1

Een meer bevat $10.000$ m³ water waarin $10$ % verontreiniging is opgelost. Dus dat meer heeft $1000$ m³ verontreiniging en $9000$ m³ schoon water.
Om het water te zuiveren wordt elke week aan de ene kant $1000$ m³ water uit het meer gepompt en aan de andere kant wordt er $1000$ m³ zuiver water ingepompt. Er ontstaat meteen een goed mengsel.

a

Leg uit dat de hoeveelheid verontreiniging elke week $10$ % minder is dan de week ervoor.

Het aantal m³ verontreiniging $A$ neemt per dag exponentieel af.

b

Geef een formule voor $A$ uitgedrukt in $t$ , hierbij is $t$ het aantal dagen na het begin van de schoonmaak.

Na een aantal dagen is de hoeveelheid verontreiniging afgenomen tot $100$ m³.

c

Bereken langs algebraïsche weg dit aantal dagen. Rond je antwoord af op een geheel aantal.

d

Hoeveel duizenden m³ water is er dan ongeveer in het meer gepompt? Rond je antwoord af op een geheel aantal.

2

Op grote hoogte is de luchtdruk veel lager dan op zeeniveau. Afgezien van kleine schommelingen is de luchtdruk op zeeniveau $1000$ hectopascal. De luchtdruk is een exponentiële functie van de hoogte. Op $5$ km hoogte is de luchtdruk ongeveer $500$ hectopascal.

a

Hoe groot is de luchtdruk op $1$ km hoogte?

De luchtdruk op hoogte $h$ km noemen we $L$ (in hectopascal).

b

Geef een formule voor $L$ uitgedrukt in $h$ .

c

Herschrijf je formule uit onderdeel b tot een formule voor $h$ uitgedrukt in $L$ , in de vorm $h = a + b \cdot \log (L)$ met $a$ en $b$ afgerond op 2 decimalen.

3

Gegeven is de functie $y = 8 \cdot {\sqrt{2}}^{x} - 1$ .

De grafiek kun je uit de grafiek van $y = 2^{x}$ krijgen door twee vermenigvuldigingen en één verschuiving.

a

Laat zien welke vermenigvuldigingen en verschuiving dat zijn en in welke volgorde ze worden toegepast.

b

Geef een formule van de asymptoot van de grafiek.

De grafiek snijdt de $x$ -as in $A$ en de $y$ -as in $B$ .

c

Bereken exact de oppervlakte van driehoek $O A B$ .

d

Schrijf de formule stapsgewijs in de vorm
$x = a + b \cdot {}^{2} \log (y - c)$ .

4

Een groot kerkorgel telt soms wel enkele duizenden orgelpijpen. De pijpen zijn gegroepeerd in registers. Zo’n register is een rij van ruim $50$ pijpen van verschillende lengte. Een register onderscheidt zich van andere registers door vorm en materiaal van de pijpen. Elk register klinkt daardoor anders. Bij het bouwen van een orgel moet voor elke pijp de juiste lengte bepaald worden. De berekening van de lengtes gaat per register en kan als volgt beschreven worden.
Nummer de pijpen van klein naar groot: $0$ , $1$ , $2$ , …
Als de kleinste pijp lengte $L_{0}$ heeft, dan moet voor de lengte $L$ van de pijp met nummer $n$ gelden:
$L = L_{0} \cdot 2^{\frac{n}{12}}$ ( $L$ en $L_{0}$ in mm).

a

Toon aan dat per register voor elke pijp (behalve de kleinste) geldt: de lengte van die pijp is ongeveer $6 %$ groter dan de lengte van zijn voorganger.

Voor het verkrijgen van de juiste klank is onder andere het verband tussen de lengte ( $L$ ) en de diameter ( $D$ ) van de pijpen van belang. Voor elk register is dat verband anders. Sommige orgelbouwers hanteerden vroeger een vuistregel die neerkwam op: per register moet voor de pijpen het quotiënt $\frac{D}{L^{0,75}}$ dezelfde uitkomst hebben.

Van een zeker register heeft de pijp met nummer $16$ een lengte van $500$ mm en een diameter van $60$ mm.

b

Bereken welke diameter de pijp met nummer $30$ uit hetzelfde register volgens de vuistregel moet hebben. Rond het antwoord af op gehele millimeters.

Onderzoekers hebben lengte en diameter van een aantal pijpen van een ander register opgemeten. De resultaten van $\log (D)$ hebben ze in een grafiek uitgezet tegen $\log (L)$ (met $D$ en $L$ in mm). Zie de figuur. De punten liggen op een rechte lijn.
Een van de onderzochte pijpen had een lengte van $410$ mm.

c

Welk punt uit de grafiek is deze pijp?
Lees zo nauwkeurig mogelijk de diameter van deze pijp af.

Een formule bij de lijn is $0,903 \log (D) - 0,741 \log (L) = 0,034$ .
Deze formule kan worden herleid tot een formule van de vorm $D = a \cdot L^{b}$ .

d

Bereken langs algebraïsche weg de waarden van $a$ en $b$ , afgerond op 3 decimalen.

(hint)

Schrijf de formule eerst om in de vorm

\log (D) = ...

.

5

Hieronder staat de grafiek van een functie $f$ .

Voor $x \leq 0$ geldt de formule $f (x) = 2^{x}$ ;
Voor $x \geq 0$ geldt een andere formule.

Gegeven is verder dat de grafiek van $f$ puntsymmetrisch is in het punt $(0,1)$ , wat betekent dat bij spiegeling in het punt $(0,1)$ de grafiek van $f$ in zichzelf overgaat.

a

Bereken $f (1)$ en $f (5)$ .

b

Stel de formule van $f$ op voor $x \geq 0$ .

Hieronder is de grafiek getekend van de afgeleide functie $f'$ voor $x \leq 0$ .

c

Neem de grafiek van $f'$ over en voltooi de grafiek door er het gedeelte dat hoort bij $x \geq 0$ bij te tekenen. Licht je grafiek toe.

(hint)

Gebruik de puntsymmetrie.

6

Gegeven is de functie $f (x) = 2 + {}^{3} \log (x)$ .

De grafiek van $f$ gaat na een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$ -as door het punt $(3,6)$ .

a

Geef een vergelijking van deze nieuwe grafiek.

De grafiek van $f$ gaat na een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$ -as door het punt $(9,2)$ .

b

Geef een vergelijking van deze nieuwe grafiek.

c

Bewijs dat je de grafiek van onderdeel b ook kunt krijgen door de grafiek van $f$ te verschuiven.

De grafiek van $f$ wordt horizontaal en verticaal verschoven. De nieuwe grafiek heeft $x = ‐ 2$ als asymptoot en gaat door het punt $(7,10)$ .

d

Wat zijn de verschuivingen en wat is de vergelijking van de nieuwe grafiek?

7

Hersengewicht zoogdieren
Niet alle dieren hebben even zware hersenen. Zwaardere dieren hebben meestal zwaardere hersenen. Het gemiddelde lichaamsgewicht van volwassen dieren van een soort in kg, noemen we $G$ . Het gemiddelde hersengewicht van volwassen dieren van die soort in kg, noemen we $H$ . De grafiek hieronder geeft het verband weer tussen $\log (G)$ en $\log (H)$ . In deze grafiek zijn meetpunten te zien die horen bij $477$ soorten zoogdieren. De meetpunten liggen min of meer op een rechte lijn. Deze rechte lijn is ook in de figuur getekend.
Een formule die bij de rechte lijn hoort is
$\log (H) = ‐ 2,097 + 0,767 \cdot \log (G)$ .

Het gemiddelde lichaamsgewicht van volwassen katten is $5$ kg.

a

Bereken met de formule het gemiddelde hersengewicht van volwassen katten.

Er zijn diersoorten waarvan de volwassen dieren een gemiddeld hersengewicht hebben dat $1 %$ is van hun gemiddelde lichaamsgewicht.

b

Bereken met de formule dit gemiddelde lichaamsgewicht.

De bovenstaande formule is ook te schrijven als $H = a \cdot G^{b}$ .

c

Toon dit aan en bereken de waarden van $a$ en $b$ in drie decimalen nauwkeurig.

8

Bereken exact, zonder rekenmachine, schrijf dus voldoende tussenstappen op.

${}^{4} log (\frac{1}{32})$	${}^{2} log (16 \sqrt[3]{4})$
${}^{4} log (\frac{1}{2} \sqrt{2})$	${}^{\frac{1}{2}} log (16 \sqrt[3]{4})$

9

Los de volgende vergelijkingen in $x$ exact op.

$log (x) + log (x + 5) = 1 + log (5)$
$log (x) - log (x - 9) = 1$
${}^{x} log (8 x) = 3$

10

Gegeven zijn de twee functies
$f (x) = 2 + {}^{2} \log (x)$ en $g (x) = {}^{2} \log (4 - 2 x)$ .

a

Wat zijn de asymptoten van de grafieken van beide functies?

b

Wat is het domein van $f$ ? En van $g$ ?

De $x$ -as snijdt de grafiek van $f$ in punt $P$ en de grafiek van $g$ in punt $Q$ .

c

Bereken exact de afstand $P Q$ .

d

Bereken exact de $x$ -coördinaat van het snijpunt van de grafieken van $f$ en $g$ .

e

Beschrijf met welke transformaties, en in welke volgorde, je de grafiek van $g$ kunt krijgen uit de grafiek van $f$ .

f

Benader de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $g$ bij $x = 1$ . Rond je antwoord af op $2$ decimalen.

11

Schaal van Richter
De energie die bij een aardbeving vrijkomt is uit te drukken in kJoules, maar seismologen geven de sterkte van een aardbeving liever aan met eenheden op de zogenaamde schaal van Richter: $R = 0,67 \log (E) - 1,2$ .
Hierbij is $R$ de sterkte op de schaal van Richter en $E$ de energie in kJoules.

a

Laat langs algebraïsche weg zien wat het effect is van verdubbeling van de energie die vrijkomt bij een aardbeving op de bijbehorende waarde op de schaal van Richter.

b

Schrijf deze formule stapsgewijs in de vorm $E = b \cdot g^{R}$ .
Rond $b$ af op 1 decimaal en $g$ af op 2 decimalen.