• Van een functie wordt de gemiddelde groei op het $x$-interval $[a,b]$ berekend door het differentiequotiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ op dat interval uit te rekenen.

• De gemiddelde groei is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van het verbindingslijnstuk tussen de twee punten op de grafiek bij $x=a$ en $x=b$.

• Bijvoorbeeld: de gemiddelde groei van $y=x^2$ op het $x$-interval $[a,b]$ is $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{(b-a)(b+a)}{(b-a)}=b+a$.

• Het interval $[\mathrm{3,5}]$ is de verzameling getallen tussen $3$ en $5$, inclusief $3$ en $5$ zelf. De vierkante haken geven aan dat de getallen $3$ en $5$ zelf ook mee doen. Bij driehoekige haken doen de randen niet mee. Bijvoorbeeld:
  Tijdsinterval $[\mathrm{3,5}]$ betekent $3\le t\le 5$.
  Tijdsinterval $\langle \mathrm{3,5}\rangle$ betekent $3<t<5$.

• Snelheid:
  De gemiddelde snelheid over een tijdsinterval bereken je door de afgelegde afstand te delen door de tijd.
  De momentane snelheid, of groeisnelheid kun je benaderen door het tijdsinterval erg klein te maken.
  De snelheid op een bepaald tijdstip is gelijk aan de helling, of richtingscoëfficiënt van de raaklijn in de afstand-tijd-grafiek.

Machtsfuncties zijn functies waarbij $y$ evenredig is met een macht van $x$, ofwel $y=c\cdot x^n$.

De constante $c$ is de evenredigheidsconstante.

• De groeisnelheid kun je bepalen met het tekenen van de raaklijn in een punt van de grafiek. De groeisnelheid op dat moment is dan de richtingscoëfficiënt van die raaklijn.

• Voor elke machtsfunctie $y=x^n$, met $n$ een positief geheel getal, geldt:
  de helling van de grafiek in het punt met $x=p$ is $n\cdot p^{n-1}$. Dat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt.

• $y\text{'}=n\cdot x^{n-1}$ wordt de afgeleide functie van $y=x^n$ genoemd.
  De afgeleide functie wordt ook wel hellingfunctie genoemd.

Het bepalen van de afgeleide functie bij een gegeven functie heet differentiëren.
De afgeleide functie van een functie $f(x)$ geven we aan met $f\text{'}(x)$.

• Plus een constante
  Als je de grafiek van een functie verticaal verschuift, verandert de helling van de grafiek niet.
  Als je bij een functie een constant getal optelt, houd je dezelfde afgeleide functie.
  In functienotatie:
  Als $g(x)=f(x)+c$, voor een constante $c$,
  dan $f\text{'}(x)=g\text{'}(x)$.

• Maal een constante
  Als je een functie met $c$ vermenigvuldigt,
  wordt zijn grafiek met factor $c$ verticaal opgerekt,
  wordt zijn helling overal $c$ keer zo groot
  en wordt de afgeleide functie met $c$ vermenigvuldigd.
  In functienotatie:
  Als $h(x)=c\cdot f(x)$, voor een constante $c$,
  dan $h\text{'}(x)=c\cdot f\text{'}(x)$.

• Somregel voor differentiëren
  De somfunctie $s$ van twee functies $f$ en $g$ wordt gegeven door: $s(x)=f(x)+g(x)$.
  Dan geldt voor de afgeleide functies: $s\text{'}(x)=f\text{'}(x)+g\text{'}(x)$.

Door bovenstaande rekenregels voor differentiëren zijn we in staat alle functies te differentiëren van de vorm
$y=a+bx+c{x}^2+d{x}^3+\mathrm{...}$.
Dit soort functies heten veeltermfuncties.

Bijvoorbeeld:
Als $y=3x^4-2x^3+5x-2$, dan $y\text{'}=12x^3-6x^2+5$.

• In de toppen van de grafiek van een functie $f$ geldt $f\text{'}(x)=0$.
  De grafiek is stijgend als $f\text{'}(x)>0$.
  De grafiek is dalend als $f\text{'}(x)<0$.

• De kleinste $y$-waarde die een functie $f$ (op een $x$-interval) aanneemt, is het minimum van $f$ (op dat interval).
  De grootste $y$-waarde die een functie $f$ (op een $x$-interval) aanneemt, is het maximum van $f$ (op dat interval).

• De hellingshoek van de grafiek in een punt op de grafiek wordt bepaald door de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt.
  Voor de hellingshoek α geldt $\text{tan(α)}\text{=}\text{richtingscoëfficiënt}$.

• De hoek waaronder twee grafieken elkaar snijden is gelijk aan de hoek die de raaklijnen in het snijpunt met elkaar maken.

• We volgen de grafiek hiernaast van links naar rechts.

  

  De grafiek is eerst naar rechs gekromd en later naar links. Daartussen in zit het "omslagpunt"; dat noemen we het buigpunt van de grafiek: vóór het buigpunt is de grafiek van onderen gezien hol en na het buigpunt van boven gezien hol.

• In een buigpunt van de grafiek van een functie $f$ bij $x=p$ is de helling maximaal of minimaal.
  Dat betekent dat de afgeleide van de hellingfunctie $f\text{'}(x)$ bij $x=p$ helling nul heeft.
  Ofwel: er moet dan gelden $f\text{'}\text{'}(p)=0$.

• De functie $f\text{'}\text{'}(x)$ heet de tweede afgeleide van de functie $f(x)$.

• Let op! Er geldt wél: buigpunt bij $x=p$ $\to$ $f\text{'}\text{'}(p)=0$.
  Maar niet per se geldt ook het omgekeerde: het kan zijn dat voor een bepaalde waarde van $p$ geldt dat $f\text{'}\text{'}(p)=0$, maar dat er toch geen buigpunt is bij $x=p$.

• De raaklijn in het buigpunt heet buigraaklijn.

• De afgeleide en tweede afgeleide hebben ook een betekenis in de natuurkunde, bijvoorbeeld:
  Bij een vrije val op aarde geldt bij benadering: $s=5t^2$.
  Hierin is $s$ de valweg in meters en is $t$ de valtijd in seconden.
  Als je $s$ differentieert, krijg je de snelheid $v$ (in m/s):
  $v=s\text{'}=10t$.
  Als je $v$ differentieert, krijg je de versnelling $a$ (in m/s²):
  $a=v\text{'}=10$.
  Je krijgt $a$ door $s$ twee keer te differentiëren: $a=s\text{'}\text{'}$.