Oude koeien

In de onderbouw heb je met vergelijkingen van lijnen gewerkt. Die hadden de vorm: $y = m x + q$ .
Het getal $m$ geeft de steilheid van de lijn aan. Als je vanuit een punt op de lijn $1$ eenheid naar rechts gaat, moet je $m$ eenheden omhoog gaan om weer op de lijn te komen. (Als $m < 0$ , moet je omlaag gaan.)
In plaats van steilheid spreekt men ook wel van helling of richtingscoëfficiënt.

De lijn met vergelijking $y = m x + q$ snijdt de $y$ -as op hoogte $q$ en heeft helling $m$ .

Geef van de volgende lijnen een vergelijking.

De lijn door $(2,3)$ met helling $‐ \frac{1}{2}$ ,
de lijn door $(2,3)$ en $(‐ 4,2)$ ,
de horizontale lijn door $(2,3)$ ,
de verticale lijn door $(2,3)$ .

Een lijn heeft helling $m$ .

Geef een richtingsvector van die lijn.

Geef een pv van de lijn met vergelijking $y = m x + q$ .

Door $m$ te variëren krijg je alle mogelijke richtingen voor de lijn op één richting na.

Welke?

Opmerking:

Elke lijn niet evenwijdig met de $y$ -as (of de $y$ -as zelf), heeft een vergelijking van de vorm $y = m x + q$ .

Bekijk de vergelijking $2 x + 3 y + 12 = 0$ .

Herschrijf de vergelijking in de vorm $y = m x + q$ en bepaal $m$ en $q$ .

Aan de schrijfwijze in de vorm $y = m x + q$ zie je dat de grafiek bij de vergelijking $2 x + 3 y + 12 = 0$ een rechte lijn is.

Bekijk de vergelijking $a x + b y + c = 0$ voor alle mogelijke getallen $a$ , $b$ en $c$ .

Als je voor $c = 0$ neemt, krijg je een lijn door de oorsprong en anders niet. Waarom?

In welke gevallen krijg je een horizontale lijn?
En in welke gevallen een verticale lijn?

De vergelijking $2 x + 3 y + 12 = 0$ krijg je door $a = 2$ , $b = 3$ en $c = 12$ te nemen.

Wat kun je over de getallen $a$ , $b$ en $c$ zeggen als je de vergelijking $a x + b y + c = 0$ niet in de vorm $y = m x + q$ kunt schrijven?

De rol van

a

b

a x + b y + c =

Het volgende is ook in hoofdstuk 5 van 4Vb deel 2 aan de orde geweest. Daar is het inproduct van twee vectoren $\vec{v} = (\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ en $\vec{w} = (\begin{array}{l} c \\ d \end{array})$ gedefinieerd als: $\vec{v} \cdot \vec{w} = a c + b d$ .
In dat hoofdstuk hebben we het volgende gezien.

Als $\vec{v} \neq \vec{0}$ en $\vec{w} \neq \vec{0}$ , dan: $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{v}$ en $\vec{w}$ staan loodrecht op elkaar.

In de figuur is een vector $\vec{n} \neq \vec{0}$ getekend. We bekijken alle mogelijke punten $X$ met $\vec{n} \cdot \vec{O X} = 0$ .
Er zijn een heleboel punten $X$ waarvoor $\vec{n} \cdot \vec{O X} = 0$ .
In de figuur is zo’n punt $A$ getekend.

Neem de tekening hiernaast over en geef daarin nog enkele mogelijke punten $X$ aan met $\vec{n} \cdot \vec{O X} = 0$ .
Wat krijg je als je alle punten $X$ tekent met $\vec{n} \cdot \vec{O X} = 0$ ?

Veronderstel $\vec{n} = (\begin{array}{l} 2 \\ 5 \end{array})$ en $X = (x, y)$ .

Schrijf $\vec{n} \cdot \vec{O X} = 0$ uit.
Conclusie: de vector $(\begin{array}{l} 2 \\ 5 \end{array})$ staat loodrecht op de lijn met vergelijking $2 x + 5 y = 0$ .

Waarom snijden de lijnen $2 x + 5 y = 0$ en $2 x + 5 y = 8$ elkaar niet?

Waarom staat $(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ loodrecht op de lijn met vergelijking $a x + b y = c$ ?

Een vector die loodrecht op de lijn $k$ staat, noemen we normaalvector van $k$ . Een lijn die loodrecht op $k$ staat noemen we een normaal van $k$ .

$(\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ is normaalvector van de lijn met vergelijking $a x + b y = c$ .

Voorbeeld:

Gegeven zijn de punten $A (2,3)$ en $B (‐ 1,4)$ . $\vec{A B} = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 1 \end{matrix})$ is dan een richtingsvector van lijn $A B$ , dus is $(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array})$ een normaalvector.
Een vergelijking van lijn $A B$ is dus $x + 3 y = c$ voor een of ander getal $c$ . Door $A$ of $B$ in de vergelijking in te vullen vind je $c$ .
Je krijgt: $x + 3 y = 11$ .

Geef zoals in bovenstaand voorbeeld een vergelijking van de lijn door $(1, ‐ 2)$ en $(3, 4)$ .
Ook van de lijn door $(‐ 10,7)$ en $(15,2)$ .

Gegeven zijn de punten $A (2, ‐ 1)$ en $B (‐ 3, 5)$ .

Geef een vergelijking van de lijn door $A$ loodrecht op lijn $A B$ .

(hint)

$\vec{A B}$ is normaalvector van die lijn.

Geef een vergelijking van de middelloodlijn van $A B$ .

Geef een vergelijking van de lijn door $(1, ‐ 2)$ evenwijdig aan de lijn met vergelijking $2 x + 3 y = 20$ .

Zoals bekend, liggen alle punten $(x, y)$ die aan een vergelijking van de vorm $a x + b y = c$ (met $a \neq 0$ of $b \neq 0$ ) voldoen op een rechte lijn.

Welke bijzonderheid heeft de lijn als $a = 0$ en $b \neq 0$ ?
En als $b = 0$ en $a \neq 0$ ?

Waarom is geëist dat $a \neq 0$ of $b \neq 0$ ?

Welke bijzonderheid heeft de lijn als $c = 0$ (en $a \neq 0$ of $b \neq 0$ )?

Gegeven is de lijn $k$ met vergelijking $2 x - 3 y - 10 = 0$ en $m$ met vergelijking $‐ 4 x + a y - 12 = 0$ voor een zeker getal $a$ .

Voor welke waarde van $a$ zijn $k$ en $m$ evenwijdig?

$n$ is de lijn met vergelijking $‐ 4 x + a y - b = 0$ voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Voor welke $a$ en $b$ zijn de lijnen $k$ en $n$ hetzelfde?

Het snijpunt van twee lijnen

Iemand kijkt vanuit punt $A (‐ 3,4)$ naar de $x$ -as. Een punt $P$ van de $x$ -as ziet hij op een plek $P^{'}$ op de $y$ -as.
De koppeling van de punten $P$ op de $x$ -as naar punten $P^{'}$ op de $y$ -as komt tot stand door een zogenaamde centrale projectie.

De lijnen door $A$ vormen een zogenaamde lijnenbundel of waaier met centrum $A$ .

Stel een vergelijking op van de straal die door het punt $P (7,0)$ gaat.

Bepaal het bijbehorende punt $P^{'}$ door deze straal te snijden met de $y$ -as.

Bepaal het bijbehorende punt $P^{'}$ ook met behulp van gelijkvormigheid.

De lijnenbundel met centrum $A$ zorgt voor een koppeling van bijna alle punten van de $x$ -as met bijna alle punten van de $y$ -as.

Welke punten van de $x$ - en $y$ -as zijn de uitzonderingen?

De lijnenbundel met centrum $A$ kan ook worden beschreven als $p (x + 3) + q (y - 4) = 0$ .

Leg dat uit.

Geef een voorbeeld van waarden die je voor $p$ en $q$ kunt nemen, opdat de straal door $P (7,0)$ gaat.

Bepaal hiermee het bijbehorende punt $P^{'}$ .

Het oog zit nu op een andere plaats, zeg $B$ . Een lijn die een punt van de $x$ -as aan een punt van de $y$ -as koppelt heeft vergelijking: $2 x - 3 y - 10 = 0$ en een andere $3 x - 8 y - 8 = 0$ . De lijnenbundel met centrum $B$ kan beschreven worden door: $p (2 x - 3 y - 10) + q (3 x - 8 y - 8) = 0$ .

Leg dat uit.

Kies $p = 3$ en $q = ‐ 2$ , dan vind je: $7 y - 14 = 0$ , dus je krijgt de lijn $y = 2$ .

Ga dat na.

In b zijn $p$ en $q$ zó gekozen dat je een horizontale lijn krijgt.

Hoe moet je $p$ en $q$ kiezen om een verticale lijn te krijgen?
Welke lijn vind je dan?

$B$ ligt dus op de horizontale lijn $y = 2$ en op de verticale lijn $x = 8$ , dus $B$ is $(8,2)$ .

Voorbeeld:

In opgave 10 heb je het snijpunt berekend van de lijnen
$2 x - 3 y - 10 = 0$ en $3 x - 8 y - 8 = 0$ .
Je neemt in de uitdrukking $p (2 x - 3 y - 10) + q (3 x - 8 y - 8) = 0$ de getallen $p$ en $q$ zó, dat $x$ er niet meer in voorkomt. Je vindt $y = 2$ .
Vervolgens kies je $p$ en $q$ zó, dat $y$ er niet meer in voorkomt; je vindt: $x = 8$ . Het snijpunt is dus $(8,2)$ .
Als je gevonden hebt dat de $y$ -coördinaat van het snijpunt $2$ is, kun je de $x$ -coördinaat ook berekenen door $y = 2$ in een van de vergelijkingen $2 x - 3 y - 10 = 0$ of $3 x - 8 y - 8 = 0$ in te vullen.

Het oog zit nu op een plaats $C$ . De punten $(4,0)$ en $(10,0)$ op de $x$ -as worden gezien in respectievelijk $(0,3)$ en $(0,5)$ op de $y$ -as.

Bepaal de coördinaten van $C$ .

Beschrijf de lijnenbundel met centrum $C$ .

Welk punt van de $x$ -as wordt vanuit $C$ gezien op $(0,7)$ op de $y$ -as?

Ga na of de lijnen $k$ en $m$ elkaar snijden in de volgende vijf gevallen. Bereken het snijpunt in geval ze elkaar snijden.

$•$ $k : 3 x + 4 y - 22 = 0$	en	$m : 4 x - 5 y + 12 = 0$ ;
$•$ $k : ‐ 3 x + 4 y - 22 = 0$	en	$m : 4 x + 5 y - 12 = 0$ ;
$•$ $k : x + 4 y - 12 = 0$	en	$m : 4 x + 5 y - 15 = 0$ ;
$•$ $k : ‐ 3 x + 4 y - 12 = 0$	en	$m : 1 \frac{1}{2} x - 2 y + 6 = 0$ ;
$•$ $k : ‐ 3 x + 4 y - 12 = 0$	en	$m : ‐ 1 \frac{1}{2} x + 2 y + 16 = 0$ .

Van pv of vv naar vergelijking en omgekeerd

In hoofdstuk 5, deel 2 4Vb hebben we vectorvoorstellingen (vv) en parametervoorstellingen (pv) van lijnen bekeken, in deze paragraaf vergelijkingen. In het volgende leer je hoe je soepel kunt overstappen van het een op het ander.

Voorbeeld:

Van vergelijking naar pv of vv

Gegeven is de lijn met vergelijking $‐ 3 x + 4 y = 12$ . Je kunt twee punten van de lijn berekenen, bijvoorbeeld $(‐ 4,0)$ en $(0,3)$ . Dan is $(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \end{array}) - (\begin{matrix} ‐ 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array})$ een richtingsvector van de lijn. Een vv van de lijn door die twee punten is dus $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 0 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array})$ . En een pv is dus $(x, y) = (4 t,3 + 3 t)$ .
Het kan ook zó: een punt van de lijn is bijvoorbeeld $(0,3)$ . Verder is $(\begin{matrix} ‐ 3 \\ 4 \end{matrix})$ een normaalvector van de lijn, dus $(\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array})$ is een richtingsvector. Een vv is dus: $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 0 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array})$ .

Voorbeeld:

Van vv of pv naar vergelijking

Gegeven is de lijn met vv $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 4 \\ 1 \end{matrix})$ .
De vector $(\begin{array}{l} 1 \\ 4 \end{array})$ is een normaalvector, dus $x + 4 y = c$ is een vergelijking voor een of ander getal $c$ .
Het getal $c$ vind je door een punt van de lijn in te vullen, bijvoorbeeld $(‐ 1,3)$ ; dit geeft $c = 11$ .
Een vergelijking is dus: $x + 4 y = 11$ .

Voorbeeld:

Eliminatie van de parameter

Een andere manier om van een pv (of vv) op een vergelijking over te stappen is het zogenaamde elimineren van de parameter.
We nemen de lijn met pv als in het vorige voorbeeld.
Dan $x = ‐ 1 - 4 t$ en $y = 3 + t$ .
Uit de laatste gelijkheid volgt $t = y - 3$ . Dat vul je voor $t$ in $x = ‐ 1 - 4 t$ in; dan krijg je: $x = ‐ 1 - 4 (y - 3)$ . Dit kun je herschrijven als: $x + 4 y = 11$ .

Van vier lijnen is een vergelijking gegeven. Geef van die lijnen een vv.

$p : 3 x + 4 y - 22 = 0$	$q : 4 x - 5 y = ‐ 12$
$r : 3 x + 4 y = 0$	$s : x = 3$

Van vier lijnen is een vv of pv gegeven. Geef van die lijnen een vergelijking.

$p : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})$	$q : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 1 \end{matrix})$
$r : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 4 + 3 t \\ 2 - t \end{matrix})$	$s : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 - t \end{matrix})$

Elimineer de parameter $t$ in: $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix})$ .

Elimineer de parameter $t$ in: ${\begin{matrix} x = 4 + t \\ y = t^{2} + 1 \end{matrix}$ .
Welke figuur hoort bij deze pv?

Nog eens: het snijpunt van twee lijnen

Eerder in deze paragraaf heb je het snijpunt van twee lijnen berekend als beide in een vergelijking gegeven zijn. In de volgende opgave moet je het snijpunt berekenen als van minstens één de pv (of vv) gegeven is. Je kunt natuurlijk bij beide lijnen eerst een vergelijking maken, maar dat is niet altijd de handigste manier.

Gegeven de lijnen $k$ met vv $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix})$ en $m$ met vv $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ .

Je vindt het snijpunt van de lijnen waarschijnlijk niet door de vergelijking $(\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ op te lossen. Waarom niet?

Bij het snijpunt hoort bij $k$ een andere waarde van de parameter dan bij $m$ . Je moet dus getallen $s$ en $t$ vinden met: $(\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ . Dit leidt tot een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

Los dit op en bepaal de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $m$ .

Het kan ook anders. Een vergelijking van $k$ is $3 x + 2 y = 4$ (ga dat na). Het punt $(‐ 2 + t,2 - 2 t)$ van $m$ ligt op $k$ als: $3 (‐ 2 + t) + 2 (2 - 2 t) = 4$ .

Bereken hiermee de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $m$ .

Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van $k$ en $m$ in de volgende gevallen.

$•$ $k : 2 x - 5 y = 10$	en	$m : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ ‐ 2 \end{matrix})$
$•$ $k : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$	en	$m : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ ‐ 2 \end{matrix})$
$•$ $k : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$	en	$m : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \end{matrix})$
$•$ $k : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$	en	$m : (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{matrix} ‐ 5 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \end{matrix})$

In applet Mini-loco_lijnen kun je nog meer oefenen.