Snijpunten van een lijn met een cirkel

In het plaatje staat de cirkel met middelpunt $M (‐2,1)$ en straal $2$ . De cirkel snijdt de $x$ -as in $A$ en $B$ .
Het midden van $A B$ noemen we $N$ .

Bereken $A N$ exact.

Uit het voorgaande volgt dat $A = (‐2 - \sqrt{3},0)$ .

Ga dat na.
Wat zijn de coördinaten van $B$ ?

Je kunt de coördinaten van $A$ en $B$ ook vinden door een stelsel vergelijkingen op te lossen. Als volgt.

Geef een vergelijking van de cirkel.

Los op: ${\begin{cases} {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4 \\ y = 0 \end{cases}$ .

Voorbeeld:

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn $k$ met vergelijking $x + 2 y = 6$ en de cirkel met middelpunt $M (‐1,2)$ en straal $3$ .

Oplossing

Een vergelijking van de cirkel is: ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ .
De snijpunten zijn de oplossingen van het stelsel:
${\begin{cases} {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9 \\ x + 2 y = 6 \end{cases}$ .
Dit stelsel lossen we als volgt op.

${\begin{cases} {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9 \\ x + 2 y = 6 \end{cases}$	$x$ uitdrukken in $y$
${\begin{cases} {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9 \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$	Voor $x = 6 - 2 y$ in de andere vergelijking invullen.
${\begin{cases} {(6 - 2 y + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9 \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$	De kwadratische vergelijking in $y$ oplossen.
${\begin{cases} 4 y^{2} - 28 y + 49 + y^{2} - 4 y + 4 = 9 \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$	Vereenvoudigen.
${\begin{cases} 5 y^{2} - 32 y + 44 = 0 \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$	Bijvoorbeeld de $a b c$ -formule toepassen.
${\begin{cases} y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 880}}{10} \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$	De gevonden waarden van $y$ invullen in $x + 2 y = 6$ , geeft de oplossingen.
De snijpunten zijn: $(‐2 \frac{4}{5},4 \frac{2}{5})$ en $(2,2)$ .

Gegeven de lijn met vergelijking $x + 3 y = 15$ en de cirkel met middelpunt $O$ en straal $5$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten.

Gegeven de lijn met vergelijking $2 x + 3 y = 7$ en de cirkel met middelpunt $M (‐1,1)$ en straal $2$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten.

$c$ is de cirkel met middelpunt $O$ en straal $2$ .

Geef een vergelijking van $c$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van $c$ met de lijn $y = x$ .

We bekijken snijpunten van de cirkel met middelpunt $O$ en straal $2$ met de lijnen $k_{a} : x + y = a$ voor alle mogelijke waarden van $a$ .

Voor $a = 0$ krijg je de lijn $k_{0}$ met vergelijking $x + y = 0$ door $O$ .
Voor elke andere waarde van $a$ krijg je een lijn evenwijdig met $k_{0}$ .

Waarom?

In de applet schuivende lijn kun je $a$ variëren: bekijk die applet.

Je ziet dat je geen, één of twee snijpunten van de lijn met de cirkel krijgt, afhankelijk van $a$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $k_{1} : x + y = 1$ met de cirkel exact en ook van $k_{4} : x + y = 4$ met de cirkel.

Uit het vorige onderdeel kun je concluderen dat er een waarde van $a$ tussen $1$ en $4$ is waarvoor je precies één gemeenschappelijk punt van $k_{a}$ met de cirkel hebt.

Heb je enig idee welke waarde van $a$ dit exact is?