1

a

In $A$ : $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ ; in $B$ : $(\begin{matrix} ‐ 1 \\ 0 \end{matrix})$ ; in $C$ : $(\begin{matrix} 0 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ ; in $D$ : $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$

b

-

c

-

d

-

2

a

Zie linker figuur hieronder.

opgave 64a

opgave 64b

b

Zie rechter figuur hierboven.
Je moet de vector $(\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix})$ $90 °$ linksom draaien.

3

$u^{'} (t) = ‐ 100 \sin (t)$ , dus $\sin (t) = \frac{1}{2}$ en $t = \frac{1}{6} π$ .

4

Van links naar rechts.
Met de kettingregel: $x \to \sin (x) = u \to u^{2} = y$ , dus
$y^{'} = \cos (x) \cdot 2 u = 2 \sin (x) \cos (x)$
Met de kettingregel: $x \to \cos (x) = u \to u^{2}$ , dus
$y^{'} = ‐ \sin (x) \cdot 2 u = ‐ 2 \sin (x) \cos (x)$
Met de productregel: $y^{'} = 1 \cdot \sin (x) + x \cdot \cos (x)$
Met de productregel van drie functies (bijvoorbeeld):
$y = x \cdot \sin (x) \cdot \sin (x)$ , dus $y^{'} = \sin^{2} (x) + 2 x \cdot \cos (x) \cdot \sin (x)$
Met de quotiëntregel: $y^{'} = \frac{1 \cdot \cos (x) + x \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$
Met de quotiëntregel: $y^{'} = \frac{\cos (x) \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \sin (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

5

a

$y^{'} = \cos (x + 7)$

b

$y^{'} = \cos (x) \cos (7) - \sin (x) \sin (7)$

c

$\cos (x + 7) = \cos (x) \cos (7) - \sin (x) \sin (7)$

6

a

$(\begin{matrix} ‐ 6 \sin (2 t) \\ 6 \cos (2 t) \end{matrix})$

b

$\sqrt{36 \cos^{2} (2 t) + 36 \sin^{2} (2 t)} = \sqrt{36} = 6$

c

De hoeksnelheid is $2$ rad/s, de straal van de baan is $3$ ,
dus snelheid $2 \cdot 3 = 6$ eenheden per s.

7

a

De eenheidscirkel.

b

-

c

De ruimte tussen opvolgende punten van de baan die de GR met elkaar verbindt wordt kwadratisch groter.

d

$20$ keer ; $19$ keer.

e

$(\begin{matrix} ‐ 2 t \sin (t^{2}) \\ 2 t \cos (t^{2}) \end{matrix})$ , de grootte is: $2 t$ .

8

a

-

b

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \sin (x) (\sin (x) + 1) = 0 \Leftrightarrow \sin (x) = 0$ of $\sin (x) = ‐ 1$ .
Dus $x = 0$ , $x = π$ , $x = 2 π$ of $x = 1 \frac{1}{2} π$ .

c

$y^{'} = 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (x)$
$y^{'} = \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0 \Leftrightarrow \cos (x) = 0$ of $\sin (x) = ‐ \frac{1}{2}$ .
Dus $x = \frac{1}{2} π$ , $x = 1 \frac{1}{2} π$ , $x = 1 \frac{1}{6} π$ of $x = 1 \frac{5}{6} π$ .

d

Alle waarden uit $[‐ \frac{1}{4},2]$ . (Met behulp van de punten waar de raaklijn horizontaal is en de grafiek op de GR.)

e

$y^{'} (π) = ‐ 1$ , dus $45 °$ .

9

a

$f^{'} (x) = 2 \sin (x) \cos (x)$ en
$g^{'} (x) = ‐ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot ‐ \sin (2 x) = \sin (2 x)$ en $\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x)$ (formule 16).

b

Ze verschillen een constante.

c

$f (0) = 0$ en $g (0) = ‐ \frac{1}{2}$ , dus $f (x) = g (x) + \frac{1}{2}$ voor alle $x$ .

10

a

De helling van de lijn door $O (0,0)$ en het punt van de grafiek van de sinus met eerste coördinaat $x$ .

b

$\lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ is per definitie $f^{'} (0)$ , dus $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = \sin' (0) = \cos (0) = 1$ .

c

-

d

$\frac{1}{2} x$ en $\sqrt{x}$

11

a

In figuur 1 is $h$ een hoogtelijnstuk; $h = 1 \cdot \sin (α)$ .

Oppervlakte driehoek $= \frac{1}{2} \sin (α)$ .
Voor het berekenen van de derde zijde, zie figuur 2.
$x = 1 \cdot \sin (\frac{1}{2} α)$ , dus $d = 2 \sin (\frac{1}{2} α)$ .

b

$α = 30 °$ , dus de oppervlakte is $12 \cdot \frac{1}{2} \sin (30 °) = 3$ .
De omtrek is $12 \cdot 2 \sin (15 °) = 6,21$ .

c

$α = \frac{2 π}{n}$ , dus de oppervlakte is: $n \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{2 π}{n})$ en de omtrek is: $n \cdot 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{n})$ .

d

$π \cdot \frac{\sin (x)}{x} = π \cdot \frac{\sin (\frac{2 π}{n})}{\frac{2 π}{n}} = \frac{\sin (\frac{2 π}{n})}{\frac{2}{n}} = \frac{n}{2} \sin (\frac{2 π}{n})$ , dus dat is de oppervlakte.
Voor de omtrek gaat het net zo.