Loodrecht

Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector $(\begin{matrix} 3 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ staan en even lang zijn als $(\begin{matrix} 3 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ .

Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ staan en even lang zijn als $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ .

Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector $(\begin{matrix} 87 \\ 100 \end{matrix})$ staan en even lang zijn als $(\begin{matrix} 87 \\ 100 \end{matrix})$ .

${\vec{v}}_{L} = (\begin{matrix} ‐ b \\ a \end{matrix})$ en ${\vec{v}}_{R} = (\begin{matrix} b \\ ‐ a \end{matrix})$ staan loodrecht op $\vec{v} = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ en zijn even lang als $\vec{v}$ .
Als je $\vec{v}$ linksom over $90 °$ draait, krijg je ${\vec{v}}_{L}$ ;
als je $\vec{v}$ rechtsom over $90 °$ (met de wijzers van de klok mee) draait, krijg je ${\vec{v}}_{R}$ .

Waarom dat zo is, zie je in het plaatje.
( $a$ en $b$ zijn de lengten van zijden waar ze bij staan.)

$\vec{a}$ en $\vec{b}$ zijn twee (willekeurig gekozen) vectoren en $t$ is een willekeurig getal.

Geldt ${\vec{a}}_{R} + {\vec{b}}_{R} = {(\vec{a} + \vec{b})}_{R}$ ?
Geldt ${(t \cdot \vec{a})}_{R} = t \cdot {\vec{a}}_{R}$ ?
Wat is het verband tussen ${({\vec{a}}_{R})}_{R}$ en $\vec{a}$ ?

Gegeven zijn de punten $A (a, b)$ en $P (p, q)$ . Kies een oorsprong $O$ .
Dan geldt: $O A^{2} + O P^{2} = A P^{2}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}$ en $\vec{p}$ loodrecht op elkaar staan.
Dit volgt uit de stelling van Pythagoras en zijn omgekeerde.

Laat zien dat dit leidt tot:
$\vec{a}$ en $\vec{p}$ staan loodrecht op elkaar $\Leftrightarrow a p + b q = 0$ .

De vectoren $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$ , beide niet $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$ staan loodrecht op elkaar $\Leftrightarrow a c + b d = 0$ .

Opmerking:

Als $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ of $(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$ wel $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$ is, kun je niet over loodrechte stand van de vectoren spreken.

Vooruitblik

Het getal $a c + b d$ bij de vectoren $\vec{v} = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$ zegt dus iets over de hoek tussen die vectoren. We noemen $a c + b d$ het inproduct van $\vec{v}$ en $\vec{w}$ . We noteren het inproduct van $\vec{v}$ en $\vec{w}$ met $\vec{v} \cdot \vec{w}$ . In het volgende hoofdstuk zullen we zien hoe je met het inproduct de hoek tussen vectoren kunt berekenen.

Laat zien dat dit klopt met behulp van de stelling die net vóór opgave 50 staat.

(hint)

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})

(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})

staan loodrecht op elkaar dan en alleen dan als

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})

{(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})}_{L} = (\begin{matrix} ‐ d \\ c \end{matrix})

afhankelijk zijn.
Pas nu de stelling na opgave 49 toe.

Wat is het verband tussen $\vec{v} \cdot \vec{v}$ en $| \vec{v} |$ ?

Als $\vec{v} = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$ , dan is: $\vec{v} \cdot \vec{w} = a c + b d$ het inproduct van $\vec{v}$ en $\vec{w}$ .

Als $\vec{v}$ en $\vec{w}$ beide niet $\vec{0}$ , dan geldt: $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0 \Leftrightarrow \vec{v}$ en $\vec{w}$ staan loodrecht op elkaar.
$\vec{v} \cdot \vec{v} = {| \vec{v} |}^{2}$

Voorbeeld:

De vector $(\begin{matrix} a \\ 3 \end{matrix})$ staat loodrecht op de vector $(\begin{matrix} 17 \\ 11 \end{matrix})$ .

Vraag

Bereken $a$ met het inproduct.

Oplossing

Dan $(\begin{matrix} a \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 17 \\ 11 \end{matrix}) = 0$ , dus $17 a + 33 = 0 \Leftrightarrow a = ‐ 1 \frac{16}{17}$ .

Bereken $a$ exact als $(\begin{matrix} a \\ 3 \end{matrix})$ loodrecht staat op $(\begin{matrix} 4 \\ a + 1 \end{matrix})$ .

Bereken $a$ exact als $(\begin{matrix} a \\ 3 \end{matrix})$ loodrecht staat op $(\begin{matrix} a \\ ‐ 4 \end{matrix})$ .

Gegeven zijn de punten $A (‐ 1,3)$ en $B (7,4)$ . Op de $x$ -as ligt een punt $P$ zó, dat hoek $A P B$ recht is.

Bereken de coördinaten van $P$ (twee mogelijkheden).

(hint)

Het punt

P

(x,0)

; gebruik het inproduct.

Gegeven zijn de punten $A (‐ 3,0)$ en $B (3,0)$ .
We bekijken alle punten $P (x, y)$ met: $\vec{A P}$ loodrecht op $\vec{B P}$ .

Gebruik het inproduct om een verband tussen $x$ en $y$ op te stellen.

Hoe ziet de grafiek van het verband eruit?

Vierkanten

In de volgende drie opgaven bekijken we vierkanten $A B C D$ . De letters $A$ , $B$ , $C$ en $D$ staan steeds linksom in volgorde bij de hoekpunten.

Bepaal de coördinaten van $C$ en $D$ in de volgende gevallen. Maak eventueel een tekening op roosterpapier.

$A (1,2)$ en $B (4,3)$ ;

$A (1,2)$ en $B (4,0)$ ;

$A (11,20)$ en $B (72,83)$ .

In c kun je als volgt te werk gaan: $\vec{A B} = (\begin{matrix} 61 \\ 63 \end{matrix})$ , dus $C$ krijg je door $B$ te verschuiven over $(\begin{matrix} ‐ 63 \\ 61 \end{matrix})$ ,
dus $C = (72 + ‐ 63,83 + 61) = (9,144)$ .

Maak een soortgelijke berekening (als je dat in c nog niet gedaan hebt) voor de coördinaten van $D$ , als $A (11,20)$ en $B (72,83)$ . Schrijf je berekening op.

Bereken de coördinaten van $C$ en $D$ als $A (‐ 11,20)$ en $B (50,10)$ . Schrijf je berekening op.

Als $A (a_{1}, a_{2})$ en $B (b_{1}, b_{2})$ , krijg je $\vec{A B} = (\begin{matrix} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \end{matrix})$ , dus $C = (b_{1} - (b_{2} - a_{2}), b_{2} + (b_{1} - a_{1}))$ .

Schrijf de coördinaten van $C$ zo eenvoudig mogelijk.

Schrijf een berekening op voor de coördinaten van $D$ . Schrijf die coördinaten zo eenvoudig mogelijk.

Bepaal de coördinaten van $B$ en $D$ in de volgende gevallen.

$A (‐ 1, ‐ 2)$ en $C (3,6)$ .

(hint)

Bepaal eerst het midden van lijnstuk

A C

$A (‐ 110,115)$ en $C (4, ‐ 1)$ .

Twee staven van lengte $2$ vormen een Grieks kruis (dat wil zeggen dat de staven elkaar loodrecht middendoor delen). Van één van de staven bewegen de eindpunten over de positieve $x$ -as en de positieve $y$ -as. Noem die eindpunten $(a,0)$ en $(0, b)$ , met $a > 0$ en $b > 0$ .

Wat kun je zeggen over $a^{2} + b^{2}$ ?

Druk de coördinaten van het centrum van het kruis uit in $a$ en $b$ .

Beschrijf de baan van het centrum.

Druk de coördinaten van de eindpunten van de andere staaf uit in $a$ en $b$ .

(hint)

Zie opgave 62.

Toon aan dat de eindpunten van de andere staaf over rechte lijnen lopen, gebruik eventueel de applet Grieks kruis.

(hint)

Vergelijk de

x

- en de

y

-coördinaat van die eindpunten.

Gegeven is de vector $\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ . Met behulp van ${\vec{v}}_{L}$ en ${\vec{v}}_{R}$ kun je ook vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ vinden die hoeken van $45 °$ met $\vec{v}$ maken, zie plaatje.

Doe dat. Hoe lang zijn de vectoren die je gevonden hebt?

De vector $\vec{v}$ wordt $45 °$ met de wijzers van de klok mee gedraaid.

Geef de kentallen van de vector die je dan krijgt.

Schatgraven op Teleurstellingseiland

Op een onooglijk stukje vergeeld papier dat Anne in een oude kist vindt, staat het volgende.

Ze trekt zich niets aan van de gruwelverhalen op Wikipedia. Het eiland ligt op $50 °$ $36'$ $ZB$ , $165 °$ $58'$ $OL$ .: Disappointment Island; een van de onbewoonde Auckland Islands ten zuiden van Nieuw Zeeland. Onbewoond? Op $65.000$ visverwerkende witkopalbatrossen na!
Anne heeft vast een plan gemaakt, voor als ze de stenen en de stronk eenmaal heeft gevonden.

Op Teleurstellingseiland aangekomen, vindt ze wel de twee stenen, maar de stronk van de oude eik is vergaan.

Neem een stuk papier en teken daarop twee punten. Daar liggen de stenen. Kies nu een willekeurig derde punt voor de positie van de stronk en voer de zoekactie uit met je geodriehoek.
Kies nog een ander punt voor de stronk en voer de zoekactie nog eens uit.

Je kunt de zoekactie ook bekijken met de GeoGebra applet "Schatzoeken".
Het lijkt wel of de plaats van de schat niet van de plaats van de stronk afhangt!

Dat dit inderdaad zo is, kun je als volgt inzien. Neem een assenstelsel zo dat de stenen in de punten $A (‐ 2,0)$ en $B (2,0)$ liggen. Zeg dat de eik in $P (a, b)$ stond.

Druk de coördinaten van de punten $Q$ en $R$ (zie plaatje) in $a$ en $b$ uit.

Laat zien dat het midden $M$ van $P R$ niet afhangt van $a$ en $b$ .