Vaten vullen
Hiernaast staan vier vaten. Elk van de vaten wordt gevuld met water. De vulsnelheid is constant, dat wil zeggen dat er elke seconde evenveel water in het vat stroomt. We letten op het waterniveau (dat is de hoogte van het water) in elk vat.

Zeg voor beide grafieken bij welk vat ze horen.

Schets de andere twee globale grafieken.

Een cilinder heeft een straal van $2$ cm. Elke minuut stroomt er $3$ cm³ water in de cilinder.

Hoeveel mm stijgt het waterniveau per minuut? Rond je antwoord af op 1 decimaal.

Een auto rijdt met een constante snelheid van $120$ km/uur. We letten op de afstand die de auto aflegt vanaf een zeker moment.

Met hoeveel meter neemt die afstand per seconde toe?

De temperatuur $T$ (in °C) op diepte $d$ (in hm) wordt in de Zuidafrikaanse goudmijnen gegeven door de formule
$T = 20 + 1,5 d$ .

Met hoeveel °C per hm neemt de temperatuur toe?

Bekijk de functie $y = 2 \frac{1}{2} x + 7$ .

Bereken de gemiddelde groei van $y$ op het $x$ -interval $[‐ 3,5]$ .

Bereken de gemiddelde groei van $y$ op het $x$ -interval $[a, b]$ .

Verklaar de uitkomsten van vragen a en b, ofwel: hoe had je het antwoord kunnen geven zonder berekening?

In opgave 30 en opgave 31 was de groei constant. De groeisnelheid op één moment is dan geen probleem. In opgave 29 was de groei niet constant. Dan is het lastiger te zeggen hoe groot de groeisnelheid op één moment is.

Verkeersovertreding
Heer Bommel was danig uit zijn humeur. Het verkeer in Rommeldam had hem veel oponthoud bezorgd en toen hij zich buiten de bebouwde kom waande, trapte hij het gaspedaal geheel in, zodat de Oude Schicht gierend over de weg vloog. Helaas ontging het hem dat hij zich op een weg bevond waar snelheidsbeperking geboden was en dat wreekte zich. Want daar naderde de commissaris van politie reeds op een brullende motor en stak een hand op.

"Hebt u zo'n haast, huh?" vroeg Bulle Bas, een notitie-boekje trekkend. "Hebt u de borden niet gezien? Kunt u niet lezen?"

"Maar ik reed niet te snel!" riep heer Bommel op piepende toon. "In het afgelopen kwartier heb ik niet meer dan $10$ km gereden, dat is dus $40$ km per uur".

Inderdaad wees de dagteller in de Oude Schicht $10$ km aan. Maar meer informatie geeft onderstaande grafiek.

Wat zou Bulle Bas hebben geantwoord op het verweer van heer Bommel?

Stel dat de heer Bommel met een constante snelheid van $40$ km/u zou hebben gereden.

Hoe zou de grafiek van zijn rit er dan uitgezien hebben?
Teken die grafiek op het werkblad.

In de gemeente Rommeldam zijn de boetes voor snelheidsovertredingen niet mals.

Het aangekruiste punt op de grafiek geeft het moment en de plaats aan waar Bommels overtreding werd geconstateerd.

Hoeveel boete moest heer Bommel betalen?

Teken op het werkblad een lijn die de constante snelheid van de nog net toegestane $50$ km/u aangeeft.
Kleur de stukken van de grafiek van de rit van heer Bommel die steiler lopen dan deze lijn.

Tom Poes, die naast heer Bommel in de auto zat, beweerde later nog dat ze bijna de helft van de weg te snel hadden gereden.

Ben jij het daarmee eens?

In hoofdstuk Hellingen hebben wij gezien dat je de groeisnelheid kan bepalen met het tekenen van de raaklijn in een punt van de grafiek.
De groeisnelheid op dat moment is dan de richtingscoëfficiënt van die raaklijn.

We bekijken de functie $y = x^{2}$ .

Bepaal met behulp van de applet helling_parabool met een raaklijn de helling in het punt $(‐ 2,4)$ .

Doe hetzelfde in de punten $(1,1)$ en $(2 \frac{1}{2},6 \frac{1}{4})$ .

In welk punt op de grafiek is de helling $3$ ?
En in welk punt is de helling $‐ 5$ ?

Het tekenen van de raaklijn aan een grafiek om daarmee de groeisnelheid te bepalen is niet zo'n nauwkeurige methode.
In de rest van deze paragraaf gaan we leren hoe we de groeisnelheid in een bepaald punt kunnen berekenen zonder de raaklijn te tekenen.
Dat kan natuurlijk alleen als we een formule van de grafiek hebben.

Iemand maakt een autorit van $12.30$ uur tot en met $13.30$ uur.
Stel dat de gemiddelde snelheid van de autorit $80$ km/u is.

Wat weet je dan van de snelheid om $13.30$ uur precies?

Meteen als het verkeerslicht op groen springt, sprint een auto weg. Gedurende de eerste tien seconden gaat hij steeds harder rijden. In de eerste $5$ seconden legt hij $45$ meter af; in de daaropvolgende $5$ seconden legt hij $125$ meter af.

Leg uit dat je op grond van deze informatie zeker weet dat zijn snelheid op het tijdstip na precies $5$ seconden ligt tussen de $9$ m/s en $25$ m/s.

Stel dat van een functie de helling toeneemt op het interval $[a, b]$ en dat $c$ in dat interval ligt.
Als de gemiddelde helling tussen $a$ en $c$ bijvoorbeeld $1,5$ is en de gemiddelde helling tussen $c$ en $b$ bijvoorbeeld $1,8$ is, dan is de helling in het punt $c$ zelf groter dan $1,5$ en kleiner dan $1,8$ .

We bekijken de functie $y = x^{2}$ .
We hebben al eerder gezien dat de gemiddelde helling op het $x$ -interval $[a, b]$ gelijk is aan $a + b$ .

Wat is de gemiddelde helling op het $x$ -interval $[1,9; 2]$ ?
En op het interval $[2; 2,1]$ ?
Wat weet je nu van de helling in het punt op de grafiek met $x = 2$ ?

Wat is de gemiddelde helling op het $x$ -interval $[1,99; 2]$ ?
En op het interval $[2; 2,01]$ ?
Wat weet je nu van de helling in het punt op de grafiek met $x = 2$ ?

Door steeds kortere intervallen te nemen, net vóór $x = 2$ en net ná $x = 2$ , kom je steeds dichter bij de helling van $y = x^{2}$ in het punt met $x = 2$ zelf.

Hoeveel groot is die helling dus?

Bepaal op de manier van opgave 36 de exacte helling van $y = x^{2}$ in het punt met $x = 3$ .

Bereken op dezelfde manier de helling bij $x = ‐ 4,5$ .

Bereken op dezelfde manier de helling bij $x = p$ .

De helling van de grafiek van $y = x^{2}$ in het punt met $x = p$ is gelijk aan $2 p$ .
Dat is dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt.

In welk punt van de grafiek van $y = x^{2}$ is de helling $5$ ?

Wat is de helling van de grafiek van $y = x^{2}$ in het punt met $x = ‐ 1,23$ ?

Als je langs de grafiek van $y = x^{2}$ loopt, van links naar rechts, neemt $y$ eerst snel af, dan maar weinig, dan gaat $y$ toenemen, daarna neemt $y$ steeds sneller toe.

In welk punt van de grafiek van $y = x^{2}$ neemt $y$ even snel toe als $x$ ?

In opgave 33 heb je in enkele punten de helling bepaald bij de functie $y = x^{2}$ door raaklijnen te tekenen met de applet helling_parabool . We kunnen de richtingscoëfficiënten van deze raaklijnen nu exact berekenen.

Bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $y = x^{2}$ in het punt $(‐ 2,4)$ .

Stel een vergelijking op van deze raaklijn.

Bereken in welk punt van de grafiek van $y = x^{2}$ de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan $7$ .

Stel een vergelijking op van deze raaklijn.

We bekijken de functie $y = x^{3}$ .
We hebben al eerder in opgave 20 en opgave 21 gezien dat de gemiddelde helling op het $x$ -interval $[a, b]$ gelijk is aan $a^{2} + a b + b^{2}$ .

Wat is de gemiddelde helling op het $x$ -interval $[a,2]$ ?
En op het interval $[2, b]$ ?

Vul in:
Als $a$ ietsje kleiner is dan $2$ , dan is de gemiddelde helling op $[a,2]$ ietsje kleiner dan .........
Als $b$ ietsje groter is dan $2$ , dan is de gemiddelde helling op $[2, b]$ ietsje groter dan .........

Wat is dus de helling in het punt met $x = 2$ ?

Wat is de gemiddelde helling op het $x$ -interval $[a, ‐ 3]$ ?

Door in het interval $[a, ‐ 3]$ voor $a$ een getal te kiezen dat erg dicht bij $‐ 3$ ligt, benader je goed de helling in het punt met $x = ‐ 3$ .

Wat is de helling in het punt met $x = ‐ 3$ ?

Wat is de helling in het punt met $x = 1$ ?
En in het punt met $x = p$ ?

We bekijken de functie $y = x^{4}$ .
We hebben al eerder in opgave 23 en opgave 24 gezien dat de gemiddelde helling op het $x$ -interval $[a, b]$ gelijk is aan $a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}$ .

Wat is de gemiddelde helling op het $x$ -interval $[a,2]$ ?

Door in het interval $[a, 2]$ voor $a$ een getal te kiezen dat erg dicht bij $2$ ligt, benader je goed de helling in het punt met $x = 2$ .

Wat is de helling van de grafiek van $y = x^{4}$ in het punt met $x = 2$ ?

Wat is de helling van de grafiek in het punt met $x = ‐ 1$ ?

Wat is de helling van de grafiek in het punt met $x = p$ ?

Vat de resultaten van de vorige opgaven samen in een tabel en vul hem ook in voor de functies $y = x^{5}$ en $y = x^{10}$ .

functie	gem. helling op $[a, p]$	helling in punt met $x = p$
$y = x^{2}$	$a + p$	$2 p$
$y = x^{3}$	$a^{2} + a p + p^{2}$
$y = x^{4}$	$a^{3} + a^{2} p + a p^{2} + p^{3}$
$y = x^{5}$
$y = x^{10}$