De uniforme verdeling

Op een computer en op de GR zit een randomgenerator. Die produceert “toevalsgetallen”, getallen die zuiver door toeval tot stand komen. Dat wil zeggen dat elk getal (in een zeker aantal decimalen, bijvoorbeeld tien) evenveel kans heeft.

Een randomgenerator produceert getallen van tussen $0$ en $1$ in zes decimalen, inclusief $0$ zelf. Zo´n getal noemen we $X$ . Dus $0,000000 \leq X \leq 0,999999$ .

Wat is $P (X = 0,123456)$ ?

Wat is $P (0,123 < X < 0,777)$ ?

Wat is de kans dat $X$ uit alleen even cijfers bestaat?

Wat is de kans dat $X$ eindigt op $7$ ?

In het vervolg is het handig de intervalnotatie te hebben.

Het interval $[‐ 1,2]$ bestaat uit de getallen $x$ met $‐ 1 \leq x \leq 2$ ;
het interval $〈 ‐ 1,2 〉$ bestaat uit de getallen $x$ met $‐ 1 < x < 2$ ;
het interval $〈 ‐ 1,2]$ bestaat uit de getallen $x$ met $‐ 1 < x \leq 2$ ;
het interval $[‐ 1,2 〉$ bestaat uit de getallen $x$ met $‐ 1 \leq x < 2$ ;
het interval $〈 \leftarrow,2]$ bestaat uit de getallen $x$ met $x \leq 2$ ;
het interval $〈 ‐ 1, \to 〉$ bestaat uit de getallen $x$ met $x > ‐ 1$ ;
enzovoort.
Hoe je zo'n interval in beeld kunt brengen, zie hiernaast.

In opgave 51 was er sprake van $1$ miljoen mogelijke uitkomsten voor $X$ (tussen $0$ en $1$ , inclusief $0$ ), die allemaal even waarschijnlijk zijn. In opgave 52 gaan we alle uitkomsten $X$ tussen $0$ en $1$ bekijken inclusief $0$ , dus $X$ is een van de oneindig veel uitkomsten uit het interval $[0,1 〉$ .

Teken de verdelingskromme van $X$ op het interval $[0,1 〉$ .

Hoe groot is de kans dat $0,5 \leq X \leq 0,77$ ?

$a$ en $b$ zijn getallen uit $[0,1 〉$ met $a < b$ .

Hoe groot is $P (a \leq X < b)$ , uitgedrukt in $a$ en $b$ ?

We zeggen dat $X$ (uit opgave 52) uniform verdeeld is op het interval $[0,1 〉$ .
(uniform = gelijkmatig)

Anne kijkt rond het middaguur op haar analoge horloge. $S$ is het aantal seconden dat de secondenwijzer aangeeft.
$S$ is uniform verdeeld op $[0,60 〉$ (we gaan er vanuit dat de secondewijzer draait en niet verspringt).

Wat is de kans dat $S$ tussen $a$ en $b$ ligt?

Weet je nog een ander voorbeeld van een uniform verdeelde grootheid?

Kijk nog even naar de randomgenerator $X$ van opgave 51.

Welke waarden neemt $6 \cdot X$ aan?

En $1 + INT (6 \cdot X)$ , waarbij $INT$ naar beneden afrondt op een geheel getal?

Leg uit dat je met de randomgenerator het werpen met een dobbelsteen kunt simuleren.

Hoe zou je het werpen met een munt kunnen nabootsen met behulp van X?

We laten een randomgenerator twee getallen uit het interval $[0, 1 〉$ produceren, $X_{1}$ en $X_{2}$ .

Hoe groot is de kans dat: $X_{1} < 0,2$ en bovendien $X_{2} < 0,5$ ?

Wat is de kans dat $X_{1}$ en $X_{2}$ beide met een $5$ achter de komma beginnen?

Wat is de kans dat $0,3 \leq X_{1} < 0,6$ en $0,2 \leq X_{2} < 0,7$ ?

We kunnen het paar $(X_{1}, X_{2})$ in een plaatje weergeven door een punt in een vierkant met zijde $1$ .

Teken hierin het gebied waardoor de kans
$P (0,3 \leq X_{1} < 0,6 en 0,2 \leq X_{2} < 0,7)$ wordt voorgesteld.

Teken een plaatje in een eenheidsvierkant bij $P (X_{1} < X_{2})$ . Hoe groot is die kans?

Teken een plaatje in een eenheidsvierkant bij $P (X_{1} en X_{2} verschillen hooguit 0,2)$ . Hoe groot is die kans?

Arie en Gré werken ’s nachts. Na hun werk komen ze, onafhankelijk van elkaar, tussen middernacht en $1.00$ uur aan bij een bushalte. Er vertrekken in het eerste uur van de dag drie bussen: om $0.15$ uur, om $0.30$ uur en om $1.00$ uur.

Leg uit dat de kans $\frac{1}{4}$ is dat Arie in de bus van $0.30$ zit.

Hoe groot is de kans dat Arie en Gré allebei de bus van $0.30$ uur hebben?

Hoe groot is de kans dat Arie en Gré dezelfde bus hebben.

Hoe groot is de kans dat Arie en Gré niet meer dan $10$ minuten na elkaar bij de bushalte arriveren?

(hint)

Teken zo nodig een passend plaatje in een eenheidsvierkant.

Hoe groot is de kans dat Arie en Gré minder dan $30$ minuten van elkaar bij de bushalte arriveren?

Het verschil in aankomsttijd bij de bushalte tussen Arie en Gré (uit opgave 56) noemen we $V$ (in minuten).
Hiernaast zie je hoe $V$ verdeeld is.
Volgens deze kansverdeling is $P (V = 0) = 0$ en $P (V \leq 60) = 1$ .

Klopt dat met de werkelijke kansen?

Wat is $P (V \leq 30)$ volgens deze kansverdeling? Klopt dat met je antwoord op vraag opgave 56e?

Controleer zo ook de kansverdeling voor het geval in opgave 56d.

Discreet en continu

Bij een kansexperiment hangen de uitkomsten van een grootheid af van toeval. We kunnen daarbij twee soorten grootheden onderscheiden. Die twee soorten leggen we uit aan de hand van de volgende voorbeelden.

Het aantal ogen bij het werpen met een dobbelsteen.
De lengte van een willekeurige Nederlandse volwassen man.
Een willekeurig tijdstip tussen tussen $0.00$ en $1.00$ uur.
Het aantal mensen dat zichzelf trekt bij lootjestrekken voor Sinterklaas.
Het aantal goede antwoorden bij het puur op de gok beantwoorden van een test met zes driekeuzevragen.

In het eerste voorbeeld hebben we te maken met een uniforme verdeling.

Met welk type verdeling hebben we te maken bij het tweede, derde en vijfde voorbeeld?

Welke waarden kunnen de grootheden in elk van de vijf voorbeelden aannemen?

In het tweede en derde voorbeeld kan de grootheid een continue range van waarden aannemen. We spreken dan van een continue verdeling.
In het eerste, vierde en vijfde voorbeeld kan de grootheid alleen losse waarden aannemen. We spreken dan van een discrete verdeling.

Opmerking:

Variabelen of uitkomsten heten continu als zij in een bepaald interval iedere waarde kunnen aannemen. Tussen twee willekeurige waarden ligt altijd nog een tussenliggende waarde. Voorbeelden: tijd, lengte en massa.
Variabelen of uitkomsten heten discreet, als hun mogelijke waarden slechts een beperkt aantal getallen of klassewaarden zijn. De tussenliggende waarden hebben geen betekenis. Voorbeelden: aantallen bij tellingen, bloedgroepen.
Het woord continu in het dagelijks taalgebruik betekent doorlopend, onafgebroken. Het woord discreet is bekender in de betekenis van onopvallend, kies. In de medische wereld noemt men ontstekingen discreet als ze van elkaar gescheiden zijn.

De plaatjes bij een continue en een discrete verdeling zijn verschillend. Bij een continue verdeling hoort een vloeiende kromme.

Welk type plaatje hoort bij een discrete verdeling?

De jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland is normaal verdeeld met gemiddelde $810$ mm en standaardafwijking $152$ mm.

Teken een plaatje bij de kans dat de hoeveelheid neerslag in een jaar tussen $700$ en $800$ mm ligt.

Hoe groot is die kans?

Wat is de kans dat in twee van de drie komende jaren de neerslag tussen $700$ en $800$ mm ligt?

De kansen in de onderdelen b en c betreffen verschillende typen verdelingen.

Welke verdeling is continu en welke discreet?

Opmerking:

In de praktijk worden de gemeten waarden van een continue grootheid vrijwel altijd afgerond. Een jaarlijkse neerslag van $812$ mm betekent dat die hoeveelheid tussen $811,5$ en $812,5$ mm ligt. En daarmee wordt de continue grootheid eigenlijk discreet!

Hieronder staat een histogram van de frequentieverdeling van de leeftijden van de leerlingen in de brugklas in Nederland (peildatum 21 juni 2010).

Is de variabele leeftijd hierbij discreet of continu?

De leeftijd is afgerond op hele jaren!

Wordt er naar boven of naar beneden afgerond?

We kunnen de leeftijd ook continu meten. Dan kan iemand bijvoorbeeld $12$ jaar + $216$ dagen oud zijn. Ofschoon ook nu weer wordt afgerond (namelijk op dagen). Dus helemaal continu is de leeftijd ook nu niet!
Als je de leeftijd continu meet, kun je de volgende vraag stellen: hoeveel leerlingen waren op 21 juni 2010 tussen $11,5$ en $12,5$ jaar oud?

Schat dit aantal zo goed mogelijk. Hoeveel procent van de brugklasleerlingen is dat?

We bekijken nog eens de lengte van een volwassen Nederlandse man. Die lengte is normaal verdeeld met gemiddelde $180$ cm en standaardafwijking $7$ cm. We vragen ons af wat de kans is dat een Nederlandse volwassen man $180$ cm is?

Bereken die kans als die lengte betekent dat zijn werkelijke lengte tussen $179,5$ en $180,5$ ligt.

Wat is de kans als die lengte betekent dat hij $180,000 \dots$ is?

De lengte van een Nederlandse volwassen man noemen we L (in cm). L is continu verdeeld.

Wat is het grootst, $P (L = 180)$ of $P (L = 179)$ ?

Wat is het grootst, $P (L \leq 180)$ of $P (L < 180)$ ?

Als je $L$ afrondt op hele cm, krijg je $X$ .

Wat is het grootst, $P (X = 180)$ of $P (X = 179)$ ?

Wat is het grootst, $P (X \leq 180)$ of $P (X < 180)$ ?

Gemengd normaal
De lengte van $18$ -jarige jongens is normaal verdeeld met gemiddelde $180$ en standaardafwijking $7$ cm; de lengte van $18$ -jarige meisjes is normaal verdeeld met gemiddelde $170$ en standaardafwijking $6$ cm.

Teken de twee verdelingskrommen in één figuur.

We bekijken nu een grote groep van $18$ -jarigen, evenveel jongens als meisjes. We kiezen een willekeurig persoon uit de groep. Zijn/haar lengte in cm noemen we $L$ .

Teken met een andere kleur de verdelingskromme van $L$ .

Is $L$ normaal verdeeld, denk je? Waarom?

Bereken $P (L < 175)$ als de gekozen persoon een jongen is en ook als de gekozen persoon een meisje is.
Wat is dus $P (L < 175)$ in de gemengde groep?

Is $L$ normaal verdeeld?

Opmerking:

Het is mogelijk de verdelingskromme van $L$ op de GR te tekenen. Dan kun je zien dat $L$ niet normaal verdeeld is. In het algemeen is “gemengd normaal” dus niet normaal.

Het gemiddelde van normale verdelingen
In een land leven twee stammen, de Langen en de Korten. Van beide stammen is de lichaamslengte van een volwassen man normaal verdeeld: van de Langen met gemiddelde $185$ cm, van de Korten met gemiddelde $160$ cm. Beide verdelingen hebben standaardafwijking $6$ cm.
In het land behoort $20$ % van de volwassen mannen tot de Langen en $80$ % tot de Korten. Als er bij de Korten evenveel volwassen mannen zouden zijn als bij de Langen, dan zou de gemiddelde lichaamslengte van alle volwassen mannen $172,5$ cm zijn. In dit geval is dat niet zo: de gemiddelde lengte van alle volwassen mannen is $165$ cm.

Toon dit aan.

Er geldt dat de lichaamslengte van meer dan $60$ % van de volwassen mannen in het land kleiner is dan de gemiddelde lengte van alle volwassen mannen.

Toon dit aan.

Is de lichaamslengte van de totale groep van de volwassen mannen in het bewuste land normaal verdeeld? Licht je antwoord toe.