Verdubbelen en halveren

Van Ittersum heeft voor het huis een vierkante vijver. Daarin zwemmen mooie vissen. Op een dag drijft er een blaadje eendenkroos in de vijver. Dat is een soort onkruid dat veel in vijvers voorkomt. Een dag later drijven er twee blaadjes. Maar Van Ittersum maakt zich niet ongerust; zijn vissen kan hij nog goed zien. Weer een dag later is het aantal blaadjes weer verdubbeld: hij ziet nu vier blaadjes. Enzovoort: elke dag is het aantal blaadjes twee keer zo groot als de dag ervoor. Na zes dagen ziet Van Ittersum dat de vijver al voor iets meer dan de helft is dichtgegroeid.

Heb je enig idee na hoeveel dagen de vijver helemaal dichtgegroeid zal zijn met eendenkroos?

De vijver in het plaatje is verdeeld in honderd vierkantjes. We nemen aan dat één kroosje precies één vierkantje bedekt. Het kroosje van de eerste dag is in de hoek getekend.

Geef in een rooster van 10 bij 10 aan hoe de vijver in de loop der dagen dichtgroeit. Gebruik voor elke volgende dag een andere kleur.

Neem de tabel over en schrijf daarin het totaal aantal hokjes met kroosjes in de vijver op elke dag.

op dag ...	1	2	3	4	5	6	7	8
aantal hokjes	1	2	4

Bekijk nog eens je antwoord op de eerste vraag.

Blijf je bij je mening?

Bakker Van Drempt heeft een geweldig grote banketstaaf gebakken: 128 cm lang. Hij heeft die banketstaaf gebruikt in zijn etalage voor Sinterklaas. Op de laatste middag voor sinterklaasavond gaat hij de staaf verdelen in kleine stukjes voor zijn klanten. Eerst snijdt hij de staaf doormidden.

Hij legt de twee helften naast elkaar en snijdt ze dan in een keer doormidden. De vier stukken die hij dan heeft legt hij weer naast elkaar en snijdt ze weer doormidden. Zo snijdt hij door totdat hij meer dan dertig stukjes heeft.
In het plaatje is aangegeven hoe lang de stukken zijn na nul, na één en na twee keer snijden.

Neem het plaatje over en geef daarin aan hoe lang de stukken zijn na 0, 1, 2, ... keer snijden. Begin met een stuk van 12,8 cm (dus neem schaal 1:10).

Maak een tabel en vul hem in.

na ... keer snijden	0	1	2	3	4	5	6	7
lengte in cm	128	64
aantal stukken	1	2	4

"Schural doodt 99% van de huishoudbacteriën" staat er op een fles schoonmaakmiddel. Maar de overgebleven bacteriën zorgen ervoor dat hun aantal weer snel op peil komt!
Een bacterie plant zich voort door zich in tweeën te delen. De bacteriën die zodoende ontstaan delen zich na verloop van tijd weer in tweeën, enzovoort. De moeder van Anneke heeft zojuist de gootsteen met Schural schoongemaakt. Maar 1% van de huishoudbacteriën heeft de schoonmaakbeurt overleefd. Neem aan dat een bacterie zich gemiddeld één keer per uur deelt en dat er geen bacteriën sterven.

na ... uur	0	1	2	3	4	5
percentage bacteriën

Neem de tabel over en schrijf daarin hoeveel bacteriën er zijn na 1 uur, na 2 uur, na 3 uur, enz.

Na hoeveel uur ongeveer is het aantal bacteriën weer even groot als voor de schoonmaakbeurt?

In het plaatje zie je vier fasen van een patroon dat zich ontwikkelt.

De derde fase heeft 8 uiteinden.

Hoeveel uiteinden heeft de vijfde fase?

De tiende fase heeft 1024 uiteinden.

Hoeveel uiteinden heeft de elfde fase?

Egyptisch vermenigvuldigen

De moderne mens rekent in het zogenaamde tientallige stelsel. De oude Egyptenaren hadden niet zo'n fraai getalsysteem als wij. Zij konden in hun systeem wel goed optellen en verdubbelen, maar vermenigvuldigen ging niet zo gemakkelijk. Zo werkten ze niet met "tafels van vermenigvuldiging". En eigenlijk is de oude Egyptische manier van vermenigvuldigen zo gek nog niet. Om met 53 te vermenigvuldigen maakten de Egyptenaren een verdubbelingstabel van 53.
Je ziet hier een begin van die tabel.

1	2	4	8	16	32	64
53	106	212

Neem hem over en maak hem af.

Nu kunnen we met de tabel bijvoorbeeld $13 \cdot 53$ uitrekenen op de Egyptische manier: door het eerste, derde en vierde getal in de tabel bij elkaar op te tellen vind je de uitkomst van $13 \cdot 53$ .

Leg uit waarom deze drie getallen opgeteld precies $13 \cdot 53$ is. Controleer of het klopt.

Bereken $17 \cdot 53$ op z'n Egyptisch.
Bereken ook $35 \cdot 53$ op z'n Egyptisch.
Schrijf steeds je berekening op.

Het nadeel is wel dat je als je een ander getal dan 53 wilt vermenigvuldigen, je opnieuw een verdubbelingstabel moet maken.

Bereken op de Egyptische manier: $9 \cdot 321$ , $28 \cdot 321$ en $51 \cdot 321$ .

Machten van 2

Als je een getal zeven keer verdubbelt, vermenigvuldig je dat getal dus met $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ . Dit is een product van 7 factoren 2. We korten dat zó af: $2^{7}$ .
We spreken dat zó uit: "twee tot de macht zeven".

Als je $2^{7}$ uitrekent, vind je de uitkomst 128.

Wat betekent $2^{5}$ ? Hoe spreek je dat uit? Welk getal is dat?

Hoe spreek je $2^{10}$ uit? Reken uit welk getal dit is.

Neem de tabel over en vul hem verder in.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$2^{n}$	2				32

Een probleem is nog welk getal $2^{0}$ moet voorstellen. Bekijk daarvoor nog even de huishoudbacteriën van opgave 4.
Na 3 uur was er weer 8%, dat is $2^{3}$ ,
na 2 uur was er weer 4%, dat is $2^{2}$ ,
na 1 uur was er weer 2%, dat is $2^{1}$ .

Hoeveel procent was er na 0 uur?

Wat moet volgens dit systeem $2^{0}$ dus zijn?

Machten van 10

Net zoals we afgesproken hebben dat we $2^{3}$ voor $2 \cdot 2 \cdot 2$ schrijven, schrijven we $10^{5}$ voor $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$ .

Machten van 10 zijn heel gemakkelijk. Die kun je allemaal uit je hoofd uitrekenen.

Bereken $10^{7}$ .

Als je $10^{7}$ uitschrijft, krijg je een getal van 8 cijfers, namelijk één 1 en zeven 0'en.

Uit hoeveel cijfers bestaat $10^{11}$ , als je dit getal helemaal opschrijft?

Uit hoeveel cijfers bestaat $10^{n}$ , als je dit getal helemaal op zou schrijven? ( $n$ is een positief geheel getal).

Het ligt weer voor de hand om voor $10^{0} = 1$ te nemen.

Verschillende bewerkingen

Met 3 en 5 kun je verschillende rekenkundige bewerkingen uitvoeren:

optellen	$\to$	de som $3 + 5$
aftrekken	$\to$	het verschil $3 - 5$ of $5 - 3$
vermenigvuldigen	$\to$	het product $3 \cdot 5$
delen	$\to$	het quotiënt $3 : 5$ of $5 : 3$
machtsverheffen	$\to$	De macht $3^{5}$ of $5^{3}$

Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen.

Dus: $5 \cdot 10^{3} = 5 \cdot 1000 = 5000$

Bereken:
$5 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{2} + 7 \cdot 10^{1} + 10^{0}$
$7 \cdot 10^{7} + 5 \cdot 10^{5} + 3 \cdot 10^{3} + 10^{1}$
$3 \cdot 10^{3} + 46 \cdot 10^{2} + 11 \cdot 10^{1}$
$10^{3} \cdot (2 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10^{1} + 2 \cdot 10^{0})$
$10^{2} \cdot (10^{2} \cdot (10^{2} + 1) + 1) + 1$

1 km	$=$	10 hm	1 m	$=$	10 dm
1 hm	$=$	10 dam	1 dm	$=$	10 cm
1 dam	$=$	10 m	1 cm	$=$	10 mm

Bekijk het lijstje hierboven.
Je kunt eruit afleiden dat 1 km $= 10 \cdot 10 = 10^{2}$ dam.
Neem het lijstje over en vul de juiste getallen in:
1 km $= 10^{...}$ cm
10 km $= 10^{...}$ mm
10 hm $= 10^{...}$ mm

Namen van machten van 10

Wij noteren getallen in het tientallig stelsel. Daarom hebben we speciale namen voor machten van 10. Enkele vind je in het lijstje hieronder.

$10^{3} =$ duizend	$10^{12} =$ biljoen
$10^{6} =$ miljoen	$10^{15} =$ biljard
$10^{9} =$ miljard	$10^{18} =$ triljoen

Geef de namen van de volgende machten van 10:
$10^{3}$ , $10^{4}$ , $10^{5}$ , $10^{8}$ , $10^{10}$ , $10^{13}$ .

Het product van machten

$2 {}^{3} \cdot 2 {}^{4} =$
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 =$
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 =$
$2^{7}$

Leg zo ook uit dat $2^{2} \cdot 2^{6} = 2^{8}$ .

Neem over en vul de juiste getallen in.
$2^{5} \cdot 2^{7} = 2^{...}$
$2^{4} \cdot 2^{8} = 2^{...}$
$2^{5} \cdot 2^{6} = 2^{...}$
$2^{5} \cdot 2^{0} = 2^{...}$
$2^{5} \cdot 2^{...} = 2^{20}$

Voor alle positieve gehele getallen $a$ en $b$ geldt:

$2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{a + b}$ .

Neem over en vul de juiste getallen in.
$2 \cdot 2^{5} \cdot 2^{7} = 2^{...}$
$2^{3} \cdot 2^{4} \cdot 2^{8} = 2^{...}$
$2^{4} \cdot 2^{5} \cdot 2^{6} = 2^{...}$
$2^{5} \cdot 2^{0} \cdot 2^{3} = 2^{...}$
$2^{4} \cdot 2^{5} \cdot 2^{...} = 2^{9}$

13s

14s

In de tabel bij opgave 6 kun je zien dat $2^{10} = 1024$ .
Met hoeveel cijfers schrijf je:
$2^{10} \cdot 10^{3}$
$2^{20}$
$2^{10} + 2^{11}$
$2^{10} + 10^{5}$
$2^{30} + 10^{5}$
Leg je antwoorden uit.

Hieronder staan acht rekensommen.
Sommige zijn goed, de andere zijn fout.
Geef de nummers van de goede sommen.

$2^{5} \cdot 2^{6} = 2^{30}$
$2^{5} \cdot 2^{6} = 2^{11}$
$2^{5} + 2^{6} = 2^{11}$
$2^{6} + 2^{6} = 2^{7}$
$2 \cdot 2^{8} = 2^{16}$
$2 \cdot 2^{8} = 2^{9}$
$2 + 2^{8} = 2^{9}$
$2 \cdot 2^{0} = 2^{0}$

Op rekenmachines zit een knop om machten uit te rekenen. Meestal heet die knop $x^{y}$ of ^.
Vooral bij veel rekenwerk is zo'n knop erg nuttig. In dit hoofdstuk kom je dat grote rekenwerk nergens tegen. Sterker nog: als je de opgaven met een rekenmachine zou maken, zou je er niets van leren.