Oppervlakte van de vier driehoeken is: $4\cdot \frac{1}{2}\cdot ab=2ab$.
Oppervlakte kleine vierkant is: ${\left(b-a\right)}^2$.
Dus: $c^2={\left(b-a\right)}^2+2ab$. Haakjes wegwerken geeft het gewenste resultaat.

Een hoek is de som van de twee scherpe hoeken van de een rechthoekige driehoek, dus $90°$.

De oppervlakte is $\frac{1}{2}a\cdot c\cdot \sin (\text{β})=15\sqrt{3}$.

$b^2={10}^2+6^2-2\cdot 10\cdot 6\cdot \cos (60°)=76$, dus $b=2\sqrt{19}$

Noem de lengte van de zwaartelijn $z$. Pas de cosinusregel toe.
$z^2=3^2+{10}^2-2\cdot 10\cdot 3\cdot \cos (60°)=79$, dus $z=\sqrt{79}$.

We passen de sinusregel toe in driehoek $ABC$.
$\angle ABC=105°$, dus
$\frac{\sin (45°)}{BC}=\frac{\sin (105°)}{AC}$, dus $BC=\frac{10\cdot \sin (45°)}{\sin (105°)}=\mathrm{7,32}$.
$\angle ACB=30°$
$\frac{\sin (30°)}{AB}=\frac{\sin (105°)}{AC}$, dus $AB=\frac{10\cdot \sin (30°)}{\sin (105°)}=\mathrm{5,18}$.

De oppervlakte is $AB\cdot AD\cdot \sin (75°)=\mathrm{7,32}\cdot \mathrm{5,18}\cdot \mathrm{0,966}=\mathrm{36,6}$.

We passen de cosinusregel toe in driehoek $ABD$.
$D{B}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos (75°)$, dus: $DB=\mathrm{7,8}$.

Pas de cosinusregel toe.
${\sqrt{37}}^2=4^2+3^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos (\text{β})$, dus $\cos (\text{β})=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$, dus $\text{β}=120°$.

De oppervlakte is $\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin (120°)=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.

$BD=x$, dan
oppervlakte driehoek $ABD$ is $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot x\cdot \sin (60°)=\frac{3}{4}x\sqrt{3}$ en
oppervlakte driehoek $CBD$ is $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot x\cdot \sin (60°)=x\sqrt{3}$.
Oppervlakte driehoek $ABD$ en oppervlakte driehoek $CBD$ is samen oppervlakte driehoek $ABC$, dus $\frac{3}{4}x\sqrt{3}+x\sqrt{3}=1\frac{3}{4}x\sqrt{3}=3\sqrt{3}$, dus $x=1\frac{5}{7}$.

De projectie van $C$ op lijn $AB$ noemen we $E$. Dan is driehoek $BCE$ een $30$-$60$- $90$-graden driehoek, dus $CE=2\sqrt{3}$.

Nee, de oppervlakte van de vlieger is de helft van de oppervlakte van de rechthoek, zie figuur, dus $40$.

$AB=\sqrt{p^2+4^2}$ en $BC=\sqrt{{(10-p)}^2+4^2}$.

Hoek $ABC$ is recht als de stelling van Pythagoras in driehoek $ABC$ geldt, dus als: $p^2+4^2+{(10-p)}^2+4^2={10}^2$, dus als $p=2$ of $p=8$.

Neem bijvoorbeeld $\frac{1}{2}$ cm als eenheid.
Teken een halve lijn $h$ met beginpunt $A$. Teken een halve lijn met beginpunt $A$ die een hoek van $30°$ maakt met de al getekende halve lijn $h$.
Teken hierop het punt $C$.
Teken een cirkel met middelpunt $C$ en straal $6$. Deze snijdt de halve lijn $h$ in twee punten. Elk van deze punten kan $B$ zijn.

Pas de sinusregel toe in driehoek $ABC$.
$\frac{\sin (\text{α})}{a}=\frac{\sin (\text{β})}{b}$ geeft: $\frac{\sin (30°)}{6}=\frac{\sin (\text{β})}{8}$, dus $\sin (\text{β})=\frac{2}{3}$. De GR geeft: ${\sin }^{\mathrm{‐}1}(\frac{2}{3})=\mathrm{41,8}°$, dus $\text{β}=\mathrm{41,8}°$ of $\text{β}=180°-\mathrm{41,8}°=\mathrm{138,2}°$.

Dan is $\text{β}=\mathrm{138,2}°$ en $\text{γ}=\mathrm{11,8}°$. We passen de sinusregel toe.
$\frac{\sin (\text{α})}{a}=\frac{\sin (\text{γ})}{c}$ geeft: $\frac{\sin (30°)}{6}=\frac{\sin (\mathrm{11,8}°)}{c}$, dus $c=12\cdot \sin (\mathrm{11,8}°)=\mathrm{2,5}$.

Dan is $\text{β}=\mathrm{41,8}°$ en $\text{γ}=\mathrm{108,2}°$. We passen de sinusregel toe.
$\frac{\sin (\text{α})}{a}=\frac{\sin (\text{γ})}{c}$ geeft: $\frac{\sin (30°)}{6}=\frac{\sin (\mathrm{108,2}°)}{c}$, dus $c=12\cdot \sin (\mathrm{108,2}°)=\mathrm{11,4}$.

We passen de cosinusregel toe.
${25}^2={39}^2+{40}^2-2\cdot 39\cdot 40\cdot \cos (\text{β})$, hieruit volgt: $\cos (\text{β})=\frac{4}{5}$.

Pas de cosinusregel toe in driehoek $BCP$.
$C{P}^2={40}^2+{14}^2-2\cdot 40\cdot 14\cdot \cos (\text{β})=900$, dus $CP=30$.

Hoek $DAC$ noemen we $\text{δ}$. Er geldt: $AD=\text{cos}(\text{δ})\cdot b$. Verder: $\text{cos}(\text{δ})=\text{-cos}(\text{α})$ (want $\text{α}=180°-\text{δ}$, dus $AD=\text{-cos}(\text{α})\cdot b$.

$a^2-{(c-b\cdot \text{cos}(\text{α}))}^2=b^2-b^2\cdot {\text{cos}}^2(\text{α})$, haakjes wegwerken geeft:
$a^2-c^2+2b\cdot c\cdot \text{cos}(\text{α})-b^2\cdot {\text{cos}}^2(\text{α})=b^2-b^2\cdot {\text{cos}}^2(\text{α})$, dus $a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot \text{cos}(\text{α})$.

$\frac{\text{sin}(\text{α})}{a}=\frac{\text{sin}(\text{β})}{b}=\frac{\text{sin}(\text{γ})}{c}$ wordt:
$\frac{\text{sin}(\text{α})}{a}=\frac{\text{sin}(\text{β})}{b}=\frac{1}{c}$, dus $\frac{\text{sin}(\text{α})}{a}=\frac{1}{c}$ en $\frac{\text{sin}(\text{β})}{b}=\frac{1}{c}$ , dus $\text{sin}(\text{α})=\frac{a}{c}$ en $\text{sin}(\text{β})=\frac{b}{c}$.
Dit laatste geldt in een driehoek $ABC$ waarin hoek $C$ recht is.

$c^2=a^2+b^2$, dit is de stelling van Pythagoras.

Noem de straal van de cirkel $r$. De achthoek is te verdelen in acht gelijkbenige driehoeken met twee zijden van lengte $r$ en een hoek van ${45}^{\circ }$ tussen die zijden, zie de figuur.
De oppervlakte van de achthoek is dus: $8\cdot \frac{1}{2}\cdot r^2\cdot \text{sin}(45°)=2r^2\cdot \sqrt{2}$, dus $r^2=16$, dus $r=4$.

figuur bij opgave 13

Noem de zijde $z$. Pas de sinusregel toe in de driehoek met als hoekpunten het middelpunt van de cirkel en twee hoekpunten op het uiteinde van een zijde.
In die driehoek heb je twee hoeken van $67{\frac{1}{2}}^{\circ }$ en één van ${45}^{\circ }$.
Je krijgt: $\frac{\sin (67\frac{1}{2}°)}{4}=\frac{\sin (45°)}{z}$, dus $z=\frac{4\cdot \sin (45°)}{\sin (67\frac{1}{2}°)}\approx \mathrm{3,1}$.

We berekenen de zijden van de driehoek.
$a=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$, $b=\sqrt{4^2+3^2}=5$ en $c=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}$.
Pas de cosinusregel $a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot \text{cos}(\text{α})$ toe.
Invullen geeft:
$10=25+65-2\cdot 5\cdot \sqrt{65}\cdot \text{cos}(\text{α})$, dus $\text{cos}(\text{α})=\frac{80}{10\sqrt{65}}$, dus $\text{α}=7°$.

$BC=\sqrt{{(p-2)}^2+1^2}=\sqrt{p^2-4p+5}$, $AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$ en $AB=\sqrt{{(p+2)}^2+4^2}=\sqrt{p^2+4p+20}$.
Hoek $ACB$ is recht ⇔$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$ ⇔ $p^2-4p+5+25=p^2+4p+20$ ⇔ $p=1\frac{1}{4}$.

$EG=p$, $MG=r-2$ en $EM=r$.
Stelling van Pythagoras geeft:
$r^2=p^2+{(r-2)}^2\to r^2=p^2+r^2-4r+4$.
Dus $4r=p^2+4$, delen door $4$ geeft het gewenste resultaat.

$p^2-20p+116-8(\frac{1}{4}{p}^2+1)=0\to$
$p^2-20p+116-2p^2-8=0\to$
$\mathrm{‐}{p}^2-20p+108=0$
Het tegengestelde nemen levert: $p^2+20p-108=0$.

$p^2+20p-108=0\to p=\frac{\mathrm{‐}20\pm \sqrt{400+432}}{2}$
$p>0$, dus $p\approx \mathrm{4,4}$ en dan (invullen in $r=\frac{1}{4}{p}^2+1$) $r\approx \mathrm{5,9}$.
Teken nu een rechthoek $ABCD$ van $4$ bij $10$.
Teken $H$ op $\mathrm{4,4}$ van $D$ op $CD$. Teken een lijn door $H$ loodrecht op $CD$ . Teken hierop $M$ op afstand $r\approx \mathrm{5,9}$ van $H$. Je kunt nu de cirkelboog $EHB$ tekenen.
Spiegel $M$ in lijn $EG$, dat wordt het middelpunt voor de andere cirkelboog.

Pas de cosinusregel $b^2=a^2+c^2-2a\cdot c\cdot \text{cos}(\text{β})$ in driehoek $ABC$ toe:
$b^2={100}^2+{90}^2-2\cdot 90\cdot 100\cdot \text{cos}(\text{β})={10}^2({10}^2+9^2-2\cdot 90\cdot \text{cos}(\text{β}))={10}^2(181-180\cdot \text{cos}(\text{β}))$
Worteltrekken geeft:
$AC=10\sqrt{181-180\cdot \text{cos}(\text{β})}$.

figuur bij onderdeel b

In dit geval is $AC=160$, dus gebruikmakend van a vind je: $16=\sqrt{181-180\cdot \text{cos}(\text{β})}$ , kwadrateren geeft: $256=181-180\cdot \text{cos}(\text{β})$ , dus $\text{cos}(\text{β})=\mathrm{‐}\frac{75}{180}$.

In de tekening op de volgende bladzijde is $E$ het punt op de muur op dezelfde hoogte als $A$.
$\text{δ}=180°-\text{β}$ , dus $\text{cos}(\text{δ})=\frac{75}{180}$ en $BE=100\cdot \text{cos}(\text{δ})=100\cdot \frac{75}{180}=\mathrm{41,666...}$.
De hoogte van $A$ is nu $280-42=238$ cm.

Het westelijke stuk is $315\cdot \text{cos}(72°)\approx \mathrm{97,34}$ km, het noordelijk stuk is $315\cdot \text{sin}(72°)\approx \mathrm{299,58}$ km, samen is dat: $\mathrm{396,92}$ km, dus het verschil is: $\mathrm{75,92}$ km, dus $80$ km.

figuur bij opgave 19

Pas de cosinusregel toe in de driehoek, zie plaatje.
$x^2={300}^2+{315}^2-2\cdot 300\cdot 315\cdot \text{cos}(32°)=\mathrm{28943,}\dots$ dus $x=\sqrt{\mathrm{28943,}\dots }\approx 170$.
De lengte van de vliegroute is dus $470$ km.
$\frac{470-315}{470}=\mathrm{0,33}$, dus de route zou met $33\text{\%}$ verkort kunnen worden.

$x^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos (45°)=25-12\sqrt{2}$

Eén van de stukken is rechthoekszijde van een rechthoekige gelijkbenige driehoek met schuine zijde $4$, heeft dus lengte $2\sqrt{2}$.
Het andere stuk heeft lengte $3-2\sqrt{2}$.

$x^2={(3-2\sqrt{2})}^2+{(2\sqrt{2})}^2=9-12\sqrt{2}+8+8=25-12\sqrt{2}$