$\sin (t)$ neemt alle waarden aan tussen $\mathrm{‐}1$ en $1$, dus: $5-2\le 5+2\sin (3(x-\frac{1}{4}\text{π}))\le 5+2$, dus $y$ neemt alle waarden tussen $3$ en $7$ (inclusief grenzen).

Dan: $\sin (3(x-\frac{1}{4}\text{π}))=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$.
Dus: $3(x-\frac{1}{4}\text{π})=1\frac{1}{6}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$ of $3(x-\frac{1}{4}\text{π})=1\frac{5}{6}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$, dus $x=\frac{23}{36}\text{π}+k\cdot \frac{2}{3}\text{π}$ of $x=\frac{31}{36}\text{π}+k\cdot \frac{2}{3}\text{π}$.
Dit geeft $9$ oplossingen.

Dat komt door de periodiciteit of de symmetrie ten opzichte van een lijn evenwijdig met de $x$-as door de het hoogste of het laagste punt van de grafiek.
We berekenen de hoek in het snijpunt met eerste coördinaat $\frac{23}{36}\text{π}$.
$f\text{'}(x)=6\cos (3(x-\frac{1}{4}\text{π}))$, dus $f\text{'}(\frac{23}{36}\text{π})=6\cos (1\frac{1}{6}\text{π})=\mathrm{‐}3\sqrt{3}$, dus de gevraagde hoek is ${\tan }^{\mathrm{‐}1}(3\sqrt{3})=79°$.

Cirkel met middelpunt $(\mathrm{1,5})$ en straal $2$ ; hoeksnelheid $3$ rad/s ; startpunt $(\mathrm{1,3})$, snelheid $6$ eenh/s.

Alle oplossingen: $t=\frac{2}{9}\text{π}+k\cdot \frac{2}{3}\text{π}$ of $t=\frac{4}{9}\text{π}+k\cdot \frac{2}{3}\text{π}$.
De gevraagde oplossingen zijn: $\frac{2}{9}\text{π}$, $\frac{4}{9}\text{π}$, $\frac{8}{9}\text{π}$, $1\frac{1}{9}\text{π}$, $1\frac{5}{9}\text{π}$ en $1\frac{7}{9}\text{π}$.

middelpunt $(\mathrm{3,4})$; straal = $2$; periode = $2$; fasehoek = $\text{π}$

snelheid = $\text{ω}\cdot r=2\text{π}$ m/s

$\frac{1}{2}$ rad/sec ; $1\frac{1}{2}$ eenheid/s

Er is dan een kwart cirkel afgelegd. Noem het middelpunt van de cirkel $M$ en de punten op gelijke hoogte $A$ en $B$. Dan is driehoek $ABM$ een gelijkbenige rechthoekige driehoek met $AM=BM=3$ en de gevraagde afstand is $AB=3\sqrt{2}$.

Met formule 9 vind je ${\cos }^2(t)=\mathrm{0,0784}$. Omdat $\cos (t)<0$, volgt:
$\cos (t)=\mathrm{‐}\mathrm{0,28}$.

Dan $\sin (t)=\pm \mathrm{0,6}$. In beide gevallen vind je één oplossing met de GR: $t=\pm \mathrm{0,6435...}$, dus $t=\mathrm{0,644}$, $t=\mathrm{‐}\mathrm{0,644}$, $t=\mathrm{2,498}$, $t=\mathrm{‐}\mathrm{2,498}$.

De eerste gelijkheid volgt uit formule 7 of 8, de tweede uit formule 5.

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}\cos (t)-t\sin (t)\\ \sin (t)+t\cos (t)\end{array}\right)$

${\left|\overrightarrow{v}\right|}^2={(\cos (t)-t\sin (t))}^2+{(\sin (t)+t\cos (t))}^2=$
${\sin }^2(t)+{\cos }^2(t)+t^2({\sin }^2(t)+{\cos }^2(t))$, dus $\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{1+t^2}$.
Dus $t=2\sqrt{2}$.

De lange is $2\cdot \cos (\text{α})$, de korte $2\cdot \sin (\text{α})$.

De diagonalen in een ruit delen elkaar middendoor, dus $\angle SOP=\text{α}$ en het snijpunt van lijnstuk $OP$ met de eenheidscirkel is $(\cos (\text{α}),\sin (\text{α}))$.

$\left(\begin{array}{c}\cos (\text{α})\\ \sin (\text{α})\end{array}\right)$ heeft lengte $1$, dus uit a volgt: $k=2\cos (\text{α})$.

Uit het voorgaande volgt: $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\cos (2\text{α})\\ \sin (2\text{α})\end{array}\right)=2\cos (\text{α})\cdot \left(\begin{array}{c}\cos (\text{α})\\ \sin (\text{α})\end{array}\right)$, dus
$\left(\begin{array}{c}1+\cos (2\text{α})\\ \sin (2\text{α})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2{\cos }^2(\text{α})\\ 2\cos (\text{α})\sin (\text{α})\end{array}\right)$.

-

De helling is $\frac{\sin (2\text{α})}{\cos (2\text{α})}=\frac{2\sin (\text{α})\cos (\text{α})}{{\cos }^2(\text{α})-{\sin }^2(\text{α})}$, volgens de verdubbelingsformules 16 en 17.

$\frac{2\sin (\text{α})\cos (\text{α})}{{\cos }^2(\text{α})-{\sin }^2(\text{α})}=\frac{\frac{2\sin (\text{α})\cos (\text{α})}{{\cos }^2(\text{α})}}{\frac{{\cos }^2(\text{α})-{\sin }^2(\text{α})}{{\cos }^2(\text{α})}}=\frac{2m}{1-m^2}$

$\sin (t)=2\sin (2t)\iff \sin (t)=4\sin (t)\cos (t)\iff \sin (t)=0$ of $\cos (t)=\mathrm{0,25}$, dus $t=0$, $\text{π}=\mathrm{3,14}$, $2\text{π}=\mathrm{6,28}$, $\mathrm{1,32}$, of $\mathrm{4,97}$.

Dan $\frac{\sin (t)}{\cos (t)+1}=\frac{2\sin (2t)}{2\cos (2t)+4}\iff \frac{\sin (t)}{\cos (t)+1}=\frac{4\sin (t)\cos (t)}{4{\cos }^2(t)+2}$, dus
$\sin (t)=0$ of $4{\cos }^2(t)+2=4{\cos }^2(t)+4\cos (t)$, dus $t=0$, $\text{π}$, $2\text{π}$, $\frac{1}{3}\text{π}$ of $\frac{5}{3}\text{π}$.

$f(x)=0\iff \cos (x)=0\text{ of }\cos (x)=\mathrm{‐}1$, dus $x=\pm \frac{1}{2}\text{π}$ of $x=\pm \text{π}$.

$f^{\prime }(x)=\mathrm{‐}2\sin (x)\cos (x)-\sin (x)$, dus $f^{\prime }(x)=0\iff \sin (x)=0\text{ of cos}(x)=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$.
Dus $f^{\prime }(x)=0\iff x=\mathrm{0,}\pm \text{π},\pm \frac{2}{3}\text{π}$.
De extreme waarden zijn (GR): maxima $f(0)=2$, $f(\pm \text{π})=0$ en minima: $f(\pm \frac{2}{3}\text{π})=\mathrm{‐}\frac{1}{4}$.