De punten $X$ vormen de lijn door $A$ evenwijdig met de vector $\overrightarrow{v}$.

De punten $X$ vormen de lijn door $B$ evenwijdig met de vector $\overrightarrow{v}$.

De punten $X$ vormen de lijn door $B$ evenwijdig met de vector $\overrightarrow{a}$.

Zie figuur, in alle gevallen krijg je de figuur hieronder links, behalve in het geval in de eerste rij rechts. Dan krijg je de figuur hieronder rechts.

Alleen de tweede niet.
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+t\cdot \overrightarrow{q}=\overrightarrow{p}+(t+1)\cdot \overrightarrow{q}$
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \mathrm{‐}\overrightarrow{q}=\overrightarrow{p}+\mathrm{‐}t\cdot \overrightarrow{q}$
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \text{2}\overrightarrow{q}=\overrightarrow{p}+2t\cdot \overrightarrow{q}$
En als $t$ alle mogelijke waarden aanneemt, dan $t+1$, $\mathrm{‐}t$ en $2t$ ook.

$\overrightarrow{x}={\overrightarrow{a}}_0+t\cdot \overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{x}={\overrightarrow{b}}_0+t\cdot \overrightarrow{w}$

$\overrightarrow{x}=\frac{1}{2}\text{(}{\overrightarrow{a}}_0+t\cdot \overrightarrow{v}+{\overrightarrow{b}}_0+t\cdot \overrightarrow{w}\text{)}=\frac{1}{2}\text{(}{\overrightarrow{a}}_0+{\overrightarrow{b}}_0\text{)}+t\cdot \frac{1}{2}\text{(}\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\text{)}$ , startvector $\frac{1}{2}\text{(}{\overrightarrow{a}}_0+{\overrightarrow{b}}_0\text{)}$ en richtingsvector $\frac{1}{2}\text{(}\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\text{)}$.

$\frac{1}{2}\sqrt{5}$, zie figuur, want $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$ is $\sqrt{5}$ keer zo lang als $\overrightarrow{v}$.

Als je voor $t=0$ invult, krijg je de plaatsvector van $A$ en als je voor $t=1$ invult, krijg je de plaatsvector van $B$. Omdat je een vectorvoorstellng van een rechte lijn hebt, is het er een van lijn $AB$.

Tussen $A$ en $B$; alle punten ‘rechts’ (niet aan de kant van $B$) op de lijn $AB$.

Van de lijn $AB$.

-

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\\ 5\end{array}\right)$ , $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}\text{1}\\ \text{6}\end{array}\right)$ , $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}\text{1}\\ \text{0}\end{array}\right)$ , $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}\text{-3}\\ \text{3}\end{array}\right)$
lengte $\sqrt{29}$ , $\sqrt{37}$ , $1$ , $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Zie figuur links bij opgave 45.

$\overrightarrow{a}=3\cdot \overrightarrow{v}+1\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{w}$ , $\overrightarrow{b}=7\cdot \overrightarrow{v}+2\cdot \overrightarrow{w}$

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$, zie rechter figuur.

figuur bij opgave 44

figuur bij opgave 45

$\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$

-

$t=2\frac{4}{5}$ in $(\mathrm{14,6}\frac{3}{5})$

-

$(x,y)=(\mathrm{‐}2+3t\mathrm{,1}+t)$, maar er zijn nog vele andere antwoorden mogelijk.
We komen daar op terug.

$y=1+t=\mathrm{‐}4$ als $t=\mathrm{‐}5$, dan $x=\mathrm{‐}2+3\cdot \mathrm{‐}5=\mathrm{‐}17$

$t=\mathrm{‐}1$ , $t=\frac{2}{3}$. Met de $x$-as: $(\mathrm{‐}\mathrm{5,0})$, met de $y$-as: $(\mathrm{0,1}\frac{2}{3})$.

De bijbehorende vectorvoorstellingen hebben richtingsvectoren $\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{‐}2\end{array}\right)$ en $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\\ 4\end{array}\right)$ en die zijn veelvouden van elkaar.

$(x,y)=(\mathrm{2,3})+t\cdot (\mathrm{1,}\mathrm{‐}2)$ of $(x,y)=(\mathrm{2,3})+t\cdot (\mathrm{‐}\mathrm{1,2})$ of $\mathrm{...}$.

Dezelfde lijn als $m$.

$a=1$ , $b=\mathrm{‐}4$

$a=\mathrm{‐}\frac{4}{5}$ , $b=2\frac{4}{5}$

-

Dan $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=t\cdot \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$ voor een zekere waarde van $t$.
We veronderstellen dat $c\ne 0$ (anders $d\ne 0$ en dan gaat het net zo).
Dan zie je door de bovenste kentallen te vergelijken: $t=\frac{a}{c}$, dus (onderste kentallen): $b=\frac{a}{c}\cdot d\iff bc=ad$.
Omgekeerd (we veronderstellen weer dat $c\ne 0$): als $bc=ad$, neem dan $t=\frac{a}{c}$, dan $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=t\cdot \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$.

$\left(x,y\right)=\left(\mathrm{3,0}\right)+t\left(\mathrm{3,}\mathrm{‐}2\right)$ of $\left(x,y\right)=\left(\mathrm{0,2}\right)+t\left(\mathrm{3,}\mathrm{‐}2\right)$ of $\mathrm{...}$.

$\left(x,y\right)=\left(\text{2},\text{2}\right)+t\left(\text{3},\text{-2}\right)$ of $\mathrm{...}$.

$(x,y)=(\mathrm{2,2})+t(\mathrm{3,}\mathrm{‐}2)=(2+3t\mathrm{,2}-2t)$ is pv van $m$.
Snijpunt met de $x$-as: dan $y=0\iff 2-2t=0\iff t=1$.
Dit geeft het punt $(\mathrm{5,0})$.
Snijpunt met de $y$-as: dan $x=0\iff 2+3t=0\iff t=\mathrm{‐}\frac{2}{3}$.
Dit geeft het punt $(\mathrm{0,3}\frac{1}{3})$.