

oppervlakte $= a \cdot h = a \cdot b \cdot sin (α)$

d

Omdat $sin (β) = sin (α)$ .

5

a

$2 \cdot 4 \cdot \sin (50 °) \approx 6,13$

b

De oppervlakte is: $10 \cdot 15 \cdot \sin (60 °) = 10 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} = 75 \sqrt{3}$ .

c

Noem één van de hoeken van het parallellogram $α$ , dan geldt: $5 \cdot 7 \cdot \sin (α) = 21$ , dus $\sin (α) = 0,6$ . Volgens de GR: $\sin^{‐ 1} (0,8) = 36,8 \dots$ , de hoeken zijn dus $37 °$ en $143 °$ .

6

Linker ster: $8 \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin (45 °) = 4 \sqrt{2} = 5,66$
Rechter ster: $6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} = 5,20$

7

a

b

De oppervlakte van het parallellogram is: $4 \cdot 3 \cdot sin (45 °) = 6 \sqrt{2}$ .

c

De oppervlakte van de driehoek is: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot sin (45 °) = 3 \sqrt{2}$ .

8

a

b

De oppervlakte van de driehoek is $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot sin (120 °) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{3}$ .

9

Oppervlakte driehoek $A B C = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin (150 °) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

10

$\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin (α) = 20$ , dus $\sin (α) = \frac{1}{3}$ . De GR geeft: $\sin^{‐ 1} (\frac{1}{3}) = 19,47...$ , dus $α = 19 °$ of $α = 161 °$ .

11

a

Oppervlakte grote driehoek is $\frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 27 \cdot \sin (20 °) \approx 207,78$ .

Oppervlakte kleine driehoek is $\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 15 \cdot \sin (20 °) \approx 64,13$ .
NB. In klas 3 heb je gezien oppervlakte kleine driehoek $= {(\frac{5}{9})}^{2}$ van de grote driehoek. Dat zie je ook aan de twee formules waarmee je de oppervlakte van de driehoeken berekent: $25$ is $\frac{5}{9}$ van $45$ en $15$ is $\frac{5}{9}$ van $27$ .

b

Klopt.
Invullen geeft: $9,545 \dots \cdot A C \approx 207,78$ , dus $A C \approx 21,8$ .

12

a

$\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \sqrt{3} \cdot \sin (α) = 24 \sqrt{3}$ , dus $\sin (α) = \frac{1}{2}$ , dus $α = 30 °$ .

b

Teken de hoogtelijn $h$ uit $C$ . Dan $h = 12 \cdot \sin (30 °) = 6$ .
Noem het voetpunt op lijnstuk $A B$ van de hoogtelijn $D$ , dan $A D = 12 \cdot \cos (30 °) = 6 \sqrt{3}$ , dus $B D = 2 \sqrt{3}$ en $B C = 4 \sqrt{3}$ (stelling van Pythagoras in driehoek $B C D$ ).

13

Zie plaatje, $M$ is het middelpunt van de cirkel.
Hoek $A M B = \frac{360}{5} = 72 °$ .
Noem de straal van de cirkel $r$ , dan is de oppervlakte vijfhoek $5 \cdot \frac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot \sin (72 °) = 2,377 \dots \cdot r^{2} = 30$ .
Dus $r = 3,55$ .

14

Met de sinusregel: $\frac{sin (10 °)}{B X} = \frac{sin (133 °)}{A B}$ , dus $B X = \frac{1100 \cdot sin (10 °)}{sin (133 °)} = 261$ meter.

15

In driehoek $A B C$ : $\frac{\sin (70 °)}{58} = \frac{\sin (∠ B)}{60}$ geeft $\sin (∠ B) \approx 0,972$ , dus $∠ B \approx {76,4}^{\circ}$ of $∠ B \approx {103,6}^{\circ}$ want een hoek ligt door zijn sinus niet vast!
Uit het plaatje blijkt dat je de scherpe hoek moet hebben, dus: $∠ B \approx {76,4}^{\circ}$ .
In driehoek $D E F$ is de derde hoek $78^{\circ}$ ;
$\frac{\sin (70 °)}{E F} = \frac{\sin (78 °)}{80}$ geeft: $E F \approx 76,9$ .
In driehoek $G H I$ : $\frac{\sin (120 °)}{80} = \frac{\sin (∠ I)}{30}$ geeft $sin (∠ I) \approx 0,325$ , dus $∠ I \approx {19,0}^{\circ}$ , dus $∠ G \approx {41,0}^{\circ}$
In driehoek $L M N$ is $∠ L = 15^{\circ}$ en $∠ L N M = 145^{\circ}$ .
$\frac{sin (145 °)}{60} = \frac{sin (15 °)}{M N}$ geeft $M N \approx 27,1$ .
In driehoek $N O P$ geldt: $\frac{\sin (30 °)}{5} = \frac{\sin (∠ N O P)}{8}$ , dus $\sin (∠ N O P) = 0,8$ , dus $∠ N O P \approx 53,1 °$ of $∠ N O P \approx 126,9 °$ , want een hoek ligt door zijn sinus niet vast!
Uit het plaatje blijkt dat je de stompe hoek moet hebben, dus: $∠ N O P = 126,9 °$ .

16

$∠ A C B = 36 °$ , dus $B C = A B = 236$ m.
$\frac{\sin (30 °)}{236} = \frac{\sin (107 °)}{C D}$ geeft $C D = 451,4$ m.

17

a

$\frac{sin (19 °)}{2} = \frac{sin (∠ A D C)}{5}$ , dit geeft $sin (∠ A D C) = 0,813...$ .
De rekenmachine geeft: ${sin}^{‐ 1} (0,813...) = 54,48... °$ , dus de gevraagde hoek is $126 °$ .

b

$∠ B C A = 19 ° + (90 - 54,48...) ° = 54,5192... °$ en $A B = 5 \cdot sin (∠ B C A) = 4,1$ en $B C = 5 \cdot cos (∠ B C A) = 2,9$ .

18

a

figuur 1

figuur 2

In figuur 1 is de driehoek met de stompe hoek $B$ getekend, in figuur 2 de driehoek met de scherpe hoek $B$ .

b

Noem de scherpe hoek β en bekijk figuur 2 hierboven. Dan is de stompe hoek $B = 180 ° - β$ .

c

$\frac{sin (30 °)}{4} = \frac{sin (β)}{6}$ , dus $sin (β) = \frac{3}{4}$ .

d

Met de GR: ${sin}^{- 1} (\frac{3}{4}) = 48,59... °$
Als hoek $B$ scherp is, dan: $γ = 180 ° - 30 ° - 48,59... ° = 101,40... °$ , dus: $\frac{sin (30 °)}{4} = \frac{sin (101,4 °)}{c}$ , dus $c = \frac{4 \cdot sin (101,4 °)}{sin (30 °)} = 7,84...$ .
Als hoek $B$ stomp is, dan: $γ = 48,59... ° - 30 ° = 18,59... °$ , dus: $\frac{sin (30 °)}{4} = \frac{sin (18,59... °)}{c}$ , dus $c = \frac{4 \cdot sin (18,59 °)}{sin (30 °)} = 2,55...$ .