1.11 Extra opgaven

Hoofdstukken > Inhouden

In een balk van $5$ bij $6$ bij $7$ is een viervlak $P Q R S$ getekend. $R S$ is een horizontaal lijnstuk van lengte $6$ in het linker zijvlak en $P Q$ is een verticaal lijnstuk van lengte $5$ in het rechter zijvlak. In deze opgave gaan we de inhoud van dit viervlak berekenen.

We doorsnijden het viervlak met het horizontale vlak dat door $R S$ gaat.

Kleur op het werkblad de doorsnede.

Het punt van deze doorsnede dat op lijnstuk $P Q$ ligt noemen we $T$ . Het viervlak is nu verdeeld in twee driezijdige piramides: $P . R S T$ en $Q . R S T$ .
Zeg dat de hoogte $T Q$ van de tweede piramide $h$ is. Dan is de hoogte $P T$ van de andere piramide $5 - h$ .

Druk de inhoud van beide piramides uit in $h$ .

Wat is dus de totale inhoud van het viervlak? Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk.

Je kunt het bovenstaande ook uitvoeren in een balk van $a$ bij $b$ bij $c$ .

Wat is dan de inhoud van het viervlak (uitgedrukt in $a$ , $b$ en $c$ )? Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk.

In de figuur staat de uitslag van een piramide. De maten zijn erbij vermeld.

Bereken de inhoud.

$450$ gram suikerstroop is verpakt in een kartonnen potje. De bodem heeft een diameter van $6$ cm en het kartonnen afdekplaatje heeft een diameter van $8$ cm.
Het potje is helemaal gevuld tot een hoogte van $9$ cm. Hoeveel cm³ stroop er in het potje zit, is er niet op vermeld.

Bereken de inhoud van het potje.

Van een grotere verpakking zijn alle afmetingen $1 \frac{1}{2}$ keer zo groot.

Hoeveel gram stroop zit er in deze grotere pot?

In een assenstelsel zijn gegeven de punten $A (6,1,10)$ en $B (‐ 2,3,2)$ . $M$ is het midden van lijnstuk $A B$ .

Wat zijn de coördinaten van $M$ ?

In het $O x y$ -vlak (dat is het vlak waarin de $x$ -as en $y$ -as liggen) ligt een gebied met oppervlakte $10$ . We bekijken de drie kegels met dit gebied als grondvlak en achtereenvolgens $A$ , $M$ en $B$ als top.

Bereken de inhoud van elk van die kegels.

In Philadelphia (USA) is in 1976 een gigantische wasknijper gebouwd door de kunstenaar Claes Oldenburg met een totale hoogte van $14$ meter. Een normale wasknijper is $7$ cm hoog en weegt $6$ gram.
Veronderstel dat de reuzenknijper van hetzelfde materiaal is vervaardigd als zijn kleine voorbeeld.

Hoe zwaar is de gigant dan?

In deze opgave berekenen we de inhoud van een bol.
Van een 'diabolo' (dubbele kegel) is de totale hoogte $2$ en hebben de grond- en bovencirkel straal $1$ .

Bereken de inhoud van de diabolo.

We vergelijken de bol met straal $1$ en de cilinder met straal $1$ en hoogte $2$ , waaruit de diabolo is weggesneden. We gaan met de bierviltjes methode aantonen dat de bol en de cilinder-zonder-diabolo gelijke inhoud hebben. Bekijk daartoe bij beide lichamen de doorsnede op hoogte $h$ .

Bij de bol is de doorsnede cirkelvormig.

Wat is de straal? En de oppervlakte?

Bij de cilinder-zonder-diabolo is de doorsnede ringvormig.

Wat is de straal van de binnenste cirkel? En van de buitenste cirkel? Wat is dus de oppervlakte?

Je ziet dat beide doorsneden gelijke oppervlakte hebben.
Dat geldt voor elke hoogte $h$ . Volgens de bierviltjesmethode geldt dan:
inhoud bol = inhoud cilinder-zonder-diabolo.

Wat is dus de inhoud van de bol met straal $1$ ?

Wat is de inhoud van een bol met straal $r$ ?

De inhoud van een bol met straal $r$ is $1 \frac{1}{3} π r^{3}$ .

Een ruimtelijk lichaam past precies in een kubus met ribbe $4$ , zie figuur 1.
In de tweede figuur is de rand getekend: vier halve cirkels met straal $2$ , één in het bovenvlak, één in het voor-, één in het achter- en één in het ondervlak.
Als je de vorm bij de dik getekende punten (eerste plaatje) doorzaagt, krijg je twee congruente delen.

Bereken de lengte van de rand van het lichaam.

Bereken de totale oppervlakte.

Bereken de inhoud.

Heb je ontdekt hoe je deze ingewikkelde vorm kunt maken?
Zaag van een bezemsteel een stuk, waarvan de hoogte gelijk is aan de diameter. Zaag dit stuk door de as in twee symmetrische helften. Draai de ene helft een kwartslag en lijm hem aan de andere helft vast.

Van de piramide $T . A B C D$ is gegeven:
$A C$ en $B D$ snijden elkaar loodrecht in $O$ . $O A = 7$ , $T C$ staat loodrecht op vlak $A B C D$ , $O C = 2$ , $O B = O D = 1 \frac{1}{2}$ , en $C T = 12$ .

Toon aan dat de inhoud van $T . A B C D$ gelijk is aan $54$ .

$V$ is een vlak evenwijdig aan $A B C D$ dat van $T . A B C D$ een piramide afsnijdt met inhoud $16$ .

Bereken de afstand van $V$ tot $A B C D$ .

Punt $P$ ligt zo op ribbe $A T$ , dat de vlakken $B D P$ en $A B C D$ een hoek van $45 °$ maken.

Bereken de lengte van het lijnstuk $A P$ .

Van een kegel $K$ is gegeven:
het midden $M$ van $A C$ is de top,
de as staat loodrecht op $A B C D$ ,
$O$ ligt op de kegelmantel.
$K$ snijdt ribbe $A B$ in de punten $Q$ en $R$ .

Teken driehoek $M Q R$ op ware grootte. Neem $1$ cm als eenheid. Licht je werkwijze toe.

Zou er niet één formule zijn waarmee je de inhoud van alle lichamen kunt berekenen? Dat zou natuurlijk prachtig zijn.
We gaan in deze opgave na of de volgende formule er zo een is:
$I = \frac{1}{6} h \cdot (G + 4 M + B)$ .
Hierbij is $h$ de hoogte van het lichaam, $G$ de oppervlakte van het grondvlak, $B$ de oppervlakte van het bovenvlak en $M$ de oppervlakte van de doorsnede op halve hoogte.

Ga voor de volgende lichamen na dat de formule de juiste inhoud oplevert, zie figuur 1. Noem steeds de hoogte $h$ en de oppervlakte van het grondvlak $G$ .

Cilinder en parallellepipedum,
driezijdig prisma,
piramide en kegel.

figuur 1

Ga na of de formule de juiste inhoud oplevert voor een 'gekantelde' kubus (met vier ribben horizontaal en acht ribben onder een hoek van $45 °$ met een horizontaal vlak), zie figuur 2.

Ga na of de formule de juiste inhoud oplevert voor het viervlak van extra opgave 2, in figuur 3.

Ga na of de formule de juiste inhoud oplevert voor een bol (extra opgave 6, zie figuur 4).

Opmerking:

Dat de formule ook geldt voor een regelmatig achtvlak en voor afgeknotte kegels en piramides, is lastiger na te gaan.

Natuurlijk is het geen superformule: je kunt hem niet voor elk lichaam gebruiken. Maar, hij geeft wel vaak een goede benadering.