7.9 Rekentechniek

Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

In paragraaf 2 heb je vergelijkingen met machten van $x$ opgelost. Hieronder volgen er nog enkele.

Los de volgende vergelijkingen in $x$ exact op (van links naar rechts). Schrijf het antwoord zonder negatieve en gebroken exponenten.
Let op. Een gebroken macht van $x$ bestaat alleen voor positieve $x$ .

$x^{3} = 2 x^{2}$	$x^{3} = ‐ 2 x^{2}$
$x^{5} = 2 x^{2}$	$x^{5} = ‐ 2 x^{2}$
$x^{6} = 2 x^{2}$	$x^{6} = ‐ 2 x^{2}$
$x^{3} = 2 x^{\frac{1}{3}}$	$x^{3} = ‐ 2 x^{\frac{1}{3}}$
$x = 2 \sqrt{x}$	$x = 2 \sqrt{x} + 3$
$x^{‐ 2} = 2 x^{‐ 3}$	$x^{‐ \frac{1}{3}} = 2 x^{‐ \frac{2}{3}}$

Om te kunnen differentiëren moet je wortels als gebroken machten kunnen schrijven en omgekeerd.

$a$ , $b$ en $c$ zijn positieve gehele getallen.

Schrijf in de vorm: $a^{\dots} \cdot b^{\dots} \cdot c^{\dots}$ .

$\sqrt{a b^{2} c^{3}}$	$\sqrt[3]{a b^{2} c^{3}}$
$\frac{\sqrt{a b^{2} c^{3}}}{a b c}$	$\sqrt{\frac{a b^{2} c^{3}}{a b c}}$

Schrijf zonder gebroken en negatieve exponenten.
Gebruik hoogstens één wortelteken.

$a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}}$	$a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}}$
$a^{\frac{1}{2}} b^{‐ \frac{1}{2}}$	$a^{\frac{1}{2}} b^{‐ \frac{1}{3}}$

Vereenvoudig zo veel mogelijk: $\frac{a^{2} {(8 b)}^{\frac{1}{4}} c^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{a b c^{3} \sqrt{2}}}$ .

In de theorie vóór opgave 17 is de zogenaamde samengestelde breuk $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{a}}{x - a}$ , dat is een breukvorm waarvan teller en/of noemer ook een breukvorm bevat, vereenvoudigd tot de enkelvoudige breuk $‐ \frac{1}{a x}$ .
Dat gaat zo:
$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{a}}{x - a} = \frac{x a}{x a} \cdot \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{a}}{x - a} = \frac{a - x}{x a (x - a)} = \frac{a - x}{‐ x a (a - x)} = ‐ \frac{1}{x a}$ .

Schrijf de volgende vormen als een zo eenvoudig mogelijke enkelvoudige breuk.

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{3}}}$	$\frac{\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{x - 1}$
$\frac{{(\frac{x}{a})}^{2} - 1}{x - a}$	$\frac{\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{x - a}$

Als $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , dan $\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt[]{x}} (x + 1)}{x}$ .

Ga dat na.

Laat zien dat $\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{2 x \sqrt{x}}$ .

Laat zien dat $y = x^{\frac{1}{2}} + x^{‐ \frac{1}{2}}$ en dus: $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (x^{‐ \frac{1}{2}} - x^{‐ 1 \frac{1}{2}})$ .

Laat zien dat: $\frac{x - 1}{2 x \sqrt{x}} = \frac{1}{2} (x^{‐ \frac{1}{2}} - x^{‐ 1 \frac{1}{2}})$ .

Laat zien dat $\frac{\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + 1}$ vereenvoudigd kan worden tot $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ .

Bekijk de functie $y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$ .

Je kunt $\frac{x + 2}{x^{2} - 4}$ vereenvoudigen.
Doe dat.

Bereken $\frac{d y}{d x}$ , door eerst $y$ te vereenvoudigen.

Bereken $\frac{d y}{d x}$ , zonder eerst $y$ te vereenvoudigen.
Vereenvoudig je antwoord tot het antwoord uit het vorige onderdeel.

Differentieer:

$y = \sqrt{x + 1} - x$	$y = \sqrt[3]{x + 1} - \frac{1}{3} x$
$y = \sqrt{2 x + 1} - x$	$y = \sqrt[3]{2 x + 1} - \frac{1}{3} x$
$y = \sqrt{x^{2} + 1} - x$	$y = \sqrt[3]{x^{2} + 1} - \frac{1}{3} x^{2}$

$y = {(x - 1)}^{5}$	$y = \frac{4}{x - 1}$
$y = {(2 x - 1)}^{5}$	$y = \frac{4}{2 x - 1}$
$y = {(x^{2} - 1)}^{5}$	$y = \frac{4}{x^{2} - 1}$

$y = 3 \sqrt{2 - x}$	$y = {(2 - \sqrt{x})}^{‐ 3}$
$y = x \sqrt{2 - x}$	$y = x {(2 - \sqrt{x})}^{‐ 3}$
$y = x^{2} \sqrt{2 - x}$	$y = x^{2} {(2 - \sqrt{x})}^{‐ 3}$

$y = \frac{1}{x^{3} + x^{2} - x}$	$y = \frac{2 x + 3}{4 x + 2}$
$y = \frac{x}{x^{3} + x^{2} - x}$	$y = \frac{2 x + 1}{4 x + 2}$
$y = \frac{x^{2}}{x^{3} + x^{2} - x}$	$y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Bereken bij elk van de functies uit opgave 6 algebraïsch voor welke $x$ de afgeleide gelijk aan $0$ is.