4.6 Extra opgaven >

Hoofdstukken > Exponenten en logaritmen

Een meer bevat $10.000$ m³ water waarin $10$ % verontreiniging is opgelost. Dus dat meer heeft $1000$ m³ verontreiniging en $9000$ m³ schoon water.
Om het water te zuiveren wordt elke week aan de ene kant $1000$ m³ water uit het meer gepompt en aan de andere kant wordt er $1000$ m³ zuiver water ingepompt. Er ontstaat meteen een goed mengsel.

Leg uit dat de hoeveelheid verontreiniging elke week $10$ % minder is dan de week ervoor.

Het aantal m³ verontreiniging $A$ neemt per dag exponentieel af.

Laat zien dat dit met groeifactor $0,985$ (in drie decimalen nauwkeurig) gebeurt.

Geef een formule voor $A$ uitgedrukt in $t$ , hierbij is $t$ het aantal dagen na het begin van de schoonmaak.

Na een aantal dagen is de hoeveelheid verontreiniging afgenomen tot $100$ m³.

Bereken dit aantal dagen, rond af op een geheel aantal.

Hoeveel duizenden m³ water is er dan ongeveer in het meer gepompt? Rond je antwoord af op een geheel aantal.

Bereken exact, schrijf dus voldoende tussenstappen op.

${}^{4} log (\frac{1}{32})$	${}^{2} log (16 \sqrt[3]{4})$
${}^{4} log (\frac{1}{2} \sqrt{2})$	${}^{\frac{1}{2}} log (16 \sqrt[3]{4})$

In een kweek wordt de hoeveelheid bacteriën bijgehouden.
$A (t)$ is de hoeveelheid (in microgram) na $t$ dagen.
$1$ microgram is $10^{‐ 6}$ gram.

$t$	$0$	$1$	$3$	$6$
$A (t)$	$1500$	$2400$	$6200$	$25.200$

Ga na dat er sprake is van exponentiele groei.
Bepaal de groeifactor per dag.

Wat is de procentuele toename per dag?

Bereken langs algebraïsche weg de procentuele toename per uur in één decimaal.

Een andere bacteriesoort groeit exponentieel in $3$ dagen van $200$ tot $600$ mg.

Bereken langs algebraïsche weg de procentuele toename per dag in één decimaal.

Wat is de verdubbelingstijd van deze soort?
Bereken je antwoord langs algebraïsche weg in één decimaal.

In deze opgave zijn $a$ en $b$ positieve getallen en $a \neq 1$ .
$p$ is willekeurig.

Bereken met de rekenmachine in drie decimalen ${}^{2} log (3)$ en ${}^{8} log (27)$ .

Toon met behulp van regels voor het rekenen van logaritmen aan dat: ${}^{a} log (b) = {}^{a^{p}} log (b^{p})$ .

Bereken met de rekenmachine in drie decimalen ${}^{4} log (5)$ en $\frac{1}{{}^{5} log (4)}$ .

Toon met behulp van regels voor het rekenen van logaritmen aan dat ${}^{a} log (b) = \frac{1}{{}^{b} log (a)}$ , ( $a > 0$ , $b > 0$ , $a \neq 1$ , $b \neq 1$ ).

Er geldt: $log (2) \approx 0,3010$ .

Bereken hiermee zonder rekenmachine:

$log (20)$	$log (2000)$
$log (0,02)$	$log (50)$

figuur 1

Een geluidsbron (boormachine, piano) hoor je doordat die geluidsbron het trommelvlies in je oor in trilling brengt. Geluid is meestal samengesteld uit tonen van verschillende hoogte. De hoogte van een zuivere toon wordt bepaald door zijn trillingsgetal: hoe hoger het trillingsgetal, uitgedrukt in Hertz (Hz), hoe hoger de toon. Het trillingsgetal is het aantal trillingen per seconde. Het trillingsgetal van een aangeslagen stemvork is $440$ Hz.
ln de muziek werken we met octaven: het trillingsgetal van de hoogste toon in een octaaf is twee keer zo groot als het trillingsgetal van de laagste toon. Op een piano zitten op een octaaf dertien tonen (acht witte en vijf zwarte toetsen).
Een moderne piano is zo gestemd dat de verhouding van de trillingsgetallen van een toon en de volgende toon steeds hetzelfde is. Zo'n piano heet gelijkzwevend gestemd (Bach wohltemperiertes Klavier). De zo ontstane toonladder heet chromatische toonladder.

figuur 2

Bereken het verhoudingsgetal dat in bovenstaande tekst genoemd wordt exact en in twee decimalen.

Om verschillende instrumenten in een orkest goed samen te laten spelen moet de absolute hoogte van de tonen vaststaan. Het trillingsgetal van de a (op de notenbalk met een G-sleutel tussen de tweede en derde lijn, zie figuur 2) is $440$ Hz.

Bereken het trillingsgetal van de centrale c (In figuur 1 zijn de centrale c en de a aangegeven.)

Bij toonladders kun je spreken van exponentiële groei van de trillingsgetallen. De groeifactor is $2$ per octaaf.
Bij een orgel bepaalt de lengte van de pijp het trillingsgetal van de toon: de lengte van de pijp is omgekeerd evenredig met het trillingsgetal van de toon die hij voortbrengt, dat wil zeggen: trillingsgetal maal pijplengte is constant. De pijplengte van een orgel groeit daarom per octaaf met factor $\frac{1}{2}$ . Zo brengt een orgel de exponentiële functie mooi in beeld.

Los de volgende vergelijkingen in $x$ exact op.

$log (x) + log (x + 5) = 1 + log (5)$
$log (x) - log (x - 9) = 1$
${}^{x} log (8 x) = 3$

Uit Wikipedia.
Zure regen, zure neerslag of zure depositie ontstaat wanneer zwaveldioxide (SO₂), stikstofoxiden (NO_x), ammoniak (NH₃) en vluchtige organische stoffen (VOS) oplossen in de regenwolken. Stikstofoxiden (NO_x) is een verzamelnaam voor het giftige stikstofmonoxide (NO) en stikstofdioxide (NO₂). Ammoniak (NH₃) en vluchtige organische stoffen kunnen afkomstig zijn van de uitlaatgassen van auto's en van de verbranding van zwavelhoudende en stikstofhoudende brandstoffen zoals mazout, stookolie en benzine. Samen met water vormen zij daar zuren; zwavelzuur (H₂SO4) en salpeterzuur (HNO₃).
Ook de intensieve veeteelt is een belangrijke uitstoter. Ammoniak vormt samen met zuurstof ook stikstofoxiden, die aanleiding kunnen geven tot vorming van salpeterzuur.

Hoe zuur een oplossing is wordt bepaald door de concentratie van de H⁺-ionen daarin.
Hoe groter die concentratie, hoe zuurder de oplossing; hoe kleiner die concentratie, hoe meer basisch.
Zo is de concentratie van H⁺-ionen in azijn $0,0034$ mol/l.
We schrijven: [H⁺] = $0,0034$ mol/l.
[H⁺] in het Zweedse schoonmaakprodukt Hg-blauw is $0,01$ mol/l.
[H⁺] kan variëren van $10$ tot $10^{‐15}$ mol/l, vandaar dat men de zuurgraad oftewel pH van een oplossing als volgt definieert: pH = -log [H⁺].

Wat is de pH van azijn? En van Hg-blauw? Rond je antwoord af op twee decimalen.

Wat is [H⁺] in een oplossing met pH = $9$ ?
En in een oplossing met pH = $2,2$ (benaderen in $4$ decimalen)?

In een neutrale oplossing is pH = $7$ .

Vul in ("groter dan" of "kleiner dan"):
In een zure oplossing is de pH ___ $7$ ,
in een basische oplossing is de pH ___ $7$ .

In water wordt HCl volledig gesplitst in H⁺-ionen en Cl⁻-ionen.
In $100$ liter water is $1$ mol zoutzuur (HCl) opgelost.
De hoeveelheid H⁺-ionen in de oplossing niet afkomstig van de HCl is te verwaarlozen.

Waarom?
Wat is de pH van de oplossing?

Een liter vloeistof met een pH van $2$ wordt verdund met één liter water.

Wat is de pH van het mengsel in twee decimalen?

Een liter van een vloeistof met een pH van $3$ wordt met water verdund tot een vloeistof met een pH van $3,2$ .

Met hoeveel liter water is verdund (in drie decimalen)?

Op grote hoogte is de luchtdruk veel lager dan op zeeniveau. Afgezien van kleine schommelingen is de luchtdruk op zeeniveau $1000$ hectopascal. De luchtdruk is een exponentiële functie van de hoogte. Op $5$ km hoogte is de luchtdruk ongeveer $500$ hectopascal.

Hoe groot is de luchtdruk op $1$ km hoogte?

De luchtdruk op hoogte $h$ km is $L (h)$ hectopascal.

Geef een formule voor $L (h)$ uitgedrukt in $h$ .