Snelheid en versnelling

Een bewegend punt $P$ bevindt zich op tijdstip $t$ in $(f (t), g (t))$ .
Op tijdstip $t$ is:
$(\begin{array}{l} f^{'} (t) \\ g^{'} (t) \end{array})$ de snelheidsvector,
$(\begin{array}{l} f^{″} (t) \\ g^{″} (t) \end{array})$ de versnellingsvector,
$\sqrt{f^{'} {(t)}^{2} + g^{'} {(t)}^{2}}$ de grootte van de snelheid.
De raaklijn in $P$ aan de baan heeft richtingsvector $(\begin{array}{l} f^{'} (t) \\ g^{'} (t) \end{array})$ .
In het bijzonder:
de raaklijn in $P$ is horizontaal als $g^{'} (t) = 0$ en $f^{'} (t) \neq 0$ ;
de raaklijn in $P$ is verticaal als $f^{'} (t) = 0$ en $g^{'} (t) \neq 0$ ;
als $f^{'} (t) = g^{'} (t) = 0$ , moet je nader onderzoek doen, zoals bijvoorbeeld in opgave 9 gedaan is.

Transformaties

Verschuiven over de vector $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ :	$(x, y) \to (x + a, y + b)$
Vermenigvuldigen ten opzichte van de $x$ -as met $p$ :	$(x, y) \to (x, p y)$
Vermenigvuldigen ten opzichte van de $y$ -as met $p$ :	$(x, y) \to (p x, y)$
Puntvermenigvuldigen ten opzichte van $O$ met factor $p$ :	$(x, y) \to (p x, p y)$
Spiegelen in de $x$ -as:	$(x, y) \to (x, ‐ y)$
Spiegelen in de $y$ -as:	$(x, y) \to (‐ x, y)$
Spiegelen in de lijn $y = x$ :	$(x, y) \to (y, x)$
Spiegelen in de lijn $y = ‐ x$ :	$(x, y) \to (‐ y, ‐ x)$
Spiegelen in $O (0,0)$ :	$(x, y) \to (‐ x, ‐ y)$

Vergelijking aanpassen

Gegeven een figuur waarvan je een vergelijking kent.
Om een vergelijking van de beeldfiguur te krijgen vervang je in de vergelijking van het origineel:

$x$ door $x - a$ en $y$ door $y - b$ als je de figuur verschuift over de vector $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ .
$y$ door $\frac{1}{p} \cdot y$ als je de figuur verticaal vermenigvuldigt met $p$ t.o.v. de $x$ -as.
$x$ door $\frac{1}{p} \cdot x$ als je de figuur horizontaal vermenigvuldigt met $p$ t.o.v. de $y$ -as.
$y$ door $x$ en $x$ door $y$ als je de figuur spiegelt in de lijn $y = x$ .
$y$ door $‐ x$ en $x$ door $‐ y$ als je de figuur spiegelt in de lijn $y = ‐ x$ .
$y$ door $‐ y$ als je de figuur spiegelt in de $x$ -as.
$x$ door $‐ x$ als je de figuur spiegelt in de $y$ -as.
$y$ door $‐ y$ en $x$ door $‐ x$ als je de figuur spiegelt in $O (0,0)$ .
$x$ door $\frac{1}{p} \cdot x$ en $y$ door $\frac{1}{p} \cdot y$ als je de figuur vermenigvuldigt met $p$ t.o.v. $O (0,0)$ .

Cirkelbeweging

Punt $P$ beweegt volgens ${\begin{cases} x = R \cos (ω t) \\ y = R \sin (ω t) \end{cases}$ ,
met $R > 0$ en $ω \neq 0$ .
De baan is een cirkel met middelpunt $O$ en straal $R$ .
De beweging gaat in tegenwijzerrichting als $ω > 0$ , anders in wijzerrichting.
De tijd voor één rondgang is: $\frac{2 π}{| ω |}$ .

Ellips

De ellips met een horizontale as van lengte $2 p$ , een verticale as van lengte $2 q$ en symmetriepunt $(a, b)$ heeft vergelijking $\frac{{(x - a)}^{2}}{p^{2}} + \frac{{(y - b)}^{2}}{q^{2}} = 1$ .