De jaarlijkse kosten van een personenauto hangen natuurlijk af van het aantal kilometers dat je er jaarlijks mee rijdt. Daarnaast is ook de soort brandstof van belang voor de kosten. Want de brandstofprijzen zijn verschillend en voor een auto die op diesel rijdt betaal je veel meer wegenbelasting dan voor een auto die op benzine rijdt.
In de tabel staan deze kosten weergegeven voor een dieselauto en van een vergelijkbare benzineauto.

Leg uit dat de dieselauto het voordeligst is als je heel veel kilometers rijdt.

Robin rijdt jaarlijks $15.000$ km.

Met welke soort brandstof is hij het voordeliger uit? Hoeveel euro scheelt hem dat per jaar?

De vraag is vanaf welk aantal kilometers per jaar de dieselauto voordeliger is. Dat kan worden berekend door formules op te stellen voor de kosten van beide auto’s.
Noem $K$ de totale jaarlijkse kosten (in euro) en $a$ het aantal kilometers dat jaarlijks gereden wordt.

Leg uit dat de formule voor de kosten van een benzineauto luidt: $K = 0,125 a + 540$ .

Stel ook een formule op voor de kosten van een dieselauto.

Bereken vanaf welk aantal kilometers per jaar de dieselauto het voordeligst is.

Gegeven is de formule $2 x + 3 y = 24$ .

Vul de tabel hieronder verder in. Vul de tabel zelf aan met nog enkele waarden van $x$ en $y$ .

Teken de punten uit de tabel in een rooster. Trek een lijn door de punten.

Als je het goed gedaan hebt, heb je zojuist een rechte lijn getekend.

Wat is de formule, in de vorm $y = a x + b$ , van deze rechte lijn?

Voorbeeld:

De vergelijking $3 x + 2 y = 8$ is de vergelijking van een rechte lijn. Dat kun je inzien door de vergelijking om te schrijven:

$3 x + 2 y$	$=$	$8$	beide zijden $3 x$ eraf
$2 y$	$=$	$‐ 3 x + 8$	beide zijden delen door $2$
$y$	$=$	$‐ 1,5 x + 4$

Dit is een vergelijking van de vorm $y = a x + b$ .
Het is dus een lijn met richtingscoëfficiënt $‐ 1,5$ , die door het punt $(0,4)$ gaat.

Schrijf de volgende formules om in formules van de vorm
$y = a x + b$ .

$‐ 2 x + 5 y = 12$

$7 x - 4 y = 5$

$1,5 x - 7,5 y = ‐ 4,5$

$0,35 x + 1,75 y = 2,1$

Bij bakker Van der Wijst kost een heel brood $€ 1,40$ . Een half brood kost bij van der Wijst meer dan de helft, namelijk $€ 0,80$ .
Het aantal halve broden dat Van der Wijst op een dag verkoopt noemen we $x$ , het aantal hele broden noemen we $y$ .

Als $x = 20$ en $y = 36$ , hoeveel broden heeft van der Wijst dan in totaal verkocht?

Van der Wijst heeft vandaag $46$ broden verkocht, sommige als heel brood, andere als twee halve broden. Een van de mogelijkheden is: $x = 20$ en $y = 36$ . Maar ook andere combinaties van $x$ en $y$ leveren in totaal $46$ broden op.

Maak een tabel van enkele mogelijkheden.

Stel een formule op voor $x$ en $y$ .

Teken de bijbehorende grafiek.

In totaal brachten de broden vandaag $€ 67,20$ in de kassa. Hieruit volgt een formule voor $x$ en $y$ van de vorm:
$... \cdot x + ... \cdot y = 67,20$ .

Welke getallen moeten er op de stippellijntjes in deze formule staan.

Teken de grafiek van deze formule in het plaatje van d.

We hebben nu twee formules voor $x$ en $y$ .

Bereken hiermee hoeveel hele broden en hoeveel halve broden Van der Wijst vandaag verkocht heeft.

Leg uit hoe je de antwoorden van g ook kunt vinden in de figuur met de twee grafieken die je hebt getekend.

Van een antieke kroon is bekend dat hij geheel uit goud en zilver bestaat. Hoeveel van beide edelmetalen in de kroon is verwerkt, is niet bekend. De dichtheid van zilver is $10,5$ g/cm³, dat wil zeggen dat $1$ cm³ zilver $10,5$ gram weegt. De dichtheid van goud is $19,5$ g/cm³.

Als de kroon uit $7$ cm³ zilver en $5$ cm³ goud zou bestaan, hoe zwaar zou de kroon dan zijn?

Het aantal cm³ zilver in de kroon noemen we $x$ , het aantal cm³ goud noemen we $y$ . De kroon weegt $153$ gram en heeft een volume van $12$ cm³.

Leg uit dat geldt: $x + y = 12$ .

Leg uit dat ook geldt: $10,5 x + 19,5 y = 153$ .

Bereken de waarden van $x$ en $y$ .

Voorbeeld:

We herhalen hier kort hoe je haakjes kunt wegwerken.
$7 (3 x - 2) = 21 x - 14$
$‐ (2 x - 7) = ‐ 2 x + 7$
$‐ 14 - (6 - 4 x) = ‐ 14 - 6 + 4 x = ‐ 20 + 4 x$

Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$3 (4 x - 7)$	$12 - 3 (‐ 2 x + 1)$
$‐ 4 (3,5 x + 5)$	$3 - 7 (10 - 3 x)$
$‐ (2 x - 5) + 3$	$1 - (2 x + 3) - 4 (x - 5)$
$(7 - 3 x) \cdot 4 + 5$	$(11 - 5 x) (‐ 4 + 7)$

Opmerking:

Als je van een rechte lijn weet hoe steil hij is en door welk punt hij gaat, dan kun je een vergelijking van die lijn opstellen. Dat heb je in hoofdstuk 4 geleerd en ook nog in de vorige paragraaf geoefend. Je kunt die vergelijking ook op een andere manier opstellen. Daarbij is het wel van belang dat je haakjes kunt wegwerken. Hoe dat gaat zie je hieronder.

Een rechte lijn gaat door het punt $(15,30)$ en heeft richtingscoëfficiënt $0,6$ . Neem een willekeurig ander punt $(x, y)$ op de lijn.

Uit het plaatje kun je aflezen dat:
$Δ x = x - 15$
en $Δ y = y - 30$ ,
dus $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y - 30}{x - 15} = 0,6$ .
Dus $y - 30 = 0,6 \cdot (x - 15)$
Dus $y - 30 = 0,6 x - 9$
Dus $y = 0,6 x + 21$

Stel op deze manier vergelijkingen op van de volgende rechte lijnen.
Maak eventueel zelf schetsmatige plaatjes erbij.

De lijn door het punt $(17,5)$ met richtingscoëfficiënt $3$ .

De lijn door het punt $(13,23)$ met richtingscoëfficiënt $‐1,4$ .

De lijn door het punt $(44,‐30)$ met richtingscoëfficiënt $0,85$ .

De lijn door het punt $(‐24,10)$ met richtingscoëfficiënt $2,5$ .

Hieronder staat een grafiek met de metingen vanaf 1891 t/m 2012 van de hoogte van de zeespiegel voor de Nederlandse kust. De stippen zijn de gemiddelde waardes (in cm) van de zeespiegel in de jaren. Door de stippen is een rechte lijn getekend: de zogenaamde trendlijn.

Bron: compendiumvoordeleefomgeving.

Bereken zo nauwkeurig mogelijk de richtingscoëfficiënt van de trendlijn.

Nauwkeurige berekeningen geven aan dat per jaar de zeespiegel voor de Nederlandse kust gemiddeld met $0,1861$ cm per jaar stijgt.

In 2011 was de zeespiegel volgens de trendlijn $5,0$ cm boven NAP. We noemen $t$ de tijd in jaren sinds 2000. De trendlijn gaat dus door het punt $(11; 5,0)$ .

Geef een formule voor de hoogte $h$ in cm van de zeespiegel als functie van $t$ .

Veel mensen vrezen dat als gevolg van de opwarming van de aarde het poolijs blijft smelten en de zeespiegel volgens deze trend blijft stijgen als niet wordt ingegrepen.

In welk jaar wordt volgens de trendlijn een hoogte van $15,0$ cm boven NAP bereikt?

Als je thuis een zogenaamde dubbele elektriciteitsmeter hebt, dan wordt de verbruikte stroom in twee delen gesplitst, die elk een eigen elektriciteitsmeter hebben. Namelijk de gewone stroom die op werkdagen tussen $7$ uur ’s ochtends en $11$ uur ’s avonds wordt gebruikt en de goedkopere dalstroom die op werkdagen tussen $11$ uur ’s avonds en $7$ uur ’s ochtends en in de weekenden wordt gebruikt. Het idee erachter is dat je geld kunt besparen door bepaalde apparaten, zoals bijvoorbeeld een wasmachine, ’s nachts of in het weekend te laten draaien.

We vergelijken de tarieven van twee leveranciers van elektriciteit, Nonu en Esnest. De kosten per kWh van gewone stroom is het normaal tarief en de kosten van dalstroom is het daltarief. Naast deze verbruikskosten zijn er nog vaste kosten. Ook krijgen nieuwe klanten nog een welkomstpremie, dat is een eenmalige korting op jaarbasis. Zie de tabel hieronder voor de bedragen.

Een gezin met twee kinderen heeft een elektriciteitsverbruik van ongeveer $5000$ kWh per jaar. Het gezin is nieuwe klant.

Bereken voor elk van de energieleveranciers de totale kosten bij een jaarlijks verbruik $3000$ kWh gewone stroom en $2000$ kWh dalstroom.
Welke leverancier is het goedkoopst?

We gaan in het vervolg uit van een totaalverbruik van $5000$ kWh per jaar.

Stel een formule op voor de jaarlijkse kosten $K$ in euro bij Nonu bij een jaarlijks verbruik van $x$ kWh gewone stroom en $y$ kWh dalstroom. Deze formule is van de vorm:
$K = ... \cdot x + ... \cdot y + ...$ .

Stel ook zo’n formule op voor Esnest.

Wat is het verband tussen $x$ en $y$ als het totale jaarlijkse verbruik $5000$ kWh is.

Herschrijf de formules bij b en c tot formules waarbij $K$ alleen wordt uitgedrukt in $x$ . Schrijf deze formules zo eenvoudig mogelijk. Deze formules zijn van de vorm: $K = ... \cdot x + ...$ .

Bereken bij welke verdeling van het verbruik Nonu goedkoper is dan Esnest.

(hint)

Bereken eerst voor welke $x$ de kosten van beide leveranciers gelijk zijn.