Rechte lijnen

De verticale verplaatsing is de toename van de tweede coördinaat $y$ ;
die noemen we $Δ y$ .
De horizontale verplaatsing is de toename van de eerste coördinaat $x$ ;
die noemen we $Δ x$ .
De richtingscoëfficiënt (rc of rico) van de lijn wordt gegeven door $\frac{Δ y}{Δ x}$ .
Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt.

De grafiek van de vergelijking $y = a x + b$ is een rechte lijn.
De factor $a$ (waarmee $x$ wordt vermenigvuldigd) is de richtingscoëfficiënt van de lijn.
De richtingscoëfficiënt geeft aan hoeveel de $y$ verandert als de $x$ met één toeneemt.
Het getal $b$ is de tweede coördinaat van het snijpunt van de lijn met de $y$ -as.
$a$ wordt ook wel het hellingsgetal en $b$ het startgetal genoemd.

Voorbeeld:

Bereken de vergelijking van de lijn die door de punten $A (3, ‐ 3)$ en $B (‐ 6, ‐ 9)$ gaat.
Oplossing

Bepaal eerst de richtingscoëfficiënt:
$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{‐ 3 - ‐ 9}{3 - ‐ 6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
Je weet nu: $y = \frac{2}{3} x + b$ .
Bepaal $b$ door de coördinaten van bijvoorbeeld punt $A$ in te vullen:
$‐ 3 = \frac{2}{3} \cdot 3 + b$ , dus $b = ‐5$ .
Het antwoord: $y = \frac{2}{3} x - 5$ .
Controleer je antwoord met behulp van punt $B$ :
$\frac{2}{3} \cdot ‐ 6 - 5 = ‐ 4 - 5 = ‐ 9$ en dat klopt.

sinus, cosinus en tangens

tan(α) = $\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde}$	sin(α) = $\frac{overstaande rechthoekszijde}{schuine zijde}$	cos(α) = $\frac{aanliggende rechthoekszijde}{schuine zijde}$
'TOA'	'SOS'	'CAS'

Hellingshoek, richtingscoëfficiënt en hellingspercentage

α is de hellingshoek van een rechte lijn; α $\neq 90 °$ .
Dan geldt: richtingscoëfficiënt = tan(α).

Voor een helling geldt:

hellingspercentage =

\frac{hoogteverschil}{afstand horizontaal} \cdot 100

Voor een helling met hellingshoek α geldt:

hellingspercentage =

tan(α)

\cdot 100

Nog meer over rechte lijnen

Vergelijkingen van de vorm $a x + b y = c$ geven als grafiek ook rechte lijnen.

$a = 0$ geeft een horizontale lijn.
$b = 0$ geeft een verticale lijn.
Door de formule om te schrijven in de vorm $y = ...$ krijg je: $rc = ‐ \frac{a}{b}$

Punten $P$ , $Q$ en $R$ liggen op een lijn als geldt ${rc}_{P Q} = {rc}_{Q R}$ ( $= {rc}_{P R}$ ).

Snijpunten van twee rechte lijnen bereken je door beide vergelijkingen in de vorm $y = ...$ te schrijven en dan aan elkaar gelijk te stellen.
Of door de ene vergelijking in de andere te substitueren.

Voorbeeld:

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen met vergelijkingen $3 x + 4 y = 9$ en $5 x - 2 y = ‐ 11$ .

Oplossing (beide omzetten)
Omschrijven: $y = ‐ \frac{3}{4} x + \frac{9}{4}$ en $y = 2 \frac{1}{2} x + 5 \frac{1}{2}$
Gelijkstellen: $2 \frac{1}{2} x + 5 \frac{1}{2} = ‐ \frac{3}{4} x + \frac{9}{4}$
Breuken weg (alles keer $4$ ): $10 x + 22 = ‐ 3 x + 9$
Verder oplossen: $\to$ $13 x = ‐ 13$ $\to$ $x = ‐ 1$
Invullen in één van beide vergelijkingen geeft $y = 3$ .
Antwoord: het snijpunt is $(‐ 1,3)$ .
Oplossing (substitutie-methode)
Tweede vergelijking omschrijven: $y = 2 \frac{1}{2} x + 5 \frac{1}{2}$
Substitueren: $3 x + 4 (2 \frac{1}{2} x + 5 \frac{1}{2}) = 9$
Verder oplossen: $\to$ $3 x + 10 x + 22 = 9$ $\to$ ... $\to$ $x = ‐ 1$
Invullen in $y = 2 \frac{1}{2} x + 5 \frac{1}{2}$ geeft $y = 3$ .
Antwoord: het snijpunt is $(‐ 1,3)$ .

Helling van een grafiek

De gemiddelde helling van een grafiek tussen twee punten bereken je door de richtingscoëffciënt te berekenen van het lijnstukje dat de twee punten met elkaar verbindt.
De helling in een punt op een grafiek bepaal je door in dat punt de raaklijn te tekenen en van deze raaklijn de richtingscoëfficiënt te berekenen.

We kennen 6 soorten van stijgen en dalen: