Zes momentopnamen van een zeester
Van een zeester is tijdens de groei in ongeveer $3$ maanden de armlengte $L$ gemeten (in mm), vanuit het midden van de ster. De resultaten staan in de tabel. In de tabel is ook de logaritme genomen van de armlengte.

dagen	$0$	$7$	$23$	$48$	$62$	$85$
$L$ (mm)	$9$	$11$	$16$	$26$	$34$	$57$
$\log (L)$	$0,9542$	$1,0414$	$1,2041$	$1,4150$	$1,5315$	$1,7559$

Hieronder links is een grafiek getekend van de armlengte $L$ als functie van de tijd $t$ in dagen. De meetpunten liggen duidelijk niet op een rechte lijn.
Kennelijk groeit de armlengte niet lineair in de tijd.
Rechts ernaast is de grafiek getekend van $\log (L)$ als functie van de tijd $t$ in dagen. De meetpunten liggen nu wel nagenoeg op een rechte lijn.

Een formule van de getekende rechte lijn door deze punten is:
$\log (L) = 0,0092 t + 0,9717$ .

Bereken met deze formule de lengte op tijdstippen $t = 0$ en $t = 85$ en vergelijk de uitkomsten met de werkelijk gemeten waarden in de tabel.

Bereken met de formule na hoeveel dagen de zeester een armlengte van $75$ mm heeft.

De formule $\log (L) = 0,0092 t + 0,9717$ kun je omschrijven naar $L = ...$ , als volgt: $L = 10^{0,0092 t + 0,9717}$ .

Laat met rekenregels voor machten zien dat geldt:
$L = 9,369 \cdot {1,0214}^{t}$

Blijkbaar is de groei van de armlengte van de zeester exponentieel.

Met hoeveel procent groeit de armlengte per dag? Rond af op 1 decimaal.

De planetenbanen
Tot voor kort waren er negen planeten: Aarde, Mars, Mercurius, Venus, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus en Pluto. In augustus 2006 veranderde dit. Pluto wordt nu geen planeet meer genoemd, maar dwergplaneet. Hoe lang de planeten over een omwenteling om de zon doen en hoe ver ze gemiddeld van de zon af staan, vind je in de tabel. In de laatste twee kolommen staan de 10-logaritmen van de omlooptijd en de afstand tot de zon.

planeet	omlooptijd $T$ (in dagen)	gem. afstand $R$ ( $\times 10^{6}$ km)	$\log (T)$	$\log (R)$
Mercurius	$88$	$57,9$	$1,94$	$1,76$
Venus	$225$	$108,2$	$2,35$	$2,03$
Aarde	$365$	$149,6$	$2,56$	$2,17$
Mars	$687$	$227,7$	$2,84$	$2,36$
Jupiter	$4329$	$778,3$	$3,64$	$2,89$
Saturnus	$10753$	$1427,0$	$4,03$	$3,15$
Uranus	$30660$	$2870,0$	$4,49$	$3,46$
Neptunus	$60150$	$4497,0$	$4,78$	$3,65$
Pluto	$90670$	$5907,0$	$3,96$	$3,77$

Hieronder staat links de grafiek met het verband tussen $R$ en $T$ en rechts de grafiek met het verband tussen $\log (R)$ en $\log (T)$ .

Uit de grafieken blijkt dat er duidelijk geen lineair verband is tussen $T$ en $R$ , maar wel (ongeveer) tussen $\log (T)$ en $\log (R)$ .
Dus: $\log (R) = a \cdot \log (T) + b$ voor zekere constanten $a$ en $b$ .

Uit de gegevens over Mercurius en Venus volgt dat:
$\log (57,9) = a \cdot \log (88) + b$ en $\log (108,2) = a \cdot \log (225) + b$ .
Bereken hieruit $a$ en $b$ afgerond op 3 decimalen.

De getekende rechte lijn in de grafiek heeft formule:
$\log (R) = 0,667 \cdot \log (T) + 0,466$ .

Controleer of deze formule klopt voor Saturnus.

Laat met rekenregels voor logaritmen zien dat geldt:
$\log (R) = \log (2,924 \cdot T^{0,667})$ .

Blijkbaar geldt $R = 2,924 \cdot T^{0,667}$ , dus er is sprake van een machtsverband.

Bereken met deze machtsformule hoeveel keer zo groot de afstand tot de zon van een planeet is als de theoretische omlooptijd $8$ keer zo groot is.

In de natuur en in de techniek is er vaak een lineair verband tussen de logaritmen van twee grootheden.

Voorbeeld
Een steen valt van een toren. Na $t$ seconden is de steen $s$ meter gevallen. Dan geldt: $s = 4,9 \cdot t^{2}$ .
We gaan deze formule stapsgewijs anders schrijven:

$s$	$=$	$4,9 \cdot t^{2}$	neem links en rechts de $\log (...)$
$\log (s)$	$=$	$\log (4,9 \cdot t^{2})$	rekenregel voor logaritme
$\log (s)$	$=$	$\log (4,9) + \log (t^{2})$	rekenregel voor logaritme
$\log (s)$	$\approx$	$0,69 + 2 \cdot \log (t)$

Opmerking: Je kunt de berekening ook van onder naar boven maken.

Ga na dat elke stap in de afleiding hierboven correct is.
Kijk ook goed naar de weg van onderen naar boven.

Als je $s$ tegen $t$ uitzet in een grafiek, krijg je een (deel van een) parabool.

Wat voor grafiek krijg je als je $\log (s)$ tegen $\log (t)$ uitzet?

Schrijf de volgende formules zonder logaritmen.

$\log (y) = 2 \cdot \log (x) + \log (3)$
$\log (y) = 1 \frac{1}{2} - \log (x)$
$\log (y) = \frac{1}{2} \cdot \log (x) + 3$

Schrijf de volgende formules in de gedaante
$\log (y) = a \cdot \log (x) + b$ .

$y = 10 \cdot x^{4}$
$y = 0,2 \cdot \sqrt{x}$
$y = \frac{8}{x}$

De gemiddelde levensduur van een zoogdier in gevangenschap (bijvoorbeeld in dierentuinen) hangt af van de grootte van het dier. De onderzoeker Sachs vond de volgende formule:
$\log (T) = 1,07 + 0,20 \cdot \log (G)$ , waarbij $T$ de levensduur is in jaren en $G$ het gewicht in kg.

Bereken met deze formule hoe oud olifanten ( $4000$ kg) gemiddeld worden in een dierentuin.

De gemiddelde levensduur van gevangen giraffes is $44$ jaar.

Bereken met de formule het (gemiddelde) gewicht van een giraffe. Rond je antwoord af op een tiental kg.

De grafiek van het verband tussen $\log (T)$ en $\log (G)$ is een rechte lijn.

Wat is de richtingscoëfficiënt van deze lijn?

Laat algebraïsch zien dat een dier dat dubbel zo zwaar is gemiddeld $15 %$ langer leeft.

Tussen $T$ en $G$ bestaat een machtsverband: $T = a \cdot G^{b}$ .

Bereken de waarden van $a$ en $b$ , afgerond op 2 decimalen.

Het lichaamsgewicht $G$ van een warmbloedig dier (in kg) en zijn dagelijkse warmteproductie $W$ (in joule) hangen samen. Hieronder staat daarvan een grafiek; op de horizontale as is $\log (G)$ uitgezet, op de verticale as $\log (\frac{W}{40})$ .

Uit de grafiek kun je aflezen dat voor de cavia (Guinea pig) geldt: $\log (G) = ‐ 0,35$ .

Wat is het bijbehorende gewicht van de cavia (afgerond op tientallen grammen)?

Bepaal uit de grafiek de warmteproductie van een cavia.

Een formule bij de getekende lijn is:
$\log (\frac{W}{40}) = 0,50 + 0,75 \cdot \log (G)$ .

Geef (stapsgewijs) een formule voor $W$ als functie van $G$ .

Geluid is een trilling in de lucht die door het gehoororgaan waargenomen wordt. De intensiteit $I$ van geluid wordt uitgedrukt in watt per vierkante meter (W/m²).
Uit experimenten blijkt dat geluid met een intensiteit van één biljoenste ( $10^{‐ 12}$ ) W/m² voor jonge mensen nog net hoorbaar is. Dit wordt de gehoorgrens genoemd. Het andere uiterste is de pijngrens: die ligt bij een geluidsintensiteit van $10$ W/m².
De geluidsintensiteit van het tikken van een horloge op $1$ meter afstand komt ongeveer overeen met de gehoorgrens; het geluid van een opstijgend straalvliegtuig met de pijngrens.
Uit de intensiteit $I$ leidt men een meer praktische grootheid af, het geluidsdrukniveau $L$ , volgens de formule:
$L = 10 \cdot log (\frac{I}{I_{0}})$ , waarbij $I_{0}$ de geluidsintensiteit is die hoort bij de gehoorgrens, dus $I_{0} = 10^{‐ 12}$ W/m².
De eenheid van geluidsdrukniveau heet decibel, afgekort dB, genoemd naar Alexander Graham Bell, de uitvinder van de telefoon.

Bereken exact de geluidsdrukniveaus die horen bij de gehoorgrens en de pijngrens.

Op een zekere afstand produceren twee personenauto’s elk een geluidsdrukniveau van $80,0$ dB. De geluidsintensiteit is twee maal de geluidsintensiteit van één personenauto.

Bereken de waarde van hun gezamenlijk geluidsdrukniveau in één decimaal nauwkeurig.

Het verkeerslawaai in de buurt van een verkeersweg is onder meer afhankelijk van de afstand tot de weg. Voor afstanden van $20$ tot $1000$ meter gebruikt men de volgende formule:
$L = L_{0} - 10 log (2 π R)$ , waarbij

$R$ de afstand tot de as van de weg in meters is,
$L_{0}$ het geluidsdrukniveau van het verkeer op de as van de weg is,
$L$ het geluidsdrukniveau op $R$ meter afstand van de as van de weg is.

Bij een afstand van $R = 20$ m behoort een geluidsdrukniveau van $77$ dB.

Bereken in meters nauwkeurig welke afstand $R$ behoort bij een geluidsdrukniveau van $74$ dB.

Nog meer rekentechniek

Voorbeeld:

De hoeveelheid gas $G$ in duizenden m³ van een zeppelin wordt gegeven door de formule: $G = 128 \cdot 2^{‐ 0,1 t}$ .
Vraag:
Geef een formule voor $t$ uitgedrukt in $G$ .
Antwoord:

$G$	$=$	$128 \cdot 2^{‐ 0,1 t}$	links en rechts de ${}^{2} \log (...)$ nemen
${}^{2} \log (G)$	$=$	${}^{2} \log (128 \cdot 2^{‐ 0,1 t})$	rekenregels gebruiken
${}^{2} \log (G)$	$=$	${}^{2} \log (128) + {}^{2} \log (2^{‐ 0,1 t}) = 7 + t \cdot {}^{2} \log (2^{‐ 0,1})$	vereenvoudigen
${}^{2} \log (G)$	$=$	$7 + t \cdot ‐ 0,1 = 7 - 0,1 t$	herschrijven naar $t = ...$
$t$	$=$	$70 - 10 \cdot {}^{2} \log (G)$

Schrijf telkens de formule om in de vorm $x = ...$ . Gebruik daarbij de logaritme met hetzelfde grondtal als de exponentiële formule en schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

$y = 4 \cdot 2^{x}$
$y = 3 + 4 \cdot 2^{x}$
$y = \frac{1}{3} \cdot 3^{x}$
$y = 2 - 9 \cdot 3^{x}$

De lengte $L$ (in mm) van de armen van een zeester groeit volgens de formule $L = 9,37 \cdot {1,02}^{t}$ ( $t$ in dagen).

Schrijf deze formule stapsgewijs in de vorm $t = a + b \cdot \log (L)$ . Rond de waarden van $a$ en $b$ af op 1 decimaal.

Een bioloog doet onderzoek naar de invloed van fosfaten in het water op de groei van algen. Om de groei te kunnen bestuderen, heeft hij twee bakken met algen genomen. De ene bak bevat water met veel fosfaten, de andere fosfaatarm water. Voor de bak met fosfaatrijk water geldt voor de hoeveelheid algen: $A = 10,0 \cdot {1,6}^{t}$ .
En voor de bak met fosfaatarm water geldt: $A = 10,0 \cdot {1,3}^{t}$ .
In beide formules is de tijd $t$ in weken.

Schrijf beide formules om in de vorm $t = a + b \cdot \log (A)$ met $a$ en $b$ afgerond op 2 decimalen.

Bereken algebraïsch na hoeveel dagen de hoeveelheid algen in het fosfaatrijke water het dubbele is van de hoeveelheid in het fosfaatarme water.