4.5 Groeisnelheid en helling >

Hoofdstukken > Differentiëren 1

Voor elke machtsfunctie $y = x^{n}$ , met $n$ een positief geheel getal, geldt:
de helling van de grafiek in het punt met $x = p$ is $n \cdot p^{n - 1}$ .
Dat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt.

We bekijken de functie $y = x^{3}$ .

Bereken de helling (richtingscoëfficiënt van de raaklijn) in het punt $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{8})$ .
Geef een formule van de raaklijn in $P$ .

Bereken de hellingshoek van de grafiek in punt $P$ . Geef je antwoord afgerond op 1 decimaal.

(hint)

Uit hoofdstuk Hellingen weten we van een lijn: $rc = \tan (hellingshoek)$ .

Bereken afgerond op 1 decimaal de hellingshoek van de grafiek in het punt $Q (1,1)$ .

In het punt $P$ is de hellingshoek van de grafiek kleiner dan $45 °$ , in het punt $Q$ is hij groter dan $45 °$ . In een punt tussen $P$ en $Q$ is de hellingshoek precies gelijk aan $45 °$ .

Bereken exact de coördinaten van dat punt.
Geef ook de coördinaten in drie decimalen nauwkeurig.

De hellingshoek van de grafiek in een punt op de grafiek wordt bepaald door de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt.
Uit hoofdstuk Hellingen weten we dat geldt voor de hellingshoek α: $tan(α) = richtingscoëfficiënt$ .

Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $y = x^{4}$ in het punt $(2,16)$ .

Wat is (afgerond op 1 decimaal) de hellingshoek van deze raaklijn?

Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $y = x^{4}$ in het punt $(‐ 2,16)$ .

De hellingshoek van de raaklijn in het punt $(‐ 2,16)$ is nu een stompe hoek.

Wat is de hellingshoek van deze raaklijn? Rond je antwoord af op 1 decimaal.

Er is een raaklijn aan de grafiek met hellingshoek $45 °$ .

Wat is dan de richtingscoëfficiënt van die lijn?
In welk punt van de grafiek is de afgeleide zo groot? (Rond af op drie decimalen.)
Stel een vergelijking op van die raaklijn.

Hieronder zie je de grafieken van $y = x^{4}$ en $y = x^{5}$ , beide op het interval $[0,1]$ . De grafieken snijden de lijn $y = x$ onder de hoeken $α$ en $β$ , dat zijn de hoeken die de raaklijen in $(0,0)$ en $(1,1)$ maken met de lijn $y = x$ .

Bereken de grootte van hoek α in beide gevallen.

Hiernaast staat in het plaatje van $y = x^{4}$ de raaklijn in het punt $(1,1)$ getekend. In het plaatje is de hellingshoek $γ$ van die raaklijn aangegeven, evenals hoek $δ$ .

Bereken achtereenvolgens $γ$ , $δ$ en $β$ . Rond hierbij af op 1 decimaal.

Bereken nu ook (afgerond op 1 decimaal) hoek $β$ bij $y = x^{5}$ .

Opmerking:

Ook met de GR kun je de helling in een punt uitrekenen.
Daarvoor moet je eerst de grafiek van de functie tekenen op je GR en de window goed instellen.
Op de TI84 kun je de helling in een punt op de grafiek dan berekenen met het menu CALC, optie 6: dy/dx.

Ook kan de GR een raaklijn in een bepaald punt van de grafiek tekenen en berekenen.
Kies daarvoor op de TI84 in het menu DRAW, optie 5: Tangent.
Zoek uit hoe het werkt op jouw GR.

Deze mogelijkheden van je GR mag je niet gebruiken als gevraagd wordt om iets exact of algebraïsch te berekenen.

Je kunt dan deze opties juist wel goed gebruiken om je antwoorden te controleren.

We bekijken de functie $y = x^{6}$ .

Bereken langs algebraïsche weg vergelijkingen van de raaklijnen in de punten $A (1,1)$ en $B (‐ 1,1)$ aan de grafiek.

Teken op de GR de grafiek van $y = x^{6}$ op het interval $[‐ 1,1]$ en controleer je antwoorden op de vorige vraag met de GR.

In welk punt snijden de twee raaklijnen elkaar?

Welke waarden kan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $y = x^{3}$ hebben?

Welke waarden kan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $y = x^{4}$ hebben?

Wat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $y = x^{2015}$ in het punt met $x = p$ ?

Bekijk de functie $y = x^{5}$ .
Als je van een punt van de grafiek de eerste coördinaat $x$ kent, kun je uitrekenen:

de tweede coördinaat $y$ van dat punt; dat doe je met de functie $y = x^{5}$ zelf,
de helling van de grafiek in dat punt; dat doe je met de zogenaamde afgeleide functie $y' = 5 \cdot x^{4}$ .

Voer beide berekeningen uit voor $x = \frac{1}{2}$ .

$y' = n \cdot x^{n - 1}$ is de afgeleide functie van $y = x^{n}$ .

Met de afgeleide functie kun je de helling (richtingscoëfficiënt van de raaklijn) uitrekenen in een gegeven punt van de grafiek. Daarom wordt de afgeleide functie ook wel hellingfunctie genoemd.

Klopt bovenstaande regel ook voor $n = 1$ ?

Opmerking:

We kennen nu de afgeleide functie van $y = x^{n}$ voor elk positief geheel getal $n$ . Maar wat is de afgeleide functie van $y = x^{2} {(x + 1)}^{3}$ , van $y = \frac{1}{x^{2} + 5}$ en van $y = 5 x - \sqrt{x}$ ?
Daarvoor moeten we nog een heleboel werk verrichten. Het bepalen van de afgeleide functie bij een gegeven functie heet differentiëren.

Isaac Newton (1643-1727)

Gottfried W. Leibniz (1646-1716)

Het onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met het berekenen van afgeleide functies heet differentiaalrekening. Deze is in de zeventiende eeuw uitgevonden door de Engelsman Isaac Newton en de Duitser Gottfried Willhelm von Leibniz. Newton publiceerde zijn werk in 1687, maar had de theorie al eerder (in 1665) ontwikkeld; Leibniz publiceerde zijn Nova Methodes in 1684. De twee geleerden betwistten elkaar de uitvinding van de differentiaalrekening, met beschuldigingen van plagiaat over en weer.
Vóór Newton en Leibniz konden alleen de knapste koppen de helling van een raaklijn aan bijvoorbeeld een parabool in een gegeven punt berekenen. Daar was voor elk type grafiek weer een aparte (vaak ingenieuze) methode voor nodig. Nu hebben we één methode die werkt voor alle mogelijke grafieken. En dat is dagelijkse kost voor een havo-scholier in het B-profiel. Nu moet je niet denken dat de methode van Newton en Leibniz eenvoudig te begrijpen was. Integendeel, de redeneringen waren vaag en ondervonden aanvankelijk veel weerstand. Anderen hebben veel bijgeschaafd aan de theorie en deze zodoende toegankelijk gemaakt, ook voor middelbare scholieren.
De naam "differentiaalrekening" is afkomstig van Leibniz: "calculus differentialis". Denk aan "differentie", wat verschil betekent. $Δ x$ is het verschil tussen twee waarden van $x$ .

Bereken in welk punt op de grafiek van $y = x^{4}$ de raaklijn evenwijdig is met de lijn $x + 2 y = 3$ .

De grafiek van $y = x^{3}$ heeft twee punten waarin de raaklijn helling $12$ heeft.

Bereken de coördinaten van beide punten.