1

a

b

$5$

c

$3$

2

a

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 y + 14 = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ .
Dus het middelpunt van de cirkel is $M (3,3)$ en de straal is $2$ , dus de afstand van $P$ tot de cirkel is $3$ .

b

$M Q = \sqrt{2}$ , dus de afstand van $Q$ tot de cirkel is $2 - \sqrt{2}$ .

c

De cirkels met middelpunt $M$ en stralen $1$ en $3$ .

3

a

$M Q$ , waarbij $M$ het midden van $O B$ is.

b

Het loodlijnstuk vanuit $A$ op lijn $P Q$ , Het loodlijnstuk vanuit $C$ op lijn $Q R$ en $M Q$ .

c

De driehoeken $P T Q$ en $P S A$ zijn gelijkvormig, want ze hebben beide een rechte hoek en de hoeken $A P S$ en $P Q T$ zijn even groot (z-hoeken).
De vergrotingsfactor is $\frac{P Q}{P A} = \sqrt{5}$ , dus $A S = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5} \sqrt{5}$ .

4

a

Zie figuur 1 hieronder. Teken de loodrechte projectie $P$ van $M$ op $k$ . Het snijpunt van lijn $M P$ met de cirkel noemen we $Q$ . Lijnstuk $P Q$ is het kortste verbindingslijnstuk van $k$ met de cirkel.

b

Zie figuur 2. $Q$ is het punt $(3,0)$ en $R$ is het snijpunt van lijnstuk $M Q$ met de cirkel.
$Q R$ is het kortste verbindingslijnstuk van de $x$ -as en de cirkel, $M Q = 4$ en $M R = \sqrt{2}$ .

c

Zie figuur 2.

figuur 1

figuur 2

Dat is $S (1,2)$ . $M S = 2 \sqrt{2}$ . De afstand is $2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ .

5

a

$y = ‐2 x + 1$ :
de richtingscoëfficiënt van $m$ is $‐2$ en $M$ ligt op $m$ .

b

$(\frac{3}{5}, ‐ \frac{1}{5})$

c

$(0,1)$ en $(‐2,5)$

d

Dat is de afstand van $(\frac{3}{5}, ‐ \frac{1}{5})$ tot $(0,1)$ , dus $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ .

6

a

$(0,1)$ of $(‐2,5)$ ligt op de lijn $x - 2 y = a$ , dus $a = ‐2$ of $a = ‐12$ .

b

De cirkel met middelpunt $M$ en straal $2 \sqrt{5}$ raakt dan de lijn $x - 2 y = a$ . Het raakpunt ligt dan op de lijn $m$ van de vorige opgave maar dan $2$ keer zo ver van $M$ als $(0,1)$ of $(‐2,5)$ , dus het raakpunt is $(1,‐1)$ of $(‐3,7)$ . Dan $a = 3$ of $a = ‐17$ .

7

Voor $y = a x$ invullen in $x^{2} + y^{2} + 8 x - 4 y + 10 = 0$ geeft:
$x^{2} + a^{2} x^{2} + 8 x - 4 a x + 10 = 0 \Leftrightarrow (a^{2} + 1) x^{2} + (8 - 4 a) x + 10 = 0$
Deze vergelijking moet één oplossing hebben, dus zijn discriminant is $0$ .
${(8 - 4 a)}^{2} - 4 (a^{2} + 1) \cdot 10 = 0 \Leftrightarrow a = ‐3$ of $a = \frac{1}{3}$ .

8

Het raakpunt ligt op de lijn door het middelpunt $M (1,‐3)$ loodrecht op de lijnen met vergelijking $x + 3 y = a$ , dus op de lijn met vergelijking $y = 3 x - 6$ . Deze lijn snijden met de cirkel geeft de snijpunten: $(2,0)$ en $(0,‐6)$ . Dus $(2,0)$ of $(0,‐6)$ ligt op de lijn, dus $a = 2$ of $a = ‐18$ .

9

De cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 40$ heeft straal $2 \sqrt{10}$ en middelpunt $O (0,0)$ .
De cirkel met middelpunt $O$ en straal $3 \sqrt{10}$ moet dan de lijn $x + 3 y = a$ raken.
Als je voor $x = a - 3 y$ in de vergelijking $x^{2} + y^{2} = 90$ invult moet de vergelijking in $y$ die je krijgt discriminant $0$ hebben.
${(a - 3 y)}^{2} + y^{2} = 90 \Leftrightarrow 10 y^{2} - 6 a y + a^{2} - 90 = 0$ , dus $36 a^{2} - 40 a^{2} + 3600 = 0$ , dus $a = 30$ of $a = ‐30$ .

Het kan ook anders.
De punten op de cirkel die het dichtst bij de lijn $x + 3 y = a$ liggen, liggen op de lijn door $O$ loodrecht op de lijn $x + 3 y = a$ , dus op lijn $k$ met vergelijking $y = 3 x$ . Deze lijn snijdt de cirkel in de punten $(2,6)$ en $(‐ 2, ‐ 6)$ . De punten op $k$ die $1 \frac{1}{2}$ keer zo ver van $O$ afliggen, dus $(3,9)$ of $(‐ 3, ‐ 9)$ moeten dan op $x + 3 y = a$ liggen, dus $a = 30$ of $a = ‐ 30$ .

10

Als je voor $y = 20 - x$ in de vergelijking ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2}$ invult moet de discriminant $0$ zijn.
${(x - 2)}^{2} + {(20 - x - 3)}^{2} = r^{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 38 x + 293 - r^{2} = 0$ ,
dus $D = 1444 - 8 (293 - r^{2}) = 0 \Leftrightarrow$ $8 r^{2} = 900$ , dus $r = 7 \frac{1}{2} \sqrt{2}$ .

11

Vanuit middelpunt

(3,5)

de loodlijn maken op lijn

m

:

m

heeft richtingscoëfficiënt

\frac{1}{2}

, dus de loodlijn heeft richtingscoëfficiënt

‐ 2

.
Vergelijking van de loodlijn door het middelpunt:

y = ‐ 2 (x - 3) + 5 = ‐ 2 x + 11

.
Snijpunt van de twee lijnen uitrekenen:

\frac{1}{2} x + 1 = ‐ 2 x + 11

\to

x = 4

\to

y = 3

.
De straal is de afstand tussen

(3,5)

en

(4,3)

, ofwel

\sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}

.