$f\text{'}(x)=\frac{2}{5}x-2=0$ $\to$ $x=5$ ; $f\text{'}(x)>0$ als $x>5$ ; $f\text{'}(x)<0$ als $x<5$

Raaklijn horizontaal in $(\mathrm{5,1})$ ; Stijgend op $\langle \mathrm{5,}\to \rangle$ ; Dalend op $\langle \leftarrow \mathrm{,5}\rangle$

-

$f\text{'}(x)=\mathrm{‐}\mathrm{0,1}x+1=0$ $\to$ $x=10$;
$f\text{'}(x)<0$ als $x>10$;
$f\text{'}(x)>0$ als $x<10$

Raaklijn horizontaal in $(\mathrm{10,15})$;
Stijgend op $\langle \leftarrow \mathrm{,10}\rangle$;
Dalend op $\langle \mathrm{10,}\to \rangle$.

-

$f\text{'}(x)=3x^2-12$, $g\text{'}(x)=3x^2$ en $h\text{'}(x)=3x^2+12$

$h\text{'}(x)=3x^2+12$ is voor elke waarde van $x$ positief, want een kwadraat is groter of gelijk aan $0$, dus $3x^2$ is ook groter of gelijk aan $0$, dus $3x^2+12$ is groter of gelijk aan $12$ (dus groter of gelijk aan $0$).

Als $\mathrm{‐}2<x<2$, dan $x^2<4$, dus $3x^2<12$, dus $f\text{'}(x)<0$.

Grafiek A is van functie $f$; grafiek C is van functie $h$.

$f\text{'}(x)=x^2-12x+27=0$ $\to$ $(x-3)(x-9)=0$ $\to$ $x=3$ of $x=9$;
Toppen $(\mathrm{3,36})$ en $(\mathrm{9,0})$.

Als $3<x<9$ dan $x-9<0$ en $x-3>0$, dus $f\text{'}(x)=(x-9)(x-3)<0$.
Dalend op $\langle \mathrm{3,9}\rangle$.
Stijgend op $\langle \leftarrow \mathrm{,3}\rangle$ en op $\langle \mathrm{9,}\to \rangle$.

-

$f\text{'}(x)=x^2-12x+27={(x-6)}^2-36+27={(x-6)}^2-9$

$y={(x-6)}^2-9$ is een dalparabool met top $(\mathrm{6,}\mathrm{‐}9)$, dus als $x=6$ is de uitkomst (de helling) minimaal, namelijk $\mathrm{‐}9$.

Op $\langle \leftarrow \mathrm{,3}\rangle$: afnemende stijging;
op $\langle \mathrm{3,6}\rangle$: toenemende daling;
op $\langle \mathrm{6,9}\rangle$: afnemende daling;
op $\langle \mathrm{9,}\to \rangle$: toenemende stijging.

Omdat hij anders uit de bocht vliegt.

Voor de bocht hangt hij naar rechts, na de bocht naar links.

Halverwege de bocht.

Daar is de kromming naar links; de raaklijn ligt dan onder de grafiek.

Daar wisselt de raaklijn van kant ten opzichte van de grafiek.

$(\mathrm{2,1})$, $(\mathrm{4,2})$, $(5\frac{1}{2}\mathrm{,4})$, $(\mathrm{8,2})$, $(\mathrm{11,2})$, $(\mathrm{13,3})$, $(\mathrm{15,4})$

$1$, $0$, $6$, $\mathrm{‐}3$, $1$, $0$, $1$

$f\text{'}(x)=\mathrm{‐}{x}^2+4x=0$ $\to$ $-x(x-4)=0$ $\to$ $x=0$ of $x=4$;
Punten $(\mathrm{0,0})$ en $(\mathrm{4,10}\frac{2}{3})$.

$f\text{'}(x)=\mathrm{‐}{x}^2+4x=\mathrm{‐}(x^2-4x)=\mathrm{‐}({(x-2)}^2-4)=\mathrm{‐}{(x-2)}^2+4$

De grafiek van de hellingfunctie $f\text{'}(x)=\mathrm{‐}{(x-2)}^2+4$, is een bergparabool met top $(\mathrm{2,4})$, dus bij $x=2$ is de helling maximaal $4$.

Buigpunt: $y=f(2)=5\frac{1}{3}$, dus $(\mathrm{2,5}\frac{1}{3})$;
Coördinaten buigpunt invullen in $y=4x+b$: $5\frac{1}{3}=4\cdot 2+b$ $\to$ $b=\mathrm{‐}2\frac{2}{3}$;
Buigraaklijn: $y=4x-2\frac{2}{3}$

$f(a)=f(2a)$ $\to$ $\mathrm{‐}\frac{1}{3}{a}^3+2a^2=\mathrm{‐}\frac{1}{3}{(2a)}^3+2{(2a)}^2$ $\to$ $\mathrm{‐}\frac{1}{3}{a}^3+2a^2=\mathrm{‐}\frac{8}{3}{a}^3+8a^2$ $\to$ ... $\to$ $7a^3-18a^2=0$ $\to$ $a^2(7a-18)=0$ $\to$ $a=0$ of $a=\frac{18}{7}$ $\to$ $a=2\frac{4}{7}$

$x^4\ge 0$ voor elke $x$, dus $y=x^4-4\ge \mathrm{‐}4$ voor alle $x$.

De raaklijn is horizontaal en heeft richtingscoëfficiënt $0$.

$y\text{'}=4x^3=0$ $\to$ $x=0$; het minimum is $y(0)=0^4-4=\mathrm{‐}4$

Zie figuur bij opgave 89b.

$x^4-4=0$ $\to$ $x^4=4$ $\to$ $x=\mathrm{‐}\sqrt{2}$ of $x=\sqrt{2}$

$y\text{'}=4x^3-4$; $y\text{'}(1)=4\cdot 1^3-4=0$, dus horizontale raaklijn.
Ja, $\mathrm{‐}3$ is het minimum.

Zie figuur bij opgave 89b.

$y\text{'}(0)=\mathrm{‐}4$ $\to$ $\tan (\text{α})=4$ $\to$ $\text{α}\approx 76°$
(Let op: de hoek tussen twee lijnen is altijd scherp! Een hellingshoek kan wél stomp zijn.)

$y\text{'}=4x^3-8x$;
$y\text{'}(1)=\mathrm{‐}4$, dus geen horizontale raaklijn en dus geen minimum.

$y\text{'}=0$ $\to$ $4x^3-8x=0$ $\to$ $4x(x^2-2)=0$ $\to$ $x=0$ of $x^2=2$
$\to$ $x=0$ of $x=\mathrm{‐}\sqrt{2}$ of $x=\sqrt{2}$;
$y(0)=0$, $y(\mathrm{‐}\sqrt{2})=y(\sqrt{2})=\mathrm{‐}4$, dus $\mathrm{‐}4$ is het minimum.

Zie figuur bij opgave 89b.

$y\text{'}=4x^3-12x^2=0$ $\to$ $4x^2(x-3)=0$ $\to$ $x=0$ of $x=3$;
$y(0)=0$ en $y(3)=\mathrm{‐}27$, dus $\mathrm{‐}27$ is het minimum.

$y=x^4-4$: $0$ buigpunten;
$y=x^4-4x$: $0$ buigpunten;
$y=x^4-4x^2$: $2$ buigpunten;
$y=x^4-4x^3$: $2$ buigpunten.

$y\text{'}=4x^3$ $\to$ $y\text{'}\text{'}=12x^2$
$y\text{'}\text{'}=12x^2=0$ $\to$ $x=0$;
Nee, er is géén buigpunt bij $x=0$!

Bij $y=x^4-4x$: geen buigpunten;
Bij $y=x^4-4x^2$: $y\text{'}\text{'}=12x^2-8=0$ $\to$ $x^2=\frac{2}{3}$ $\to$ $x=\mathrm{‐}\sqrt{\frac{2}{3}}$ of $x=\sqrt{\frac{2}{3}}$;
Bij $y=x^4-4x^3$: $y\text{'}\text{'}=12x^2-24x=0$ $\to$ $12x(x-2)=0$ $\to$ $x=0$ of $x=2$

${(\mathrm{‐}x)}^4=x^4$ en ${(\mathrm{‐}x)}^2=x^2$, dus voor tegengestelde waarden van $x$ geeft de functie dezelfde uitkomst.

$y\text{'}=x^4-6x^2+5=0$ $\to$ (noem $p=x^2$:) $p^2-6p+5=0$ $\to$ $(p-1)(p-5)=0$ $\to$ $p=1$ of $p=5$ $\to$ $x^2=1$ of $x^2=5$ $\to$ $x=\mathrm{‐}1$ of $x=1$ of $x=\mathrm{‐}\sqrt{5}$ of $x=\sqrt{5}$

Drie buigpunten.

$\text{rc}=y\text{'}(0)=5$ $\to$ punt $(\mathrm{0,2})$ invullen in $y=5x+b$ $\to$ $b=2$;
Raaklijn: $y=5x+2$.