Periodieke functies

Gegeven is een functie $y = f (x)$ .
De functie is periodiek met periode $p$ als:

bij twee $x$ -waarden die $p$ verschillen precies dezelfde $y$ -waarden horen,
er geen kleiner positief getal dan $p$ is met deze eigenschap.

Als $f$ een periodieke functie is met periode $p$ , dan geldt voor elk getal $x$ :
$... = f (x - p) = f (x) = f (x + p) = f (x + 2 p) = f (x + 3 p) = ...$

Als je een formule kent om $f (x)$ te berekenen voor waarden van $x$ in een zeker interval van lengte $p$ , dan kun je $f (x)$ berekenen voor elke waarde van $x$ .

De periode kun je in een grafiek herkennen als het grootste stuk van de grafiek die zich herhaalt: je kan dat deel van de grafiek herhaald naast elkaar stempelen.

Een stoeltjeslift gaat op een skipiste heen en weer. De rit omhoog duurt een kwartier en tijdens het omkeren boven en onder, bevindt zo'n lift zich twee minuten in een horizontale lus op constante hoogte om de skiër de gelegenheid te geven in of uit te stappen.
In de figuur hieronder staat de grafiek van de hoogte $h$ in meter van één stoeltje als functie van de tijd $t$ in minuten vanaf 12:00 uur.

Bepaal de periode van deze periodieke beweging.

Bereken op welke hoogte dit stoeltje zich bevindt om 16:00 uur.

Geef een formule van de eerste vier schuine stukken van de grafiek. Geef telkens het bijbehorende geldigheidsgebied en schrijf de formules zo eenvoudig mogelijk.

Bereken het eerste tijdstip na 20:00 uur waarop het stoeltje zich op hoogte $700$ m bevindt.

Standaard cirkelbeweging

De grootte van een hoek kun je behalve in graden ook meten in radialen. $180 °$ komt overeen met $π$ radialen.

graden	$30 °$	$45 °$	$60 °$	$90 °$	$120 °$	$135 °$	$150 °$	$210 °$	$315 °$
rad	$\frac{1}{6} π$	$\frac{1}{4} π$	$\frac{1}{3} π$	$\frac{1}{2} π$	$\frac{2}{3} π$	$\frac{3}{4} π$	$\frac{5}{6} π$	$1 \frac{1}{6} π$	$1 \frac{3}{4} π$

De "moeder" van alle periodieke bewegingen is de standaard cirkelbeweging.

De standaard cirkelbeweging ontstaat als een kogeltje als volgt in een cirkelvormige baan draait:

de straal van de baan is $1$ ;
het middelpunt is $(0,0)$ ;
het kogeltje draait in positieve richting (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);
de snelheid is $1$ cm/s: het kogeltje legt elke seconde een afstand van $1$ cm af langs de cirkel;
op tijdstip $0$ is het kogeltje in $(1,0)$ .

De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.

$\sin (t) =$	de tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip $t$ ;
$\cos (t) =$	de eerste coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip $t$ .

De amplitude is $1$ , de evenwichtswaarde $0$ en de periode $2 π$ .

Exacte waarden van sin en cos
Voor hoeken die een veelvoud zijn van $\frac{1}{6} π$ en $\frac{1}{4} π$ weet je de exacte waarde van sin en cos, vanwege de bekende verhoudingen in een half vierkant en een halve gelijkzijdige driehoek. Zie tabel voor hoeken in het eerste kwadrant.
Voor andere hoeken bepaal je de waarde met de symmetrie van de grafieken van sin en cos, of met behulp van de eenheidscirkel.

hoek in rad	$0$	$\frac{1}{6} π$	$\frac{1}{4} π$	$\frac{1}{3} π$	$\frac{1}{2} π$
sin	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$1$
cos	$1$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

Op de kermis staat een reuzenrad met acht gondels. De diameter van het rad is 20 meter. Gondel 1 hangt op een bepaald moment op z’n laagste positie. Het bevindt zich dan (met de onderkant) nog op 1 m boven de grond. Zie figuur.

Bereken exact hoe hoog gondel 3 op dat moment is (met de onderzijde). Doe hetzelfde voor gondels 4 en 8.

De kermisexploitant laat het reuzenrad tegen de klok in draaien met zodanige snelheid dat het rad in één minuut precies drie keer ronddraait. Kees zit in gondel nr. 1. Op tijdstip $t = 0$ passeert dit karretje de laagste positie. Op dat moment bevindt de gondel met nr. 7 zich in de meest rechtse positie.

Geef een formule voor de hoogte $h$ (in meters) uitgedrukt in $t$ (in seconden) van de onderkant van de gondel nr. 7.
Geef ook een formule voor de hoogte van de onderkant van de gondel met Kees.

Hoe zien de formules eruit als het rad andersom draait?

Met welke snelheid beweegt Kees zich door de lucht? Geef je antwoord in km/u en afgerond op 1 decimaal.

$a = \sin (\frac{1}{2} π - x) \cdot \cos (\frac{5}{12} π - x)$ .

Bereken de exacte waarde van $a$ als $x = \frac{1}{6} π$ .

Formules van sinusoïden

Als een cirkel met constante snelheid doorlopen wordt, spreekt men van een harmonische beweging.
De grafiek van de hoogte is dan een sinusoïde.
De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de evenwichtswaarde, het verschil tussen de maximale en gemiddelde hoogte noemen we de amplitude.

Door transformaties (verschuivingen en/of vermenigvuldigingen) van de standaardsinusfunctie $y = \sin (x)$ (of de cosinusfunctie $y = \cos (x)$ ) kun je de formule maken bij élke harmonische beweging.

De grafiek van $y = \sin (c x)$ schommelt $c$ keer zo snel als de grafiek van $y = \sin (x)$ . De periode is $\frac{2 π}{c}$ .

De sinusoïde $y = a + b \sin (c (x - d))$ ontstaat uit de golf
$y = a + b \sin (c x)$ door deze $d$ eenheden naar rechts te verschuiven.
Als $d$ een negatief getal is, is dat een verschuiving naar links.

Voor de sinusoïde $y = a + b \sin (c (x - d))$ geldt:

De evenwichtswaarde is $a$ ;
De amplitude is $| b |$ ;
De periode is $\frac{2 π}{c}$ ;
Als $b > 0$ gaat de grafiek gaat bij $x = d$ stijgend door de evenwichtsstand.
Als $b < 0$ , dan gaat de grafiek bij $x = d$ dalend door de evenwichtsstand.

Voor de grafiek van $y = a + b \cos (c (x - d))$ geldt hetzelfde voor de evenwichtswaarde, amplitude en periode.

Als $b > 0$ gaat de grafiek gaat bij $x = d$ door een maximum.
Als $b < 0$ , dan gaat de grafiek bij $x = d$ door een minimum.

Het verloop van de temperatuur kan gedurende de $24$ uren van een dag nogal grillig zijn. In vereenvoudigde vorm is het temperatuurverloop gedurende een dag redelijk te benaderen door een sinusoïde met een periode van $24$ uur.
Het KNMI hanteert voor De Bilt voor de dagen in de maand juni de volgende waarden: de maximumtemperatuur is $21,0$ °C, deze wordt bereikt om $3$ uur 's middags; de minimumtemperatuur is $12,2$ °C.
$T$ is de temperatuur in graden Celsius op een dag in juni en $u$ is het aantal uren na middernacht.

Stel een formule op van het verband tussen $T$ en $u$ .

De menselijke ademhaling bij rust is bij benadering een periodiek verschijnsel. In een minuut ademt een volwassen man $15$ keer in en uit. In deze minuut ademt hij dan in totaal $7,5$ liter lucht in.
Ook na een uitademing blijft er nog lucht in de longen achter: dat is ongeveer $4,75$ liter.
Ga ervan uit dat de grafiek van het longvolume $V$ als functie van de tijd $t$ een sinusoïde is en neem $t = 0$ op een moment dat er is uitgeademd.

Stel een formule op van het verband tussen $V$ in liters en de tijd $t$ in seconden.

Geef een formule voor elk van de volgende sinusoïden, met $x$ op de horizontale as en $y$ op de verticale as.

Geef aan met welke transformaties, en in welke volgorde, je telkens de grafiek krijgt uit de grafiek van $y = \sin (x)$ .

Voorbeeld:

Wat zijn de exacte coördinaten van de toppen van
$y = 2 - 4 \sin (π (x - 1))$ met $0 \leq x \leq 4$ ?
Uitwerking:
De toppen van $y = \sin (x)$ zijn $(\frac{1}{2} π,1)$ (max.) en $(1 \frac{1}{2} π, ‐ 1)$ (min.).
De grafiek van de sinusoïde krijg je uit de grafiek van $y = \sin (x)$ door achtereenvolgens de volgende transformaties toe te passen. Pas dezelfde transformaties op de toppen toe.

$V_{y -as, \frac{1}{π}}$ : $(\frac{1}{2},1)$ (maximum) en $(1 \frac{1}{2}, ‐ 1)$ (minimum);
$V_{x -as, ‐ 4}$ : $(\frac{1}{2}, ‐ 4)$ (minimum) en $(1 \frac{1}{2},4)$ (maximum);
Translatie $(1,2)$ : $(1 \frac{1}{2}, ‐ 2)$ (minimum) en $(2 \frac{1}{2},6)$ (maximum).

De periode is $\frac{2 π}{π} = 2$ , dus nog afpassen binnen $0 \leq x \leq 4$ .
Maxima: $(2 \frac{1}{2},6)$ en $(\frac{1}{2},6)$ en minima: $(1 \frac{1}{2}, ‐ 2)$ en $(3 \frac{1}{2}, ‐ 2)$ .

Bepaal op de manier zoals in het voorbeeld de exacte coördinaten van de top(pen) van de grafiek van:

$f (x) = \frac{1}{2} + 2 \sin (2 (x - \frac{1}{3} π))$ met $0 \leq x \leq 2 π$ .

$g (x) = 4 + 3 \sin (2 x + π)$ met $0 \leq x \leq π$ .

$h (x) = 5 - 2 \cos (\frac{1}{2} π x + π)$ met $0 \leq x \leq 10$ .

Vergelijkingen met sin en cos

Oplossen vergelijkingen:

$\sin (t) =$
Dan geeft de GR (met $\sin^{‐ 1}$ ): $t =$
Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing:
$t =$ $+ k \cdot 2 π$ of $t = π -$ $+ k \cdot 2 π$ .
$\cos (t) =$
Dan geeft de GR (met $\cos^{- 1}$ ): $t =$
Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing:
$t =$ $+ k \cdot 2 π$ of $t = 2 π -$ $+ k \cdot 2 π$ .

Hierin kan $k$ elke gehele waarde aannemen (positief én negatief).

Symmetrie van sin en cos in beeld:

Oplossen van de vergelijkingen:

$a + b \sin (c (x - d)) = e$
$a + b \cos (c (x - d)) = e$

Bereken dan twee opvolgende oplossingen van de vergelijking (dat mag soms met de GR, bijv. met de optie intersect). Noem deze oplossingen $x_{1}$ en $x_{2}$ .
Dan zijn $x_{1} + k \cdot \frac{2 π}{c}$ en $x_{2} + k \cdot \frac{2 π}{c}$ alle oplossingen van de vergelijking, waarbij $k$ een willekeurig geheel getal is.

Voorbeeld:

Een volledig algebraïsche aanpak illustreren we hieronder met twee uitgewerkte voorbeelden naast elkaar:

$3 + 5 \sin (4 (x - 1)) = 2$	$3 + 5 \cos (4 (x - 1)) = 2$
Noem $t = 4 (x - 1)$ ,	Noem $t = 4 (x - 1)$ ,
dus $3 + 5 \sin (t) = 2$	dus $3 + 5 \cos (t) = 2$
$\sin (t) = ‐ \frac{1}{5}$	$\cos (t) = ‐ \frac{1}{5}$
Met $\sin^{‐ 1}$ : $t = ‐ 0,2013...$	Met $\cos^{‐ 1}$ : $t = 1,7721...$
De andere oplossing met symmetrie	De andere oplossing met symmetrie
van de sinusgrafiek:	van de cosinusgrafiek:
$t = π - ‐ 0,2013... = 3,3429...$	$t = 2 π - 1,7721... = 4,5110...$
$4 (x - 1) = ‐ 0,2013...$ of $4 (x - 1) = 3,3429...$	$4 (x - 1) = 1,7721...$ of $4 (x - 1) = 4,5110...$
$x = 0,9496...$ of $x = 1,7357...$	$x = 1,4430...$ of $x = 2,1277...$
De periode is $\frac{2 π}{4} = \frac{1}{2} π$	De periode is $\frac{2 π}{4} = \frac{1}{2} π$
Dus alle oplossingen:	Dus alle oplossingen:
$x = 0,9469... + k \cdot \frac{1}{2} π$ of $x = 1,7357... + k \cdot \frac{1}{2} π$	$x = 1,4430... + k \cdot \frac{1}{2} π$ of $x = 2,1277... + k \cdot \frac{1}{2} π$

Opmerking:

Het kan (of moet) soms ook exact als het tussendoor een bekende uitkomst van de sinus en/of cosinus betreft:
$0, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2} \sqrt{2}, \pm \frac{1}{2} \sqrt{3}, \pm 1$ .
Voorbeeld
Bereken de exacte oplossingen voor $0 \leq x \leq 2 π$ van:
$1 + 3 \sin (2 x - \frac{1}{2} π) = ‐ \frac{1}{2}$ .
Uitwerking
Eerst herleiden tot $\sin (2 x - \frac{1}{2} π) = ‐ \frac{1}{2}$
$\to$ $2 x - \frac{1}{2} π = ‐ \frac{1}{6} π + k \cdot 2 π$   of   $2 x - \frac{1}{2} π = π - ‐ \frac{1}{6} π + k \cdot 2 π$
$\to$ $2 x = \frac{1}{3} π + k \cdot 2 π$   of   $2 x = \frac{5}{3} π + k \cdot 2 π$
$\to$ $x = \frac{1}{6} π + k \cdot π$   of   $x = \frac{5}{6} π + k \cdot π$
Oplossingen: $x = \frac{1}{6} π$ , $x = 1 \frac{1}{6} π$ , $x = \frac{5}{6} π$ , $x = 1 \frac{5}{6} π$ .

Bereken algebraïsch de oplossingen voor $0 \leq x \leq 2 π$ van de volgende vergelijkingen. Rond daarbij af op 3 decimalen.

$1 - 3 \sin (2 x + 1) = \frac{1}{2}$

$2 \sqrt{2} \cos (\frac{1}{3} x + π) = 1$

Geef alle exacte oplossingen:

$\sin (x) = \sqrt{\frac{3}{4}}$

$\cos (2 x - \frac{1}{4} π) = \frac{1}{2}$

Bereken de exacte oplossingen voor $‐ π \leq x \leq π$ :

$2 \cos (\frac{1}{3} π - x) = \sqrt{2}$

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

Nog meer goniometrische vergelijkingen kun je oefenen in de laatste paragraaf Rekentechniek.

Een fabrikant van kunststof tuinstoelen test de levensduur van het materiaal. Hiervoor wordt in het laboratorium een installatie gebouwd waarmee met een steeds wisselende druk op een stoel geduwd kan worden.
De druk $S$ die op de zitting wordt uitgeoefend, laat men volgens een sinusvormig patroon variëren. In de volgende vragen gaan we uit van:
$S = a \cdot \sin (b t) + c$ .
Hierin is $S$ in MPa en $t$ in seconden, $a$ en $c$ positief.

Waarom geldt $a \leq c$ ?

Bij een proef geldt $S = 25 \sin (\frac{2}{3} π t) + 28$ .

Bereken hoeveel procent van de tijd de druk meer dan $40$ MPa bedraagt. Rond je antwoord af op een heel percentage.

Bij een proef heeft $S$ een periode van $2$ seconden, en geldt $a = 27,5$ .

Onderzoek of bij deze proef de snelheid waarmee de uitgeoefende druk verandert, op bepaalde momenten groter wordt dan $60$ MPa per seconde.

Op het interval $[‐ π, π]$ is de functie $f$ gegeven door
$f (x) = \sin (x) \cdot \cos (x - \frac{1}{4} π)$ . In de figuur hieronder zie je de grafiek van $f$ .

Bereken op algebraïsche wijze de $x$ -coördinaten van de snijpunten van de grafiek van $f$ met de $x$ -as.

De grafiek van $f$ is een sinusoïde. De periode van deze sinusoïde is $π$ . In de vergelijking $y = a \cdot \sin (b (x + c)) + d$ geldt dus $b = 2$ .

Bereken waarden van $a$ , $c$ en $d$ zodat $y = a \cdot \sin (2 (x + c)) + d$ een vergelijking is van deze sinusoïde. Licht je werkwijze toe en rond je antwoorden af op twee decimalen.

Gemengde opgaven

Op de foto zie je een zwembad met sporthal, samen onder één golvend dak. Het golvende dak bereikt boven het zwembad dezelfde hoogte als boven de sporthal. In de figuur hieronder is een schematisch vooraanzicht getekend. In dit vooraanzicht heeft de rand van het dak de vorm van een sinusoïde met als formule $h = 7 - 3 \cos (\frac{π}{30} x)$ .
De hoogte $h$ en de lengte $x$ zijn allebei in meter. De lengte $x$ wordt van links naar rechts over de grond gemeten langs de voorkant van het gebouw, vanaf het punt $O$ dat in het midden van de voorgevel van het gebouw ligt.
Aan beide uiteinden van het gebouw is het dak $8$ meter hoog.

Bereken exact de minimale en de maximale hoogte van het dak.

Bereken langs algebraïsche weg de totale lengte van het gebouw in gehele meters nauwkeurig.

Voordat het zwembad met sporthal werd gebouwd, heeft een architect een ontwerp gemaakt van het gebouw. In het eerste ontwerp dat de architect had gemaakt, was het dak boven het zwembad hoger dan het dak boven de sporthal. Ook de lengte van de voorkant van het gebouw in dit eerste ontwerp was anders dan die van het uiteindelijke gebouw. In de figuur hieronder staan de afmetingen volgens het eerste ontwerp.

Het gedeelte van het dak dat boven het zwembad ligt, heeft in het vooraanzicht de vorm van een sinusoïde. Dit geldt ook voor het gedeelte van het dak boven de sporthal.
De twee sinusoïdes gaan vloeiend in elkaar over op de grens tussen zwembad en sporthal op een hoogte van 4 meter. Op die grens is de hoogte van het dak minimaal. Boven de sporthal heeft het dak een maximale hoogte van 8 meter en boven het zwembad een maximale hoogte van 12 meter. Zie figuur.
Met behulp van deze gegevens kun je een formule opstellen die hoort bij het vooraanzicht van het dak boven de sporthal en het zwembad volgens het eerste ontwerp. We kiezen de oorsprong op de grond, recht onder het aansluitpunt van de twee sinusoïden.

Stel de formule op voor het dak van de sporthal.
Licht je werkwijze toe.
Doe hetzelfde voor het dak van het zwembad.

Een punt $P$ voert de standaardcirkelbeweging uit: met snelheid 1 draait het punt in positieve richting over de eenheidscirkel; op tijdstip $t = 0$ is $P$ in punt $(1,0)$ .
We letten er op hoe ver $P$ 'hemelsbreed' van punt $(1,0)$ verwijderd is. Die afstand op tijdstip $t$ noemen we $A (t)$ .
Voorbeeld: $A (\frac{1}{2} π) = afstand [(0,1) tot (1,0)] = \sqrt{2}$ .

Bereken $A (\frac{2}{3} π)$ en $A (1 \frac{3}{4} π)$ in 2 decimalen nauwkeurig.

Wat is het bereik van $A (t)$ ?

Geef een formule voor $A (t)$ uitgedrukt in $t$ .

De formule van $A (t)$ kun je herschrijven tot
$A (t) = \sqrt{2 - 2 \cos (t)}$ .
Hiernaast staat de grafiek van $A$ getekend op het interval $[0,2 π]$ .
Het is een stuk van een sinusoïde, dus $A (t) = a + b \sin (c t)$ .

Geef de waarde van de getallen $a$ , $b$ en $c$ .

Los algebraïsch op voor $0 \leq t \leq 2 π$ : $A (t) = 0,8$ .
Rond je antwoord af op 3 decimalen.

Gegeven is de functie $f (x) = \frac{1}{4 + \sin (x)}$ op het interval $[0,2 π]$ .

Beredeneer waarom de grafiek van $f$ geen verticale asymptoot heeft.

Wat is het bereik van $f$ ?

Bereken exact voor welke $x$ geldt: $f (x) > \frac{2}{7}$ .

Hiernaast staat de grafiek van $f$ getekend. Punten $A$ en $B$ zijn de twee toppen van de grafiek van $f$ .

Bereken exact de coördinaten van punten $A$ en $B$ .

In de figuur is ook de horizontale lijn getekend op de gemiddelde hoogte van de $y$ -coördinaten van $A$ en $B$ .
Punt $C$ is het snijpunt van deze lijn met de grafiek van $f$ .

Bereken de coördinaten van punt $C$ . Rond hierbij af op 3 decimalen.

Leg uit hoe je met het antwoord van onderdeel e kunt laten zien dat de grafiek van $f$ geen sinusoïde is.