6.5 Sinusoïden >

Hoofdstukken > Sinus en co

Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging. De eerste coördinaat (de "wijdte") op tijdstip $t$ is dan $\cos (t)$ , de tweede coördinaat (de "hoogte") is dan $\sin (t)$ . Hieronder staan de grafieken van $\cos$ en $\sin$ .

Zoals bekend is van deze grafieken de amplitude $1$ , de evenwichtswaarde $0$ en de periode $2 π$ .

1

We veranderen de standaard cirkelbeweging op één punt: we verdubbelen de snelheid. De andere kenmerken laten we onveranderd.

a

Teken op het werkblad de grafiek van de hoogte en de wijdte van deze beweging met dubbele snelheid.

b

Wat is de amplitude, de evenwichtswaarde en de periode?

c

Bereken de hoogte op tijdstip $1,2$ .
Wat is de hoogte op tijdstip $t$ ?

d

Bereken de wijdte op tijdstip $1,2$ .
Wat is de wijdte op tijdstip $t$ ?

2

We veranderen de standaard cirkelbeweging op één punt: we laten het kogeltje rechtsom draaien. De andere kenmerken laten we onveranderd.

a

Teken op het werkblad de grafiek van de hoogte en de wijdte van deze beweging.

b

Wat is de amplitude, de evenwichtswaarde en de periode?

c

Bereken de hoogte op tijdstip $1,2$ .
Wat is de hoogte op tijdstip $t$ ?

d

Bereken de wijdte op tijdstip $1,2$ .
Wat is de wijdte op tijdstip $t$ ?

3

We veranderen de standaard cirkelbeweging op één punt: we laten het kogeltje op tijdstip $1$ het punt $(1,0)$ passeren. De beweging is dus $1$ seconde vertraagd. De andere kenmerken laten we onveranderd.

a

Teken op het werkblad de grafiek van de hoogte en de wijdte van deze beweging.

b

Wat is de amplitude, de evenwichtswaarde en de periode?

c

Bereken de hoogte op tijdstip $1,2$ .
Wat is de hoogte op tijdstip $t$ ?

d

Bereken de wijdte op tijdstip $1,2$ .
Wat is de wijdte op tijdstip $t$ ?

4

We veranderen de standaard cirkelbeweging op één punt: we maken de straal van de cirkel $2$ keer zo groot. De andere kenmerken laten we onveranderd. Een rondje duurt nog steeds $2 π$ .

a

Teken op het werkblad de grafiek van de hoogte en de wijdte van deze beweging.

b

Wat is de amplitude, de evenwichtswaarde en de periode?

c

Bereken de hoogte op tijdstip $1,2$ .
Wat is de hoogte op tijdstip $t$ ?

d

Bereken de wijdte op tijdstip $1,2$ .
Wat is de wijdte op tijdstip $t$ ?

5

We veranderen de standaard cirkelbeweging op één punt: we nemen als middelpunt van de cirkel $(2,3)$ . De andere kenmerken laten we onveranderd.

a

Teken op het werkblad de grafiek van de hoogte en de wijdte van deze beweging.

b

Wat is de amplitude, de evenwichtswaarde en de periode?

c

Bereken de hoogte op tijdstip $1,2$ .
Wat is de hoogte op tijdstip $t$ ?

d

Bereken de wijdte op tijdstip $1,2$ .
Wat is de wijdte op tijdstip $t$ ?

6

Vul hieronder het overzicht in van de verschillende variaties die in de vorige opgaven voorbij zijn gekomen:

Zie ook de applet cirkel en grafiek . Daarmee kun je mooi zien hoe de grafieken van deze variaties van $\sin$ en $\cos$ uit de eenheidscirkel ontstaan.

7

a

Teken op de GR de grafieken van:
$y = \sin (x)$ , $y = \sin (2 x)$ , $y = \sin (4 x)$ en $y = \sin (10 x)$ .

b

Geef voor elk van deze functies de exacte waarde van het kleinste positieve getal $x$ waarvoor $y = 0$ .

c

Geef voor elk van deze functies (de exacte waarde van) de periode.

8

Hieronder staan twee trillingsgrafieken met formule
$y = \sin (b x)$ , voor zekere waarden van $b$ .

a

Bepaal voor beide grafieken de waarde van $b$ en de periode.

b

Teken de grafiek van $y = \sin (\frac{1}{2} x)$ .
Wat is de periode van deze functie?

c

Wat is de periode van de functie $y = \sin (11 x)$ ?
En van de functie $y = \sin (\frac{1}{4} x)$ ?
En van de functie $y = \sin (\frac{11}{4} x)$ ?

De grafiek van $y = \sin (n x)$ schommelt $n$ keer zo snel als de grafiek van $y = \sin (x)$ .
De periode is $\frac{2 π}{n}$ .

9

$y = \sin (x)$ heeft periode $2 π$ .

a

Wat is de periode van de functie $y = \sin (π x)$ ?
Controleer je antwoord door de grafiek op je GR te tekenen.

b

Geef een formule van een functie met een sinus met periode $1$ .
Ook met periode $\frac{1}{2}$ , met periode $7$ en met periode $p$ .

De periode van $y = \sin (c x)$ is $p$ als $c = \frac{2 π}{p}$ .

Tot nu toe hebben wij telkens maar één kenmerk van de standaard cirkelbeweging tegelijk veranderd. Maar zoals je met de applet hebt kunnen zien, kun je natuurlijk ook meerdere kenmerken tegelijk veranderen.

10

$f (x) = ‐ 1 + 4 \sin (2 x)$

a

Geef de periode, de amplitude en de evenwichtswaarde van de grafiek van $f$ .

b

Controleer je antwoorden op de GR door de grafiek te tekenen.

11

$f (x) = 3 - 2 \sin (\frac{1}{2} x)$

a

Geef de periode, de amplitude en de evenwichtswaarde van de grafiek van $f$ .

b

Controleer je antwoorden op de GR door de grafiek te tekenen.

c

Voor welke (exacte) waarden van $x$ gaat de grafiek van $f$ stijgend door de evenwichtsstand?

12

$f (x) = a + b \sin (c x)$

Geef de periode, de amplitude en de evenwichtswaarde van de grafiek van $f$ .

13

a

Geef een formule voor een sinusfunctie met periode $4$ , amplitude $1 \frac{1}{2}$ en evenwichtswaarde $1$ .

b

Stel een formule (met sin) op voor onderstaande grafiek.

c

Stel een formule (met sin) op voor onderstaande grafiek.

14

a

Geef een formule voor een cosinusfunctie met periode $4$ , amplitude $1 \frac{1}{2}$ en evenwichtswaarde $1$ .

b

Stel een formule (met cos) op voor onderstaande grafiek.

c

Stel een formule (met $\cos$ ) op voor onderstaande grafiek.

15

Twee golven: $y = 2 \sin (\frac{1}{2} t)$ en $y = 2 \sin (\frac{1}{2} (t - 1))$ .

a

Teken de grafieken op de GR in één figuur.

De tweede golf loopt $1$ seconde achter op de eerste golf.

b

Welk tijdstip moet je bij de tweede golf kiezen om dezelfde $y$ -waarde te krijgen als de eerste golf heeft op tijdstip $5$ ?

c

Welk tijdstip moet je bij de tweede golf kiezen om dezelfde $y$ -waarde te krijgen als de eerste golf heeft op tijdstip $100$ ?

d

Hoe moet je de eerste golf verschuiven om de tweede golf te krijgen?

16

a

Teken op de GR de grafiek van $y = 1 + 2 \sin (x - n)$ voor enkele waarden van $n$ .

b

Kies het juiste woord:
Hoe groter $n$ des te verder schuift de grafiek naar links / rechts.

De toppen van de golf $y = 1 + 2 \sin (x)$ liggen bij
$x = \frac{1}{2} π, x = 2 \frac{1}{2} π, x = 4 \frac{1}{2} π$ , enzovoort.

c

Bij welke waarden van $x$ liggen de toppen van de golf
$y = 1 + 2 \sin (x - 3)$ ?

17

Hieronder staat de golf met evenwichtswaarde $0$ , amplitude $3$ en periode $2 π$ . De toppen liggen bij
$x = \frac{1}{2} π - 1, x = 2 \frac{1}{2} π - 1, x = 4 \frac{1}{2} π - 1$ , enzovoort.

Stel een formule op voor de golf.

De golf $y = a + b \sin (c (x - d))$ ontstaat uit de golf
$y = a + b \sin (c x)$ door deze $d$ eenheden naar rechts te verschuiven.
Als $d$ een negatief getal is, betekent dat een verschuiving naar links.

Opmerking:

In plaats van golf spreken we van sinusoïde.

Voorbeeld:

Hieronder staat een sinusoïde: $y = a + b \sin (c (x - d))$ .

Je kunt aflezen dat de grootste $y$ -waarde $7$ is en de kleinste $‐ 1$ .
De evenwichtswaarde ligt daar midden tussen in:
$a = \frac{1}{2} \cdot (7 + ‐ 1) = 3$ .
De amplitude is het verschil tussen de grootste $y$ -waarde en de evenwichtswaarde: $b = 7 - 3 = 4$ .
Tussen $x = 2$ en $x = 8$ verloopt een volledige golf.
De periode is dus $6$ . Dus $c = \frac{2 π}{6} = \frac{1}{3} π$ .
Bij $x = 2$ gaat de sinusoïde stijgend door de evenwichtsstand. Dus $d = 2$ .

De formule wordt dus: $y = 3 + 4 \sin (\frac{1}{3} π (x - 2))$ .

18

Je kunt bij de grafiek van het voorbeeld hierboven ook een formule van een cosinus maken: $y = a + b \cos (c (x - d))$ .
Het startpunt van een cosinus is anders: een cosinusgolf start in een top.

Stel een cosinusformule op voor de golf uit het voorbeeld.

19

Geef een formule voor elk van de volgende sinusoïden.

20

a

Hoe verandert de grafiek van $y = p + \cos (x)$ als je $p$ laat variëren?

b

Hoe verandert de grafiek van $y = p \cos (x)$ als je $p$ laat variëren?

c

Hoe verandert de grafiek van $y = \cos (p x)$ als je $p$ laat variëren?

d

Hoe verandert de grafiek van $y = \cos (x - p)$ als je $p$ laat variëren?