7.2 De afgeleide van een machtsfunctie >

Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

Machtsfuncties zijn veelvouden van functies van de vorm $y = x^{α}$ , met $α$ willekeurig. In deze paragraaf zullen een formule afleiden en toepassen voor de hellingfunctie van een machtsfunctie. Dit is al gedaan voor machtsfuncties met $α$ positief geheel, $α = ‐ 1$ en $α = \frac{1}{2}$ .

We bekijken de functies $f : x \to x^{\frac{3}{2}}$ en $g : x \to x^{\frac{2}{3}}$ .

Ga op de GR na hoe de grafiek van $f$ ligt ten opzichte van de grafieken van $y = x$ en $y = x^{2}$ .

Ga op de GR na hoe de grafiek van $g$ ligt ten opzichte van de grafieken van $y = x$ en $y = x^{\frac{1}{2}}$ .

Laat door een berekening zien dat het punt $(100,1000)$ op de grafiek van $f$ ligt en dat het punt $(1000,100)$ op de grafiek van $g$ ligt.

Als $(a, b)$ op de grafiek van $f$ ligt, dan ligt $(b, a)$ op de grafiek van $g$ .

Leg dat uit.

Hoe ontstaan de grafieken van $f$ en $g$ uit elkaar?

De grafieken van de functies $f : x \to x^{\frac{p}{q}}$ en $g : x \to x^{\frac{q}{p}}$ zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .
De functies $f$ en $g$ zijn elkaars inverse.

We bekijken de functie $y = x^{\frac{2}{3}}$ .

Teken de grafiek van de functie op de GR.

Zoek uit welk getal $x$ ongeveer is als $y = 5$ .

Zoek ook uit hoe groot $x$ is als $y = 4$ .

Het antwoord bij c komt mooi uit.

Controleer zonder rekenmachine dat dit antwoord inderdaad precies klopt.

Voorbeeld:

De vergelijking $x^{2} \sqrt{x} = 10$ los je zó op.

$x^{2} \sqrt{x}$	$=$	$10$	de linkerkant als macht van $x$ schrijven
$x^{2 \frac{1}{2}}$	$=$	$10$	als $x^{\frac{p}{q}} = a$ dan $x = a^{\frac{q}{p}}$
$x$	$=$	$10^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{100}$

Zoek exact het positieve getal waarvoor geldt:

$x \sqrt[3]{x} = 10$

$\sqrt[4]{x^{3}} = 10 x$

$\sqrt{x} = 10 \sqrt[3]{x}$

Gegeven is de functie $f : x \to x^{3}$ met daarop $P (2,8)$ .

Bereken exact de helling van de grafiek in het punt $P$ .

Stel exact een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt $P$ .

Bereken exact in welke punten van de grafiek de raaklijn evenwijdig is aan lijn $O P$ .

Voor elk positief geheel getal $n$ is gegeven de functie
$f_{n} : x \to x^{n}$ met daarop het punt $Q (1,1)$ .

Bewijs exact dat de raaklijn aan de grafiek van $f_{3}$ in $Q$ de $y$ -as snijdt in het punt $(0, ‐ 2)$ .

In welk punt snijdt de raaklijn in $Q$ aan de grafiek van $f_{4}$ de $y$ -as? Bewijs je antwoord.

$f_{n}$ en $Q$ zijn als in de vorige opgave.

In welk punt snijdt de raaklijn in $Q$ aan de grafiek van $f_{n}$ de $y$ -as?

In welk punt snijdt de raaklijn in $Q$ aan de grafiek van $f_{n}$ de $x$ -as?

$f_{n}$ als in opgave 13.
Als $n$ even is, is de grafiek (lijn)symmetrisch in de $y$ -as.

Hoe zit het met de grafiek van de hellingfunctie ${f_{n}}^{'}$ ?

Als $n$ oneven is, is de grafiek (punt)symmetrisch in de oorsprong.

Hoe zit het met de grafiek van de hellingfunctie ${f_{n}}^{'}$ ?

Teken met window $[0,1] \times [0,1]$ de grafieken van $f_{n} : x \to x^{n}$ voor $n = 1$ , $2$ en $3$ .

In het begin (bij $x = 0$ ) groeit $f_{1} (x)$ het snelst, maar aan het eind (bij $x = 1$ ) groeit $f_{3} (x)$ het snelst.

Bereken vanaf welke waarde van $x$ $f_{2} (x)$ sneller groeit dan $f_{1} (x)$ .

Bereken vanaf welke waarde van $x$ $f_{3} (x)$ sneller groeit dan $f_{2} (x)$ .

Het volgende is een herhaling uit deel1 4Vb, Inleiding differentiëren.

Laat $P (a, b)$ een punt zijn van de grafiek van functie $f$ . Veronderstel dat de grafiek van $f$ glad is in $P$ .
Dan heeft de grafiek een raaklijn in $P$ . De helling van de grafiek is de richtingscoëfficiënt van die raaklijn; die laat zich benaderen met $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y - b}{x - a}$ , waarbij $Δ x = x - a$ klein gekozen moet worden.
De exacte waarde van de helling is: $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{x \to a} \frac{y - b}{x - a}$ .

In hoofdstuk 6 van 4vb deel2 Inleiding Differentiëren hebben we de afgeleide van de functie $f : x \to \frac{1}{x}$ bepaald:
$f^{'} (a) = \lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{a}}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{a - x}{x a (x - a)} = \lim_{x \to a} \frac{‐ 1}{x a} = ‐ \frac{1}{a^{2}}$ .
Dus: $\frac{d}{d x} \frac{1}{x} = ‐ \frac{1}{x^{2}}$ .
In de volgende opgave leiden we nog dat nog eens op een andere manier af. Je kunt deze opgave ook overslaan.

Hieronder staat de grafiek van $f : x \to \frac{1}{x}$ .

Om $f^{'} (3)$ te vinden, halen we een truc uit: we vermenigvuldigen de grafiek met raaklijn verticaal met factor $9$ (ten opzichte van de $x$ -as). Dan krijg je de grafiek van de functie $g : x \to \frac{9}{x}$ .

Hoe groot is $g^{'} (3)$ gelet op de symmetrie van de grafiek van $g$ ?

De helling van de grafiek van $g$ is ook $9$ keer zo groot als de helling van de grafiek van $f$ . Dus: $g^{'} (3) = 9 \cdot f^{'} (3) = ‐ 1$ .

Hoe groot is $f^{'} (3)$ dus?

Op dezelfde manier vind je $f^{'} (4)$ . Hoe groot is die?
En $f^{'} (a)$ ?

Als $f : x \to \frac{1}{x}$ , dan $f^{'} (x) = ‐ \frac{1}{x^{2}}$ .

In de volgende twee opgaven bewijzen we: als $y = x^{s}$ , dan $y^{'} = s \cdot x^{s - 1}$ voor het geval $s = \frac{3}{5}$ .

$x^{5} - 1 = (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$

Toon dat aan.

Bereken $\lim_{x \to 1} \frac{x^{5} - 1}{x - 1}$ .

Bereken op soortgelijke wijze $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x - 1}$ .

Uit de vorige onderdelen volgt:
$\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{5} - 1} = \lim_{x \to 1} (\frac{x^{3} - 1}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{x^{5} - 1}) = \frac{3}{5}$ .

We berekenen de helling van $y = x^{\frac{3}{5}}$ in het punt met eerste coördinaat $a$ . Dat is $\lim_{x \to a} \frac{x^{\frac{3}{5}} - a^{\frac{3}{5}}}{x - a}$ .
We berekenen deze limiet door $\frac{x^{\frac{3}{5}} - a^{\frac{3}{5}}}{x - a}$ anders te schrijven.
We noemen $x^{\frac{1}{5}} = p$ en $a^{\frac{1}{5}} = q$ .

Vul in: als $x \to a$ , dan $p \to ...$ .

Laat zien dat je $\frac{x^{\frac{3}{5}} - a^{\frac{3}{5}}}{x - a}$ kunt schrijven als: $\frac{p^{3} - q^{3}}{p^{5} - q^{5}}$ .

Dus $\lim_{x \to a} \frac{x^{\frac{3}{5}} - a^{\frac{3}{5}}}{x - a} = \lim_{p \to q} \frac{p^{3} - q^{3}}{p^{5} - q^{5}}$ .
Om deze limiet te berekenen herschrijven we die nog eens. We schrijven voor $\frac{p}{q} = s$ .

Laat zien: $\lim_{p \to q} \frac{p^{3} - q^{3}}{p^{5} - q^{5}} = \lim_{s \to 1} (\frac{s^{3} - 1}{s^{5} - 1} \cdot \frac{1}{q^{2}})$ .

Laat zien dat uit het voorgaande volgt:
$\lim_{x \to a} \frac{x^{\frac{3}{5}} - a^{\frac{3}{5}}}{x - a} = \frac{3}{5} a^{‐ \frac{2}{5}}$ .

De afleiding in opgave 19 kun je ook voor andere gebroken exponenten houden. We concluderen:

Als $f : x \to x^{s}$ , dan $f^{'} (x) = s \cdot x^{s - 1}$ voor alle getallen $s$ uit $ℚ$ .

Opmerking:

$ℚ$ is de verzameling van alle gehele getallen en breuken. Zonder dat te bewijzen vermelden we nog dat de regel geldt voor alle mogelijke getallen.

Voorbeeld:

Om de functie $y = \sqrt[4]{x^{3}}$ te differentiëren schrijven we eerst: $y = x^{\frac{3}{4}}$ .
De afgeleide is: $y^{'} = \frac{3}{4} x^{‐ \frac{1}{4}} = \frac{3}{4 \sqrt[4]{x}}$ .
Om de functie $y = \frac{1}{x \sqrt{x}}$ te differentiëren schrijven we eerst: $y = x^{‐ 1 \frac{1}{2}}$ .
De afgeleide is: $y^{'} = ‐ 1 \frac{1}{2} x^{‐ 2 \frac{1}{2}} = \frac{‐ 3}{2 x^{2} \sqrt{x}}$ .

Bepaal de afgeleide functie van de volgende functies.

$y = x^{‐ 7}$	$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$	$y = x^{4} \sqrt[5]{x^{2}}$
$y = x^{\frac{2}{5}}$	$y = \sqrt[3]{x}$	$y = \frac{1}{x \sqrt[4]{x}}$

Bereken:

$\frac{d}{d x}$ $x^{‐ \frac{2}{5}}$	$\frac{d}{d a}$ $\frac{1}{\sqrt{a}}$	$\frac{d}{d t} (\sqrt{t} \cdot \sqrt[3]{t})$
$\frac{d}{d u} (u^{2} \sqrt{u})$	$\frac{d}{d z}$ ${(z^{2})}^{3}$	$\frac{d}{d x}$ $\sqrt{x^{0,6}}$

We bekijken de raaklijn aan de grafiek van $y = \frac{1}{x}$ in het punt $(3, \frac{1}{3})$ .

Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

Deze raaklijn snijdt de $x$ -as in $A$ en de $y$ -as in $B$ .

Bereken exact de coördinaten van $A$ en $B$ .

Laat zien: het raakpunt $(3, \frac{1}{3})$ is het midden van $A B$ .

Bereken de oppervlakte van driehoek $A B O$ .

Beantwoord dezelfde vragen als in de vorige opgave voor de raaklijn aan de grafiek van $y = \frac{1}{x}$ in het punt $(p, \frac{1}{p})$ .

Met som- en de veelvoudregel kun je nu ook de afgeleide van de volgende functies bepalen.

$y = 2 x^{2} - 3 x$	$y = x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$
$y = \frac{2 \sqrt{x}}{x^{2}}$	$y = \frac{1}{2 x^{2} \sqrt{x}}$

Gegeven is de machtsfunctie $y = \sqrt[3]{x^{5}}$ .

Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat $8$ .

Gegeven is de functie $f : x \to x + \frac{8}{\sqrt{x}}$ .

Teken de grafiek op de GR.

De grafiek heeft een horizontale raaklijn.

Bepaal de eerste coördinaat van het bijbehorend punt exact.