1

a

Teken de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ . Je moet dan die boog $A B$ hebben, waar het punt $C$ op ligt.

b

Teken bijvoorbeeld een driehoek $A B D$ met een rechte hoek in $B$ . Dan is $∠ D A B = 20 °$ .
Nu kun je driehoek $A B D$ tekenen.
Teken vervolgens de omgeschreven cirkel van driehoek $A B D$ .
De boog waar $D$ op ligt, moet je hebben.

c

Driehoek $M A B$ is gelijkbenig en $∠ A M B = 2 \cdot 48 ° = 96 °$ , dus $∠ A B M = ∠ B A M = \frac{1}{2} (180 ° - 96 °) = 42 °$ .

2

a

$\tan (∠ P O V) = \frac{| P V |}{| O V |} = 0,375$ dus $∠ P O V \approx 20,56 °$ .
$\tan (∠ Q O V) = \frac{| Q V |}{| O V |} = 0,8125$ $∠ Q O V \approx 39,09 °$ .
Dus $∠ P O Q \approx 39,09 ° - 20,56 ° = 18,5 °$ .

b

Dan $\tan (P O V) = \frac{6,5}{x}$ en $\tan (P O V) = \frac{3}{x}$

c

$x \approx 1,72$ en $x \approx 11,34$

3

a

In de tekening is het bord $3,5$ cm en de onderkant van
het bord op $3$ cm van de lijn waarop het oog beweegt.

b

Zie figuur bij onderdeel a.

c

Die cirkel gaat door de uiterste punten van het bord en raakt de ooghoogte-lijn. De straal is dus $4,75$ meter.

d

Zie de figuur bij onderdeel a.

e

Noem die kijkhoek α. Noem het middelpunt van de bijbehorende cirkelboog $M$ en de boven- en onderkant van het bord $A$ en $B$ .
Dan $α = \frac{1}{2} \cdot ∠ A M B$ , dus $\sin (α) = \frac{1,75}{4,75}$ en $α \approx 21,6 °$ .

4

a

b

Analoog aan opgave 107: je zoekt de kleinste cirkel door $A$ en $B$ die nog een punt met $k$ gemeen heeft. Deze cirkel raakt $k$ . In het raakpunt heb je de grootste kijkhoek.

5

a

$1. ∠ B A R = \frac{1}{2} \cdot b g (B R)$	omtrekshoek
$2. ∠ B R X = \frac{1}{2} \cdot b g (B R)$	limietgeval
$3. ∠ B A R = ∠ B R X$	uit 1 en 2
$4. ∠ A X R = ∠ B X R$
$5. △ A X R \sim △ R B X$	uit 3 en 4

b

Uit de gelijkvormigheid van de twee driehoeken volgt:
$\frac{| A X |}{| R X |} = \frac{| R X |}{| B X |} \Leftrightarrow | A X | \cdot | B X | = | R X |^{2}$

6

a

$N$ is het midden van lijnstuk $A B$ . Omdat driehoek $A M B$ gelijkbenig is, is $| A N | = | B N |$ en $∠ N M A = ∠ N M B$ $= ∠ A R B$ . Dat laatste vanwege de stelling van de omtrekshoek. $\sin (∠ N M A) = \frac{| A N |}{| A M |} = \frac{A B}{2 r}$ , dus klopt.

b

Dan is $A S$ middellijn en $∠ A S B = ∠ A R B$ (beide uit de stelling van de omtrekshoek). Omdat $A B S$ recht is geldt: $\sin (∠ A S B) = \frac{| A B |}{2 r}$ .

7

Omdat de kijkhoek $A R B$ het grootst is, raakt lijn $R X$
aan de isohoeklijnen.
Dus er geldt: $| A X | \cdot | B X | = | R X |^{2}$ , dus $| R X |^{2} = 9 \cdot 4 = 36$ ,
dus $| R X | = 6$ .
De punten $R$ liggen op een cirkel met middelpunt $X$ en straal $6$ .

8

a

Onder een hoek van $360 ° - 120 ° - 106 ° = 134 °$

b

Op de cirkel door $B$ en $C$ ligt de iso- $106 °$ -hoeklijn van $B C$ ; op de cirkel door $A$ en $B$ ligt de iso- $120 °$ -hoeklijn van $A B$ .
De twee cirkels hebben twee snijpunten. Eén ervan is $A$ , het andere is het gevraagde punt.

9

Dat is onder een hoek van $\frac{1}{3} \cdot 360 ° = 120 °$ .
Teken de iso- $120 °$ -hoeklijn van de zijden $A B$ en van $B C$ .
De twee getekende cirkels hebben twee snijpunten.
Eén ervan is $B$ , het andere is het gevraagde punt.

10

Teken de cirkels met de zijden als middellijn. In gebied 3 zie je drie zijden onder een stompe hoek. In de gebieden 2 zie je twee zijden onder een stompe hoek. In de gebieden 1 zie je één zijde onder een stompe hoek. Daarbuiten zie je alle zijden onder een scherpe hoek.

11

a

-

b

$1. ∠ A M B = 2 \cdot ∠ A P B$	omtrekshoek
$2. ∠ C N B = 2 \cdot ∠ C P B$	omtrekshoek
$3. ∠ A P B = ∠ C P B$	gegeven
$4. ∠ A M B = ∠ C N B$	uit 1, 2 en 3

c

De driehoeken $A M B$ en $C N D$ zijn gelijkbenig en volgens b hebben ze dezelfde tophoek, dus ook $∠ B A M = ∠ C B N$ , dus $A M ∥ B N$ (F-hoeken).

d

Stel $| B C | = 2$ en $| D C | = x$ , dan:
$| B D | = x + 2$ en $| B D | = x + 6$ .
$| B D | : | A D | = (x + 2) : (x + 6) = 1 : 2$ , dus $x = 2$ .

e

Want de driehoeken $M B N$ en $M P N$ zijn congruent (ZZZ).

f

Uit het voorgaande onderdeel volgt dat $| B D | = | P D |$ , dus $P$ ligt op de cirkel met middelpunt $D$ en straal $| B D |$ .