1

Met een rechthoekige driehoek en drie kopieën wordt de nevenstaande figuur gelegd. Er ontstaan twee vierkanten. De zijden van de rechthoekige driehoeken zijn: $a$ , $b$ en $c$ . Door de oppervlakte van het grote vierkant op twee manieren te berekenen (zoals in opgave 3), kun je laten zien dat $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

a

Doe dat.

In het vorige onderdeel hadden we het over vierkanten.
Dat de zijden van de grote vierhoek even lang zijn is wel duidelijk.

b

Waarom zijn de hoeken recht?

2

Van driehoek $A B C$ is gegeven: $β = 60 °$ , $a = 10$ en $c = 6$ .

a

Bereken de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact.

b

Bereken $b$ exact, vereenvoudig je antwoord.

c

Bereken exact de lengte van de zwaartelijn uit $C$ .
De zwaartelijn van een driehoek verbindt een hoekpunt met het midden van de tegenoverliggende zijde.

3

Vierhoek $A B C D$ is een parallellogram waarvan diagonaal $A C$ lengte $10$ heeft. Verder geldt: $∠ D A C = 30 °$ en $∠ B A C = 45 °$ .

a

Bereken de zijden van het parallellogram in twee decimalen.

b

Bereken de oppervlakte van het parallellogram in één decimaal.

c

Bereken de lengte van diagonaal $B D$ in één decimaal.

4

Gegeven is driehoek $A B C$ met $a = 4$ , $b = \sqrt{37}$ en $c = 3$ .

a

Bereken $β$ exact.

b

Bereken de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact.

5

We gaan verder met de vorige opgave. De bissectrice van hoek $B$ snijdt lijn $A C$ in $D$ .

a

Bereken $B D$ exact.

(hint)

Noem $B D = x$ , druk de oppervlakte van de driehoeken $A B D$ en $C B D$ in $x$ uit.

b

Bereken de lengte van de hoogtelijn uit $C$ van driehoek $A B C$ exact.

6

Van een stomphoekige driehoek is de lengte van twee zijden gegeven. Die zijn $4$ en $6$ . De oppervlakte van de driehoek is $10$ .

Bereken de hoek die de twee zijden met elkaar maken in graden nauwkeurig.

7

Aan een groot meer liggen de plaatsen $A$ , $B$ en $C$ . De afstand van $A$ tot $B$ hemelsbreed is $23,3$ km.
In $A$ kun je hoek α meten en in $B$ hoek β: α = $124 °$ en β = $33 °$ .

Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoe ver $A$ hemelsbreed van $C$ af ligt.

8

Ad maakt een vlieger van een latje van lengte $8$ en een latje van lengte $10$ . Dat worden de diagonalen $A C$ en $B D$ van de vlieger. Het punt waar de latjes op elkaar komen, noemen we $S$ .
Het punt $S$ kan op verschillende plaatsen op diagonaal $A C$ gekozen worden. De afstand van $A$ tot $S$ noemen we $p$ .

a

Maakt de keuze van $S$ wat uit voor de oppervlakte van de vlieger?

b

Druk $A B$ en $B C$ in $p$ uit.

c

Voor welke waarde van $p$ heeft de vlieger twee rechte hoeken?

9

Gegeven is driehoek $A B C$ met $α = 30 °$ , $a = 6$ en $b = 8$ .

a

Teken driehoek $A B C$ . Er zijn twee mogelijkheden.
Licht je werkwijze toe.

b

Bereken $β$ in één decimaal nauwkeurig.

c

Bereken $c$ in één decimaal als hoek $A B C$ stomp is.

d

Bereken $c$ in één decimaal als hoek $A B C$ scherp is.

10

Gegeven is driehoek $A B C$ met $a = 40$ , $b = 25$ en $c = 39$ .

a

Bereken $\cos (β)$ exact.

Op zijde $A B$ ligt een punt $P$ zó, dat $B P = 14$ .

b

Bereken $C P$ exact.

11

In deze opgave bewijzen we $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot c \cdot cos (α)$ als $α$ stomp is.

a

Er geldt: $A D = -cos (α) \cdot b$ , laat dat zien.

Door twee keer de de stelling van Pythagoras toe te passen vind je: $h^{2} = a^{2} - {(c - b \cdot cos (α))}^{2}$ en $h^{2} = b^{2} - b^{2} \cdot {cos}^{2} (α)$ .
Dus: $a^{2} - {(c - b \cdot cos (α))}^{2} = b^{2} - b^{2} \cdot {cos}^{2} (α)$

Opmerking
Om haakjes te vermijden, schrijven we ${cos}^{2} (α)$ in plaats van ${(cos (α))}^{2}$ .

b

Werk de haakjes weg en herschrijf het resultaat tot:
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot c \cdot cos (α)$ .

12

a

Hoe ziet de sinusregel eruit in het speciale geval dat $γ = 90 °$ ?
Laat zien dat deze formule juist is zonder de sinusregel te gebruiken.

b

Hoe ziet de cosinusregel eruit in het speciale geval dat $γ = 90 °$ ?
Laat zien dat deze formule juist is zonder de cosinusregel te gebruiken.

13

De oppervlakte van een regelmatige achthoek is $32 \sqrt{2}$ .
De hoekpunten van de achthoek liggen op een cirkel.

a

Bereken de exacte straal van die cirkel.

b

Bereken ook de zijde van de achthoek in één decimaal nauwkeurig.

14

Met behulp van een GPS-ontvanger kunnen op iedere plaats op aarde de coördinaten van die plaats worden bepaald. Een wereldwijd beoefende hobby waarbij gebruik gemaakt wordt van GPS is geocaching. Bij geocaching is het de bedoeling een cache – een soort schatkistje – te zoeken met behulp van een GPS-ontvanger en een loopopdracht. Een loopopdracht bestaat uit twee onderdelen: een koers en een afstand. De koers is de hoek ten opzichte van het noorden in een geheel aantal graden, vanaf het noorden draaiend met de klok mee. De afstand is gegeven in een geheel aantal meters.

De zoektocht naar de cache, genaamd “Haagse zoektocht” wordt als volgt beschreven:

Parkeer de auto langs de kant van de weg op N52 16.351 E6 57.531. Dit is punt $A$ .
Loop vanaf punt $A$ $109$ meter met koers $163$ graden. Dit is punt $B$ .
Loop vanaf punt $B$ $25$ meter met koers $110$ graden naar de cache op punt $C$ .

Zie figuur.
Het is mogelijk om in één loopopdracht vanaf punt $A$ naar punt $C$ te gaan. Hiervoor moet in driehoek $A B C$ eerst de afstand $A C$ berekend worden en vervolgens moet de koers van $A$ naar $C$ berekend worden.
Bereken de koers en de afstand van deze loopopdracht.

15

Gegeven in een assenstelsel de punten $A (‐ 2, ‐ 3)$ , $B (p,1)$ en $C (2,0)$ .

a

Neem $p = 5$ .
Bereken in dit geval $α$ in graden nauwkeurig.

(hint)

Bereken eerst de zijden van de driehoek.

b

Bereken de waarden van $p$ waarvoor hoek $A C B$ recht is.

16

Kapitein Rob verlaat met zijn schip de haven van Adam en vaart $10$ mijlen in noordelijke richting. Dan wordt de koers gewijzigd in richting Noord-Noord-West (dat is $22 \frac{1}{2} °$ ten opzichte van het noorden). In deze richting vaart het schip $8$ mijl. Daarna gaat het in richting Noord-West verder. Na $6$ mijl varen zoekt kapitein Rob de haven van Adam door zijn verrekijker.

In welke richting moet hij kijken? (Met andere woorden bereken de hoek tussen de richting waarin Adam ligt en de zuidelijke richting.)
Hoe ver is hij nu hemelsbreed van Adam verwijderd?

17

In deze opgave wordt nagegaan hoe een visje getekend kan worden dat in een rechthoek past met een breedte van $10$ cm en een hoogte van $4$ cm, zie de tekening rechts.
Om het visje te kunnen tekenen, is het nodig te weten hoe groot de straal is van de bijbehorende cirkelbogen. Ook moet de positie van de middelpunten van de cirkelbogen ten opzichte van de rechthoek bekend zijn. Hieronder zijn de rechthoek en een deel van de onderste cirkel op schaal getekend.

Er geldt het volgende:

$M$ is het middelpunt van een van de cirkelbogen
$A B = C D = 10$ cm
$A D = B C = 4$ cm
$E$ is het midden van $A D$
$G$ is het midden $F H$
$D H = E G = A F = p$ cm
De straal van de cirkelboog is $r$ cm

Met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek $M G E$ kan een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot (i) $r = \frac{1}{4} p^{2} + 1$ .

a

Stel de gevraagde vergelijking op en werk deze om tot $r = \frac{1}{4} p^{2} + 1$ .

Op soortgelijke manier kan met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek $M B F$ een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot (ii) $p^{2} - 20 p + 116 - 8 r = 0$ .

De in vergelijking (i) gegeven uitdrukking voor $r$ kan in vergelijking (ii) worden gesubstitueerd. Hierdoor ontstaat een vergelijking die kan worden omgewerkt tot (iii) $p^{2} + 20 p - 108 = 0$ .

b

Voer de hierboven beschreven substitutie uit en werk de daarbij verkregen vergelijking om tot $p^{2} + 20 p - 108 = 0$ .

In een rechthoek van $10$ cm bij $4$ cm kan nu een visje worden getekend als de waarden van $p$ en $r$ bekend zijn.
Deze kunnen worden berekend met behulp van de vergelijkingen (i) en (iii).

c

Bereken de waarden van $p$ en $r$ en teken het visje in de rechthoek.
Geef duidelijk uitleg over je werkwijze.

18

figuur 1

figuur 2

Hiernaast zie je een basketbalstellage die neergelaten kan worden, zie figuur 1.

Een basket is een ijzeren ring met een netje. Twee kettingen, die even lang zijn, dienen als beveiliging tegen vallen of te ver zakken van het geheel.
Het zijaanzicht van het frame is een parallellogram. We noemen dit parallellogram $A B C D$ , zie figuur 2.

$B C$ is $90$ cm en $A B$ is $100$ cm lang.
In de gymzaal waar de foto genomen is, is de hoogte van bevestigingspunt $B$ gelijk aan $280$ cm. De hoek bij punt $B$ (hoek $A B C$ ) noemen we $β$ .
De lengte van lijnstuk $A C$ wordt gegeven door:
$A C = 10 \sqrt{181 - 180 \cdot cos (β)}$ .

a

Toon de juistheid van de formule voor $A C$ aan.

Een van de kettingen is bevestigd tussen de punten $C$ en $A$ . De ketting heeft een lengte van $160$ cm. De basket wordt zoveel mogelijk omlaag gelaten zodat de ketting tussen $A$ en $C$ strak gespannen is.

b

Bereken de hoogte van punt $A$ boven de vloer in dat geval. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm.

19

Een burgervliegtuig mag niet via de kortste route van vliegveld Luxemburg naar Schiphol vliegen omdat er een verboden militaire zone tussen ligt. In het plaatje is deze zone licht oker gemaakt. Zie figuur 1.
In deze opgave bekijken we een model van deze situatie. In dit model houden we alleen rekening met horizontale afstanden en nemen we aan dat vliegtuigen in rechte lijnen vliegen.
De afstand van vliegveld Luxemburg ( $L$ ) naar vliegveld Schiphol ( $S$ ) is hemelsbreed $315$ km met een koers van $342 °$ . Hierin is de koers de hoek ten opzichte van het noorden met de wijzers van de klok mee.

figuur 1

figuur 2

Stel dat een vliegtuig vanaf vliegveld Luxemburg eerst richting het westen vliegt en vervolgens richting het noorden vliegt om precies op Schiphol uit te komen. Hierdoor wordt de vliegafstand langer dan $315$ km.

a

Bereken hoeveel langer deze vliegafstand is. Geef je antwoord in tientallen kilometers nauwkeurig.

figuur 3

In werkelijkheid vliegt men vanaf vliegveld Luxemburg eerst $300$ kilometer met een koers van $310 °$ om vervolgens rechtstreeks naar Schiphol te vliegen, zie figuur 3.
Als men rechtstreeks van vliegveld Luxemburg naar vliegveld Schiphol zou mogen vliegen, zou de afstand met een bepaald percentage verkort kunnen worden.

b

Bereken dit percentage in hele procenten nauwkeurig.

20

Twee vierkanten hebben een hoekpunt gemeenschappelijk. Het ene vierkant heeft oppervlakte $25$ het andere oppervlakte $9$ . Eén van de blauwe driehoeken heeft een hoek van $60 °$ , zie plaatje.

Bereken de oppervlakte van beide blauwe driehoeken exact.

21

Een driehoek heeft zijden van $3$ en $4$ . De hoek tussen de zijden is $45 °$ . Met nog zo'n driehoek kun je een parallellogram maken zó dat een van de hoeken van het parallellogram $45 °$ is.
De onbekend zijde noemen we $x$ .

a

Bereken $x^{2}$ exact.

In opgave 32 heb je met twee exemplaren van de driehoek een parallellogram gelegd.
Met twee exemplaren kun je ook een vlieger leggen met twee zijden van lengte $4$ en twee zijden van lengte $x$ .

Eén van de diagonalen van de vlieger is symmetrieas van de vlieger.

b

Bereken exact de stukken waarin de symmetrieas van de vlieger door de andere diagonaal verdeeld wordt.

De diagonalen verdelen de vlieger in vier rechthoekige driehoeken.

c

Bereken $x^{2}$ door de stelling van Pythagoras in een van die driehoeken toe te passen.