De stelling van Ceva bewijzen

De zijden $A C$ en $B C$ van driehoek $A B C$ zijn in vier gelijke stukken verdeeld, zie figuur 1. Twee van de verdeelpunten zijn $D$ en $E$ ; zie plaatje. De lijn door $C$ en het snijpunt van $A D$ en $B E$ snijdt $A B$ in $X$ .
Het lijkt erop dat $X$ het midden van $A B$ is. In het volgende bewijzen we dat dit inderdaad zo is.
Daarvoor tekenen we de lijn $k$ door $C$ evenwijdig aan lijn $A B$ , zie figuur 2.
Hierin is $F$ het snijpunt van de lijnen $k$ en $A D$ en $G$ het snijpunt van de lijnen $k$ en $B E$ .

figuur 1

figuur 2

Bewijs dat $F C$ en $G C$ even lang zijn.

(hint)

Laat zien dat beide

\frac{1}{3}

van

A B

zijn.

Laat nu met gelijkvormigheid zien dat $A X = B X$ .

Wat we in opgave 31 hebben gezien is een speciaal geval van de stelling van Ceva.

Stelling van Ceva
In driehoek $A B C$ liggen punten $D$ , $E$ en $F$ op de zijden $B C$ , $C A$ en $A B$ . Dan komen de volgende twee dingen op hetzelfde neer.

$\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$
De lijnen $A D$ , $B E$ en $C F$ gaan door één punt.

De Santa Teresa te Mantua. Hier ligt Ceva begraven.

Giovanni Ceva (1647-1734) studeerde aan de jezuïtische hogeschool in Milaan en volgde een wiskundestudie aan de universiteit van Pisa.
In 1678 publiceerde hij het boek De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio waarin ook de stelling te vinden is.
Het is opvallend dat de stelling van Ceva pas zo laat in de geschiedenis is gevonden.

Laat zien dat je opgave 31 met de stelling van Ceva kunt bewijzen.

In deze opgave bewijzen we de stelling van Ceva. Daarvoor moeten we twee dingen bewijzen.

Als $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ , dan gaan de lijnen $A D$ , $B E$ en $C F$ door één punt.
Als de lijnen $A D$ , $B E$ en $C F$ door één punt gaan, dan geldt: $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ .

Eerst bewijzen we punt 1.
In de punten $A$ , $B$ en $C$ denken we massa’s $a$ , $b$ en $c$ en wel zó, dat $F$ het zwaartepunt van de massa's in $A$ en $B$ is en $D$ het zwaartepunt van de massa's in $B$ en $C$ .
Dan volgt uit: $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ , dat $E$ het zwaartepunt van de massa's in $C$ en $A$ is.

Laat dat zien.

Neem aan: het zwaartepunt van de drie massa's ligt in $Z$ .

Waarom volgt nu dat de lijnen $A D$ , $B E$ en $C F$ door één punt gaan?

We bewijzen nu punt 2.
Neem dus aan dat de lijnen $A D$ , $B E$ en $C F$ door één punt $Z$ gaan.
Verzin massa's $a$ , $b$ en $c$ zó, dat $\frac{A F}{F B} = \frac{b}{a}$ en $\frac{B D}{C D} = \frac{c}{b}$ .

Waarom geldt $\frac{C E}{A E} = \frac{a}{c}$ ?

Laat nu zien dat $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{C D} \cdot \frac{C E}{A E} = 1$ .

De stelling van Ceva toepassen

In $A (‐ 2,0)$ , $B (4,0)$ en $C (‐ 1,3)$ bevinden zich de massa’s $4$ , $b$ en $c$ . Het zwaartepunt van de massa’s in $A$ en $B$ is $O$ . Het zwaartepunt van de massa’s in $B$ en $C$ is $D$ . $D$ ligt op de lijn $x = 1$ .

Bereken exact $b$ en $c$ .

Het snijpunt van de lijnen $O C$ en $A D$ noemen we $Z$ . Lijn $B Z$ snijdt lijn $A C$ in $X$ .

Bereken $A X : X C$ .

Bereken $X Z : Z B$ .

Getekend zijn $A (0,15)$ , $B (36,0)$ , $D (9,0)$ , $E (0,6)$ en $O (0,0)$ .
De lijnen $O F$ , $A D$ en $B E$ gaan door één punt.

Bereken de coördinaten van $F$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen $O F$ , $A D$ en $B E$ .

In het plaatje staan de punten $A (‐ 9, ‐ 6)$ , $B (9,0)$ , $C (‐ 3,12)$ , $D (6,3)$ en $E (‐ 6,3)$ . De lijnen $C F$ , $A D$ en $B E$ gaan door één punt $X$ .

Bereken de coördinaten van $F$ en van $X$ .

Op de zijden $A C$ en $B C$ van driehoek $A B C$ liggen de punten $E$ en $D$ . Het snijpunt van $B E$ en $A D$ is $X$ .

Laat zien:
lijn $C X$ gaat door het midden van $A B \Leftrightarrow \frac{A E}{E C} = \frac{B D}{D C}$ .

Van de driehoek in figuur 1 zijn de zijden in zes gelijke delen verdeeld en de verbindingslijnen van de hoekpunten naar de verdeelpunten getekend. Het lijkt erop dat er punten zijn die op drie verbindingslijnen liggen. Om zeker te weten dat dat inderdaad het geval is, is een berekening nodig.

figuur 1

figuur 2

Laat met de stelling van Ceva zien dat het aangegeven punt op drie verbindingslijnen ligt.

Van de driehoek in figuur 2 is een indeling in zeven delen op de zijden gemaakt.

Zijn er ook hier weer punten die op drie verbindingslijnen van hoekpunten met verdeelpunten liggen?
Zoek dat uit. Motiveer je antwoord.

Het meetkundige zwaartepunt van een driehoek

Afspraak
Een zwaartelijn van een driehoek gaat door een hoekpunt en het midden van de tegenoverliggende zijde.

Stelling
De zwaartelijnen van een driehoek $A B C$ gaan door één punt, het zwaartepunt $Z$ van de driehoek.
Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijnen in de verhouding $1 : 2$ .
Er geldt: $\vec{z} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ .

Bewijs bovenstaande stelling.