Parabolen en tweedegraadsfuncties

Vergelijking van een parabool
De standaardparabool is de parabool met vergelijking $y = x^{2}$ .
Deze parabool heeft als top de oorsprong $(0,0)$ en als symmetrieas (dat is de verticale lijn door de top) de $y$ -as.

Door transformaties (verschuivingen en vermenigvuldigingen) kun je elke andere parabool krijgen vanuit deze standaardparabool.

Door de standaardparabool met factor $c$ (verticaal) ten opzichte van de $x$ -as te vermenigvuldigen, krijg je de grafiek bij het verband $y = c x^{2}$ .
De grafiek is een dalparabool als $c > 0$ en een bergparabool als $c < 0$ .
Het getal $c$ bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.
De parabool $y = c {(x - a)}^{2} + b$ (met $c \neq 0$ ) ontstaat door de parabool $y = c x^{2}$ als volgt te verschuiven:
$a$ eenheden naar rechts en $b$ eenheden naar boven.
(Een ander woord voor een verschuiving is een translatie.)
De top van de parabool is dus $(a, b)$ .
Een vergelijking van de symmetrieas is: $x = a$ .

De vergelijking van de parabool in de vorm $y = c {(x - a)}^{2} + b$ wordt de topvorm van de parabool genoemd, omdat direct de coördinaten van de top zijn af te lezen.

Voorbeeld:

We passen op de grafiek van de standaardparabool achtereenvolgens de volgende transformaties toe:

Verticale vermenigvuldiging t.o.v. de $x$ -as met factor $‐ \frac{1}{3}$ .
De vergelijking wordt dan $y = ‐ \frac{1}{3} x^{2}$ .
Horizontaal $3$ naar links schuiven.
De vergelijking wordt dan $y = ‐ \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2}$ .
Verticaal $2$ naar boven schuiven.
De vergelijking wordt dan $y = ‐ \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} + 2$ .

De uiteindelijke grafiek is dan een bergparabool met top $(‐ 3,2)$ .

Je kunt de volgorde van de transformaties in het voorbeeld hierboven ook omdraaien: dus eerst de twee verschuivingen en dan de vermenigvuldiging t.o.v. de $x$ -as. De parabool die je dan krijgt heeft een andere top.

Wat is de top van de parabool die je krijgt als je de volgorde omdraait?

Twee parabolen met de top in de oorsprong gaan door de hoekpunten van een vierkant met zijde

6

en een gelijkzijdige driehoek met zijde

6

. Zie figuur.

Geef van beide parabolen een formule.

Parabool $p$ heeft top $(3, ‐ 4)$ en gaat door punt $(‐ 1,0)$ .

Geef een vergelijking van parabool $p$ in de topvorm en beschrijf met welke transformaties (en in welke volgorde) je de grafiek kunt krijgen uit de standaardparabool.

Parabool $q$ heeft vergelijking $y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 10$ .

Schrijf de formule van $q$ met kwadraatafsplitsen in de topvorm. Wat is de top?

Parabool $r$ gaat door de punten $(‐ 4,1)$ , $(0,9)$ en $(2,1)$ .

Geef de formule van $r$ in de topvorm. Wat is de top?

(hint)

Twee van de gegeven punten liggen op dezelfde hoogte. Wat is (dus) de vergelijking van de symmetrieas?

Er zijn drie verschijningsvormen van de vergelijking van een parabool, elk met zijn voor- en nadelen:

De standaardvorm $y = a x^{2} + b x + c$
Dat is de uitgewerkte vorm van de vergelijking zonder haakjes. Vooral handig voor het oplossen van vergelijkingen, bijvoorbeeld voor toepassen van de abc-formule.
Voor de top geldt: $x_{top} = \frac{‐ b}{2 a}$ .
De topvorm $y = c {(x - a)}^{2} + b$
Vooral handig voor het vinden van de top $(a, b)$ van de parabool en de symmetrieas $x = a$ .
De nulpuntsvorm $y = c (x - a) (x - b)$
Je kunt de vergelijking in deze vorm schrijven als de parabool nulpunten heeft bij $x = a$ en $x = b$ .
De symmetrieas is dan $x = \frac{a + b}{2} = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$
De eerste (of $x$ -) coördinaat van de top is $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$ .

Hieronder staat telkens de vergelijking van een parabool in een van de drie vormen gegeven.
Schrijf de formule telkens in de twee andere vormen.

$y = \frac{3}{4} (x + 4) (x - 2)$

$y = ‐ {(x - 4)}^{2} + \frac{1}{4}$

$y = 18 x^{2} - 18 x - 8$

Geef een formule van de parabool die gaat door de punten $(0,5)$ , $(1,8)$ en $(5, 0)$ . Geef alle drie verschijningsvormen.

(hint)

Gebruik de standaardvorm $y = a x^{2} + b x + c$ en je weet dat $(0,5)$ erop ligt.

Geef een formule van de parabool met symmetrieas $x = ‐ 1$ die gaat door de punten $(1,0)$ en $(3, 6)$ . Geef alle drie verschijningsvormen.

(hint)

Gebruik de topvorm en de symmetrieas.

Alle lijnen die evenwijdig met de symmetrieas van de parabool zijn (dus verticaal zijn), hebben één gemeenschappelijk punt met de parabool. Als een lijn niet evenwijdig met de symmetrieas is en één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft, dan is de lijn een raaklijn aan de parabool.

Als je het snijpunt van de parabool en een (niet verticale) lijn berekent, krijg je een tweedegraads vergelijking.
Voor de discriminant $D$ van deze vergelijking geldt:

$D < 0$ : de lijn heeft geen punten met de parabool gemeenschappelijk;
$D = 0$ : de lijn heeft één punt met de parabool gemeenschappelijk (raaklijn);
Dit gemeenschappelijke punt van de parabool en de raaklijn heet het raakpunt.
$D > 0$ : de lijn heeft twee snijpunten met de parabool gemeenschappelijk.

Opmerking:

In plaats van met de discriminant, kun je de raaklijn vaak ook vinden met behulp van differentiëren.

Voorbeeld:

Hiernaast is de parabool met vergelijking $y = x^{2} + 3$ getekend en een aantal lijnen uit de lijnenwaaier door punt $(0, ‐ 1)$ .

Vraag: Welke lijnen uit deze lijnenwaaier raken de parabool?

Antwoord:
De lijnen in de waaier hebben formule $y = a x - 1$ .
Gelijkstellen: $x^{2} + 3 = a x - 1$ geeft $x^{2} - a x + 4 = 0$ ;
$D = 0$ $\to$ ${(‐ a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0$ ; $\to$ $a = ‐ 4$ of $a = 4$
Dus de raaklijnen zijn $y = ‐ 4 x - 1$ en $y = 4 x - 1$ .

De grafiek van de functie $f (x) = ‐ 2 x^{2} - 4 x + 1$ is een bergparabool.

Bereken zonder te differentiëren de maximale waarde van de functie $f$ .

Bereken algebraïsch, zonder te differentiëren, een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het snijpunt van de grafiek met de $y$ -as.

Controleer je antwoord op vraag b met differentiëren.

Gegeven is de parabool met vergelijking $y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 6$ . We bekijken in deze opgave allerlei raaklijnen aan deze parabool.

Bereken (zonder te differentiëren) langs algebraïsche weg een vergelijking van de raaklijn aan de parabool die evenwijdig is met de lijn $x + y = 4$ .

Er zijn twee lijnen vanuit de oorsprong die de parabool raken.

Bereken langs algebraïsche weg de vergelijkingen van deze twee raaklijnen.

Er zijn twee lijnen door $(2,0)$ die de parabool raken.

Bereken exact de richtingscoëfficiënt van deze twee lijnen.

Gegeven zijn de twee parabolen met vergelijkingen $y = \frac{1}{2} x^{2} + 1$ en $y = ‐ x^{2} - 2$ .
Er zijn twee lijnen die beide parabolen raken. Zie figuur.

Neem als vergelijking $y = a x + b$ .
Omdat deze lijn raakt aan de dalparabool geldt: $a^{2} = 2 (1 - b)$ .

Bewijs dit.

(hint)

Stel een vergelijking op voor het snijpunten gebruik $D = 0$ .

Geef ook een formule voor het verband tussen $a$ en $b$ vanwege het raken aan de bergparabool.

Bereken de waarde van $b$ en vervolgens de waarden van $a$ .

Bereken de coördinaten van de raakpunten.

Transformaties

Niet alleen parabolen, maar de grafiek van elke functie kun je verschuiven en vermenigvuldigen, horizontaal en verticaal. Dit noemen we transformaties.
Een ander woord voor verschuiving is translatie.
Als je een formule $f (x)$ van de oorspronkelijke grafiek hebt, kun je hiermee ook de formule $g (x)$ van de nieuwe grafiek maken.
Er zijn vier gevallen:

verticaal transleren (of verschuiven)
De grafiek van $f$ wordt $a$ naar boven geschoven.
Dan geldt $g (x) = f (x) + a$ .
horizontaal transleren (of verschuiven)
De grafiek van $f$ wordt $a$ naar rechts geschoven.
Dan geldt $g (x) = f (x - a)$ .
(Je vervangt dus in de formule van $f$ overal de variabele $x$ door $x - a$ .)
verticaal vermenigvuldigen (t.o.v. de $x$ -as)
De grafiek van $f$ wordt met factor $a$ vermenigvuldigd t.o.v. de $x$ -as.
Dan geldt $g (x) = a \cdot f (x)$ .
horizontaal vermenigvuldigen (t.o.v. de $y$ -as)
De grafiek van $f$ wordt met factor $a$ vermenigvuldigd t.o.v. de $y$ -as.
Dan geldt $g (x) = f (\frac{1}{a} \cdot x)$ .
(Je vervangt dus in de formule van $f$ overal de variabele $x$ door $\frac{1}{a} x$ .)

Deze vier transformaties kunnen ook gecombineerd en na elkaar uitgevoerd worden. De volgorde (van transformaties in dezelfde richting) is daarbij vaak van belang.

Opmerking:

Je kunt handig gebruik maken van transformaties bij het opstellen van de formule van een rechte lijn als je de richtingscoëfficiënt weet en een punt waar de lijn doorheen gaat.
Voorbeeld
Geef een formule van de lijn met richtingscoëfficiënt $\frac{2}{7}$ door het punt $(2, ‐ 5)$ .
De lijn met richtingscoëfficiënt $\frac{2}{7}$ door $(0,0)$ heeft vergelijking $y = \frac{2}{7} x$ ; verschuif deze $2$ naar rechts en $5$ naar beneden;
Je krijgt: $y = \frac{2}{7} (x - 2) - 5$ .
Als het nodig is kun je de formule dan nog zonder haakjes schrijven: $y = \frac{2}{7} x - \frac{4}{7} - 5 = \frac{2}{7} x - 5 \frac{4}{7}$ .

Voorbeeld:

Voor elke functie gaat het transformeren identiek. Kijk hieronder naar de overeenkomst in de uitwerking van een aantal transformaties achtereenvolgens op de formule van twee verschillende functies.

$f (x) = x^{3}$	$g (x) = \sqrt{x}$	$2$ naar rechts schuiven
$y = {(x - 2)}^{3}$	$y = \sqrt{x - 2}$	$V_{y -as,3}$
$y = {(\frac{1}{3} x - 2)}^{3}$	$y = \sqrt{\frac{1}{3} x - 2}$	$4$ omlaag schuiven
$y = {(\frac{1}{3} x - 2)}^{3} - 4$	$y = \sqrt{\frac{1}{3} x - 2} - 4$	$V_{x -as,5}$
$y = 5 {(\frac{1}{3} x - 2)}^{3} - 20$	$y = 5 \sqrt{\frac{1}{3} x - 2} - 20$

Noot: met bijvoorbeeld $V_{x -as,5}$ wordt bedoeld 'vermenigvuldigen ten opzichte van de $x$ -as met factor $5$ '.

Opmerking:

Als in een formule van een functie meerdere keren de variabele $x$ voor komt, dan moet voor de transformaties in horizontale richting de formule op meerdere plaatsen worden aangepast.
Voorbeeld 1

$y$	$=$	$x^{5} - 2 x + 2$	$1$ naar links
$y$	$=$	${(x + 1)}^{5} - 2 (x + 1) + 2 = {(x + 1)}^{5} - 2 x$

Voorbeeld 2

$y$	$=$	$x \sqrt{x + 1}$	$V_{y -as,2}$
$y$	$=$	$\frac{1}{2} x \sqrt{\frac{1}{2} x + 1}$

Gegeven is de functie $f (x) = \sqrt{x}$ .

Na een vermenigvuldiging gaat de grafiek van $f$ door het punt $(4,9)$ .

Wat is de factor als het een verticale vermenigvuldiging (t.o.v. de $x$ -as) is?
En wat is de factor als het een horizontale vermenigvuldiging (t.o.v. de $y$ -as) is?

Na een verticale verschuiving en verticale vermenigvuldiging gaat de grafiek van $f$ door de punten $(1,5)$ en $(4,9)$ .

Bereken de verschuiving en de vermenigvuldigingsfactor.

Beschrijf met welke transformaties, en in welke volgorde, je de grafiek van $y = \sqrt{3 - x}$ kunt krijgen uit de grafiek van $f$ .

Opmerking:

Notatie: Als zowel horizontaal als verticaal wordt verschoven, bijvoorbeeld $2$ naar rechts en $3$ naar beneden, dan kun je dat in één keer aangeven met de translatie $(2, ‐ 3)$ .

Gegeven zijn de functies $f (x) = \sqrt{x}$ en $g (x) = \sqrt{4 x - 2} + 3$ .

Beschrijf met welke transformaties, en in welke volgorde, je de grafiek van $g$ krijgt uit de grafiek van $f$ .

De formule van $g$ kun je herleiden tot $g (x) = a \sqrt{x + b} + 3$ .

Bereken de waarden van $a$ en $b$ door de formule tot deze vorm te herleiden.

Geef aan de hand van het antwoord van vraag b nog een tweede volgorde van transformaties waarmee je de grafiek van $g$ kunt krijgen uit de grafiek van $f$ .

Bereken exact voor welke waarde van $x$ geldt
$g (x) - f (x) = 3$ .

Bereken voor welke waarde van $x$ geldt
$g (x) - f (x) = 5$ . Rond je antwoord af op 2 decimalen.

Machtsfuncties

Een machtsfunctie is een functie van de vorm $y = b \cdot x^{α}$ , voor zekere waarden van $α$ en $b$ ( $α$ hoeft geen geheel getal te zijn).
Voor niet gehele exponenten $α$ zijn de functies alleen gedefinieerd voor $x \geq 0$ .
Tenzij anders vermeld, nemen we voor de invoer van deze functie daarom $x \geq 0$ .

De grafiek van $y = b \cdot x^{α}$ , met $b > 0$ is afnemend stijgend als $0 < α < 1$ en toenemend stijgend als $α > 1$ .
De grafiek is afnemend dalend als $α < 0$ .

De grafieken van de functies $f (x) = x^{\frac{p}{q}}$ en $g (x) = x^{\frac{q}{p}}$ zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .
Als $f$ de invoer $a$ omrekent naar de uitvoer $b$ , dan doet $g$ precies het omgekeerde: $g$ rekent invoer $b$ om naar uitvoer $a$ .
Dat wil zeggen: de functies $f$ en $g$ zijn elkaars inverse.
Een bijzonder geval hiervan zijn de functies $y = x^{\frac{1}{n}}$ en $y = x^{n}$ , waarbij $n$ positief geheel is.

Dus: als $x^{b} = a$ dan $x = a^{\frac{1}{b}}$ .
Hierbij worden $x$ en $a$ positief verondersteld en $b \neq 0$ .

Rekenregels voor machten:

$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$
$\frac{a^{p}}{a^{q}} = a^{p - q}$ (ofwel $a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$ )
${(a^{p})}^{q} = {(a^{q})}^{p} = a^{p \cdot q}$
$a^{p} \cdot b^{p} = {(a \cdot b)}^{p}$
$\frac{a^{p}}{b^{p}} = {(\frac{a}{b})}^{p}$

Regel 1 is de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten.

$x^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{x}$ en $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}} = {\sqrt[q]{a}}^{p}$ ( $a, p, q > 0$ en $p$ , $q$ geheel).

$g^{‐ p} = \frac{1}{g^{p}}$ , voor $g > 0$ ; ofwel: $g^{‐ p}$ en $g^{p}$ zijn elkaars omgekeerde.

Bereken (met de rekenregels) exact voor welke positieve waarde van $x$ geldt:

$2 x^{‐ 1 \frac{1}{2}} - 8 x^{‐ 2} = 0$

$3 x \sqrt[3]{x} = 96 \sqrt{x}$

$x \sqrt{x} = 2 \cdot \sqrt[3]{x}$

$\frac{625}{\sqrt[4]{x}} = \frac{1}{5 x \sqrt{x}}$

In de figuur staan de grafieken van de functies $f$ en $g$ met $f (x) = \sqrt[3]{x}$ en $g (x) = \frac{1}{2} x^{3}$ .

Behalve in $O (0,0)$ snijden de grafieken elkaar nog in $S$ .

Bereken de coördinaten van $S$ exact.

Een lijn evenwijdig aan de $y$ -as snijdt de $x$ -as in $A$ , de grafiek van $f$ in $B$ en de grafiek van $g$ in $T$ .
Er geldt: $B T = 2 \cdot A T$ .

Bereken de lengte van lijnstuk $A B$ exact.

(hint)

Noem de eerste coördinaat van $A$ : $x$ . Er geldt: $f (x) = 3 \cdot g (x)$ .

De grafiek van $g$ wordt met factor $2$ vermenigvuldigd t.o.v. de $y$ -as. De grafiek hoort dan bij de functie $h$ . Je kunt de grafiek van $h$ ook uit de grafiek van $g$ krijgen door deze t.o.v. de $x$ -as te vermenigvuldigen.

Bereken exact de vermenigvuldigingsfactor.

In de figuur staan de grafieken van de functies $f$ en $g$ met $f (x) = \sqrt[3]{x}$ en $g (x) = \frac{1}{2} x^{3}$ .
Een horizontale lijn snijdt de $y$ -as in $P$ , de grafiek van $f$ in $Q$ en de grafiek van $g$ in $R$ , zó, dat $Q$ het midden van $P R$ is.

Bereken langs algebraïsche weg de lengte van lijnstuk $P R$ in twee decimalen.

(hint)

Noem de eerste coördinaat van $Q$ : $a$ , dan is die van $R$ : $... a$ .
Dat $Q$ en $R$ op dezelfde hoogte liggen, geeft je een vergelijking in $a$ .

In New York staat het Vrijheidsbeeld, dat door Frankrijk aan de VS is geschonken in 1886. Dit beeld is $46$ meter hoog (zonder sokkel) en weegt (ongeveer) $225$ ton.

In Parijs staan drie replica's van dit beeld. De grootste hiervan staat hiernaast afgebeeld. Deze is $11,5$ m hoog (zonder sokkel) en staat op het Île aux Cygnes. De kleinste replica in Parijs is $4,5$ meter hoog.
We gaan ervan uit dat het beeld en de replica's massief zijn en van hetzelfde materiaal gemaakt zijn.

Bereken het gewicht van de twee replica's in Parijs. Geef je antwoord afgerond op honderden kg.

Het gewicht $G$ (in kg) van een replica met hoogte $h$ meter kan je bereken met de formule:
$G = 225.000 \cdot {(\frac{h}{46})}^{3}$ .
Deze formule kun je schrijven als $G = a \cdot h^{3}$ .

Bereken de waarde van $a$ afgerond op 3 decimalen.

Geef een formule voor $h$ als functie van $G$ . Schrijf je antwoord in de vorm $h = a \cdot G^{b}$ .

Evenredig en omgekeerd evenredig

De grootheden $y$ en $x$ zijn (recht)evenredig als er een constante $c$ is zodanig dat $y = c \cdot x$ .
De constante $c$ heet dan de evenredigheidsconstante.

Omdat $c = \frac{y}{x}$ , kun je onderzoeken of er een (recht)evenredig verband is tussen $y$ en $x$ door telkens naar dit quotiënt te kijken. Daar moet dan telkens (ongeveer) hetzelfde uitkomen.

De grafiek van een evenredig verband tussen $y$ en $x$ is een rechte lijn door de oorsprong. De evenredigheidsconstante is dan de richtingscoëfficiënt.

De hoeveelheid vermogen $P$ (in watt) die een windmolen levert is afhankelijk van de windsnelheid $v$ (in m/s).
Bij een bepaalde type windmolen geldt: $W = 0,24 \cdot v^{3}$ .
We zeggen dan: $W$ is (recht)evenredig met $v^{3}$ .
De evenredigheidsconstante is dan $0,24$ .

Voorbeeld:

Bij een natuurkunde-proef wordt bij een elektromotor de snelheid $v$ (in cm/s) van het draaien van de motor gemeten bij verschillende hoeveelheden spanning $U$ (in Volt). Zie tabel.
Om te onderzoeken of hier sprake is van een evenredig verband, wordt telkens het quotiënt $\frac{v}{U}$ berekend.

$U$	$2,0$	$3,0$	$4,0$	$5,0$	$6,0$	$7,0$
$v$	$203,6$	$303,9$	$406,2$	$501,6$	$608,4$	$702,8$
$\frac{v}{U}$	$101,8$	$101,3$	$101,6$	$100,3$	$101,4$	$100,4$

Hoewel de uitkomsten in de laatste rij niet exact gelijk zijn, mag je wel concluderen dat er sprake is van een evenredig verband tussen $U$ en $v$ met evenredigheidsconstante (ongeveer) $101$ .
Dus voor de motor geldt: $v \approx 101 \cdot U$ .

Het warmteverlies van een dier hangt af van zijn huidoppervlakte: via een grotere huid gaat meer warmte verloren dan via een kleinere huid. De warmteproductie hangt af van zijn volume: een groot dier produceert meer warmte dan een klein dier. Biologen vergelijken daarom de huidoppervlakte $H$ (in m²) met het lichaamsgewicht $G$ (in kg). Het blijkt dat de huidoppervlakte $H$ evenredig is met $G^{\frac{2}{3}}$ , ofwel
$H = c \cdot G^{\frac{2}{3}}$ .
De evenredigheidsconstante $c$ hangt af van de vorm van het dier en is dus per diersoort verschillend. Een paar voorbeelden: $c_{koe} = 0,09$ , $c_{aap} = 0,12$ , $c_{schaap} = 0,08$ en $c_{muis} = 0,09$ .

Stel dat van een diersoort twee formaten voorkomen. De formaten hebben dezelfde vorm, dus ook dezelfde constante $c$ . Het grote formaat is $8$ keer zo zwaar als het kleine formaat.

Bereken algebraïsch hoe zich dan de huidoppervlakten van de twee formaten verhouden.

(hint)

Noem het gewicht van het kleine exemplaar $G$ , dan is het gewicht van de grotere $8 G$ .

Een schapenvacht heeft een oppervlakte van $1,4$ m².

Bereken een schatting van het gewicht van het schaap, afgerond op hele kg.

$G$ is evenredig met een macht van $H$ .

Geef een formule voor dit evenredig verband voor $G$ uitgedrukt in $H$ bij een schaap. Rond de evenredigheidsconstante af op 2 decimalen.

De grootheden $y$ en $x$ zijn omgekeerd evenredig als er een constante $c$ is zodanig dat $y = c \cdot \frac{1}{x}$ , ofwel $y = \frac{c}{x}$ .
De constante $c$ heet dan de evenredigheidsconstante.

Omdat $x \cdot y = c$ , kun je onderzoeken of er een omgekeerd evenredig verband is tussen $y$ en $x$ door telkens naar dit product te kijken. Daar moet dan telkens (ongeveer) hetzelfde uitkomen.

De remweg $R$ van een auto hangt onder andere af van de remkracht $F$ . Hieronder zie je een tabel met meetgegevens.

kracht $F$ (in kN)	$4,0$	$6,0$	$8,0$	$10,0$	$12,0$
remweg $R$ (in m)	$62,5$	$41,7$	$31,3$	$25,0$	$20,8$

Onderzoek of de grootheden $R$ en $F$ (bij benadering) omgekeerd evenredig zijn. Zo ja, geef een formule voor het verband.

Als je hoog staat kun je verder kijken. Dit is onder andere een gevolg van het feit dat de aarde bol is. In onderstaande tabel zie je de hoogte $h$ (boven zeeniveau) en de horizonafstand (hoe ver kun je kijken) $d$ .

ooghoogte $h$ (m)	$10,0$	$13,0$	$16,0$	$22,0$	$64,0$	$67,0$
horizonafstand $d$ (in km)	$11,0$	$12,5$	$14,0$	$16,4$	$28,0$	$28,6$

Toon aan dat $d$ bij benadering rechtevenredig is met $\sqrt{h}$ .

Geef een formule voor $d$ als functie van $h$ . Rond de evenredigheidsconstante af op 1 decimaal.

Bereken hoe hoog je oog boven zeeniveau moet zijn om de horizon te zien op een afstand van $100$ km.

In de 17^e eeuw vond Kepler een verband tussen de omlooptijd $T$ van de planeten rond de zon en de gemiddelde afstand $R$ van de planeet tot de zon: $T^{2}$ is rechtevenredig met $R^{3}$ .
De waarde van de evenredigheidsconstante is voor alle planeten gelijk.
$T$ wordt uitgedrukt in dagen en $R$ in A.E.
Voor de aarde geldt: $R = 1$ A.E. en $T = 365$ dagen.

Geef een formule voor $T$ uitgedrukt in $R$ .

Bereken de omlooptijd van Mars, met $R_{Mars} = 1,524$ A.E.