Kwadrateren van negatieve getallen

Je zou $‐ 3^{2}$ op twee manieren kunnen uitrekenen:

$‐ 3^{2}$ is het tegengestelde van $3^{2}$ , dus $‐ 3^{2} = ‐9$ .
$‐ 3^{2}$ is het kwadraat van $‐3$ , dus $‐ 3^{2} = ‐3 \cdot ‐3 = 9$ .

Je ziet dat je twee verschillende antwoorden krijgt. We moeten dus een duidelijke afspraak maken over de volgorde van de bewerkingen kwadrateren en tegengestelde nemen. We spreken het volgende af.

Kwadrateren gaat voor tegengestelde nemen.

Bij $‐ 3^{2}$ moeten we dus eerst 3 kwadrateren en daarna het tegengestelde nemen en niet eerst het tegengestelde van 3 nemen en dat kwadrateren.
Dus $‐ 3^{2} = ‐9$ .

Maak de volgende berekeningen. Schrijf ook je tussenstappen op. De eerste is als voorbeeld al gemaakt.

$‐ 3^{2} = ‐ (3 \cdot 3) = ‐9$	$‐3 - 3^{2}$
${(‐3)}^{2}$	${(‐3 - 3)}^{2}$

Plaats haakjes links van het gelijkteken, zodanig dat de gelijkheid klopt.

$6 - 2^{2} = 16$	$‐8 - 2^{2} = 100$
$‐5 + ‐ 1^{2} = ‐4$	$‐ ‐ 1 - 4^{2} = ‐25$
$‐ 4^{2} + 15^{2} = 1$	$‐ 2^{2} + ‐ 3^{2} = ‐1$

Opmerking:

Om het invullen van negatieve getallen in formules (met kwadraten) nog extra te oefenen, tot je het snel en foutloos doet, kun je meerdere keren de volgende mini-loco maken.
Substitutie van negatieve getallen .

Rekenen met letters

In hoofdstuk 6 heb je lengte van routes en oppervlakte van gebieden in Roosterdam bekeken. Zo stelde $3 a + 2 b$ de lengte van een route in Vakhorst voor en ${(4 a)}^{2}$ de oppervlakte van een vierkant in Roosterkwartier. De getallen $a$ en $b$ waren altijd positief. Dat gaat nu veranderen. We kunnen namelijk best $3 a + 2 b$ uitrekenen in het geval dat $a$ en/of $b$ negatief zijn.

Welk getal stelt $3 a + 2 b$ voor als $a = ‐2$ en $b = ‐4$ ? Schrijf ook je berekening op.

En als $a = ‐ \frac{1}{2}$ en $b = 3 \frac{1}{2}$ ?
Schrijf weer je berekening op.

Welk getal stelt ${(4 a)}^{2}$ voor als $a = ‐2 \frac{1}{2}$ ?

Je hebt geleerd dat voor alle positieve getallen geldt:
$2 a + 3 b + 4 a + b = 6 a + 4 b$ .
We gaan nu controleren of de gelijkheid ook klopt voor negatieve getallen.

Welk getal stelt $2 a + 3 b + 4 a + b$ voor als $a = ‐2$ en $b = ‐4$ ?

Welk getal stelt $6 a + 4 b$ voor als $a = ‐2$ en $b = ‐4$ ?

Klopt de gelijkheid als $a = ‐2$ en $b = ‐4$ ?

In hoofdstuk [6] heb je geleerd dat $2 a \cdot 3 b = 6 a b$ .

Controleer de gelijkheid voor $a = ‐2$ en $b = 4$ .

Controleer de gelijkheid ook voor $a = ‐ \frac{1}{2}$ en $b = \frac{2}{3}$ .

Controleer de gelijkheid $2 b \cdot 4 b = 8 b^{2}$ voor $b = 1$ .

Controleer de gelijkheid ook voor $b = ‐2$ .

Neem de tabel over en vul hem verder in.

$a$	$b$	$\frac{1}{2} a$	$‐4 a$	$‐3 b$	$‐4 a - 3 b$	$‐3 b + \frac{1}{2} a$
1	$‐3$
	2	$‐1 \frac{1}{2}$
			$‐8$	$‐1 \frac{1}{2}$

Neem de tabel over en vul hem verder in.

$a$	$b$	$‐2 a$	$1 \frac{1}{2} b$	$‐2 a \cdot 1 \frac{1}{2} b$	$2 b^{2}$	$‐3 a b$
$‐3$	5
$\frac{1}{2}$			$‐1 \frac{1}{2}$
		$‐2$		6

Welke kolommen zijn gelijk? Kun je dat verklaren?

Volgens de distributiewet geldt:
$3 a (2 a + 4 b) = 6 a^{2} + 12 a b$ .

Controleer de gelijkheid voor $a = ‐2$ en $b = ‐4$ .

Controleer de gelijkheid ook voor $a = 0$ en $b = ‐1$ .

$3 \frac{1}{2} a \cdot ‐2 b$ kun je eenvoudiger schrijven. Immers:
$3 \frac{1}{2} a \cdot ‐2 b = 3 \frac{1}{2} \cdot ‐2 \cdot a \cdot b = ‐7 a b$ .

Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

$4 a \cdot ‐6 b$	$‐7 a \cdot ‐6 b$
$‐6 b \cdot a$	$‐8 a \cdot ‐ \frac{1}{2} b$

Ga van de volgende gelijkheden na of ze juist zijn. Geef een tegenvoorbeeld als de gelijkheid niet klopt.

$2 a \cdot \frac{1}{2} b = a b$	$2 a \cdot \frac{1}{2} b = 2 \frac{1}{2} a b$
$2 a \cdot 3 a = 6 a$	$2 a \cdot 3 a = 6 a^{2}$
$2 a \cdot 2 a = 2 a^{2}$	$2 a \cdot 2 a = 4 a^{2}$

Met behulp van de distributiewet kun je $‐2 a (3 a - 4 b)$ zonder haakjes schrijven.

$‐2 a (3 a - 4 b) = ‐2 a (3 a + ‐4 b) = ‐2 a \cdot 3 a + ‐2 a \cdot ‐4 b = ‐6 a^{2} + 8 a b$

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$‐2 a (‐3 a + 6 b)$	$‐6 (2 a^{2} - 3 b^{2})$
$4 a (a - 5 b)$	$‐4 a (2 + 9 b)$
$‐ a (‐ a - b)$	$‐ b (‐2 b + 3 a)$