1

Nee, want $\sin (\frac{1}{4} π) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ , $\sin (\frac{1}{2} π) = 1$ en $2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \neq 1$ .

2

a

-

b

$(\frac{1}{4} π, \sqrt{2})$

c

-

3

a

$(\frac{1}{2} π,2)$ ; $π$

b

-

4

De lengte van de projecties op de lijnen $O P$ en $O Q$ zijn $1 \cdot \cos (α)$ en $1 \cdot \sin (α)$ .
De rest volgt uit het feit dat $\vec{p}$ en $\vec{q}$ lengte $1 \cdot$ hebben.

5

a

$(\begin{matrix} ‐ \sin (β) \\ \cos (β) \end{matrix})$

b

Per definitie geldt: $\vec{v} = (\begin{matrix} \cos (α + β) \\ \sin (α + β) \end{matrix})$ en $\cos (α) \cdot (\begin{matrix} \cos (β) \\ \sin (β) \end{matrix}) + \sin (α) \cdot (\begin{matrix} ‐ \sin (β) \\ \cos (β) \end{matrix}) =$ $(\begin{matrix} \cos (α) \cdot \cos (β) \\ \cos (α) \cdot \sin (β) \end{matrix}) + (\begin{matrix} ‐ \sin (α) \cdot \sin (β) \\ \sin (α) \cdot \cos (β) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos (α) \cdot \cos (β) - \sin (α) \cdot \sin (β) \\ \cos (α) \cdot \sin (β) + \sin (α) \cdot \cos (β) \end{matrix})$ .

6

a

$\sin (x + \frac{1}{4} π) = \sin (x) \cdot \cos (\frac{1}{4} π) + \cos (x) \cdot \sin (\frac{1}{4} π) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \cos (x)$

b

Beide kanten van het vorige onderdeel vermenigvuldigen met $\sqrt{2}$ .

7

Formule 14 vind je uit 12 door in plaats van $β$ in te vullen: $‐β$ en dan de formules 1 en 2 te gebruiken.
Bij formule 15 ga je net zo te werk met behulp van formule 13.

8

Formule 3: $\sin (α + π) = \sin (α) \cos (π) + \cos (α) \sin (π) = ‐ \sin (α)$ , want $\cos (π) = ‐ 1$ en $\sin (π) = 0$ ;
Formule 4: $\cos (α + π) = \cos (α) \cos (π) - \sin (α) \sin (π) = ‐ \cos (α)$ , want $\cos (π) = ‐ 1$ en $\sin (π) = 0$ ;
Formule 7: $\sin (\frac{1}{2} π - α) = \sin (\frac{1}{2} π) \cos (α) - \cos (\frac{1}{2} π) \sin (α) = \cos (α)$ , want $\sin (\frac{1}{2} π) = 1$ en $\cos (\frac{1}{2} π) = 0$ ;
Formule 8: $\cos (\frac{1}{2} π - α) = \cos (\frac{1}{2} π) \cos (α) + \sin (\frac{1}{2} π) \sin (α) = \sin (α)$ , want $\sin (\frac{1}{2} π) = 1$ en $\cos (\frac{1}{2} π) = 0$ ;
Formule 9: $\cos^{2} (α) + \sin^{2} (α) = \cos (α) \cdot \cos (α) + \sin (α) \cdot \sin (α) = \cos (α - α) = \cos (0) = 1$ .

9

a

b

$\cos (α) = \frac{4}{5}$ ; $\sin (β) = \frac{5}{13}$

c

$\sin (α + β) = \frac{3}{5} \cdot ‐ \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = ‐ \frac{16}{65}$ ;
$\cos (α - β) = \frac{4}{5} \cdot ‐ \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = ‐ \frac{33}{65}$

10

a

Vul in formule 12 $x$ voor α en β in, dan krijg je:
$\sin (2 x) = \sin (x) \cdot \cos (x) + \cos (x) \cdot \sin (x)$ , dus $\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cdot \cos (x)$ .
Vul in formule 13 $x$ voor α en β in, dan krijg je:
$\cos (2 x) = \cos (x) \cdot \cos (x) - \sin (x) \cdot \sin (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

b

De eerste gelijkheid vind je door $\sin^{2} (x)$ in $\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ te vervangen door $1 - \cos^{2} (x)$ en de tweede door $\cos^{2} (x)$ te vervangen door $1 - \sin^{2} (x)$ .

11

a

$\cos (2 x) = 1 - 2 \sin^{2} (x) \Leftrightarrow 2 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (2 x) = 1 - \sin (\frac{1}{2} π - 2 x)$ .
Hier: $a = 1$ , $b = ‐ 1$ , $c = ‐ 2$ en $d = \frac{1}{2} π$ .
Maar je kunt ook $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 2$ en $d = ‐ \frac{1}{2} π$ nemen (formule 2).

b

$2 \cos^{2} (x) = 1 + \cos (2 x) = 1 + \sin (\frac{1}{2} π - 2 x)$ , dus
$a = 1$ , $b = 1$ , $c = ‐ 2$ en $d = \frac{1}{2} π$ .

12

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) = 1 + 2 \sin (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

13

a

b

$x^{'} (t) = 20$ en $y^{'} (t) = 40 - 10 t$ .
Dus op $t = 0$ is de snelheidsvector $\vec{v} = (\begin{array}{l} 20 \\ 40 \end{array})$ .
Noem de hoek die deze vector met de $x$ -as maakt α, dan $\tan (α) = \frac{40}{20}$ ,
dus $α = 63,4 °$ .
De grootte van de snelheid is $\sqrt{20^{2} + 40^{2}} = 20 \sqrt{5}$ .

c

Dan is $v_{y} = 0$ , dus $t = 4$ , dit geeft het punt $(80,80)$ ; snelheidsvector is $(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix})$ .

d

$40 t - 5 t^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 0$ of $t = 8$ , dus $8$ seconden.
$x (8) = 160$ , dus $160$ meter.

e

$\vec{v} (8) = (\begin{matrix} 20 \\ ‐ 40 \end{matrix})$ , dus de snelheid is $20 \sqrt{5}$ .

14

a

b

$80 T \cdot \sin (α) - 5 T^{2} = 0 \Leftrightarrow T = 0$ of $T = 16 \sin (α)$ . De vliegtijd is maximaal als $T = 16 \sin (α)$ maximaal is, dat is als $α = 90 °$ .

c

$A = x (T) = 80 T \cdot \cos (α) =$ $80 \cdot 16 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α)$ en dit laatste is volgens verdubbelingsformule 16 gelijk aan: $640 \cdot \sin (2 α)$ .
Dit is maximaal als $\sin (2 α) = 1$ , dus als $α = 45 °$ .

15

a

$\cos (t) = ‐ 0,6$

b

De cirkel met middelpunt $A$ en straal $A S$ tekenen. Die snijdt de eenheidscirkel ook nog in $P$ , de gevraagde positie.

c

$x_{P} = \cos (2 t) = 1 - 2 \sin^{2} (t) = ‐ 0,28$ en
$y_{P} = \sin (2 t) = 2 \sin (t) \cos (t) = ‐ 0,96$ .

16

a

$\cos (α) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ en $\cos (β) = \frac{2}{3} \sqrt{2}$ (formule 9).

b

$\sin (γ) = \sin (π - (α + β)) = \sin (α + β)$ , dus
$\sin (γ) = \sin (α) \cos (β) + \cos (α) \sin (β) = \frac{1}{3} \sqrt{2} + \frac{1}{6} \sqrt{3}$ .