1

In de figuur kun je in de grote en in de kleine rechthoekige driehoek een uitdrukking voor $\tan (α)$ opschrijven (met $x$ erin).

a

Doe dat.

b

Schrijf nu een vergelijking voor $x$ op en los deze vergelijking algebraïsch op.

2

Van een vierkant van $6$ bij $6$ cm worden hoeken weggeknipt en wel zo, dat je een rechthoek overhoudt. Die is in het plaatje gekleurd.

a

Laat zien dat de oppervlakte van de gekleurde rechthoek gelijk is aan: $‐ 2 x^{2} + 12 x$ .

b

Bereken exact voor welke $x$ de oppervlakte van de gekleurde rechthoek gelijk is aan $2$ .

We bekijken de parabool met vergelijking $y = ‐ 2 x^{2} + 12 x$ .

c

Bepaal langs algebraïsche weg de top van deze parabool.

d

Voor welke $x$ is de oppervlakte van het gekleurde gebied maximaal?
Wat is de maximale oppervlakte?

3

We volgen een vuurpijl op zijn baan door de lucht.
De hoogte van de vuurpijl is: $h = 50 t - 5 t^{2}$ . Hierin is $h$ de hoogte in meters en $t$ het aantal seconden na afvuren.
De formule $h = 50 t - 5 t^{2}$ geldt natuurlijk alleen zolang de vuurpijl in de lucht is.

a

Bereken algebraïsch hoe lang de vlucht van de vuurpijl duurt.

(hint)

Teken eerst de baan van de vuurpijl, bijvoorbeeld op de GR.

b

Wat is de maximale hoogte van de vuurpijl?

c

Bereken algebraïsch op welke tijdstippen de hoogte van de vuurpijl meer dan $113,75$ meter is.

4

Van een balk is de lengte $4$ meer dan de hoogte, de breedte is $3$ meer dan de hoogte.
De totale oppervlakte van de balk is $162$ .

Bereken exact de hoogte $x$ van de balk.

5

Met een tank wordt een kogel afgeschoten. Het punt waar de kogel de loop verlaat noemen we $O$ .
De $x$ -as nemen we horizontaal op de grond en de $y$ -as verticaal.
De baan van het projectiel is (bij benadering) een parabool met vergelijking $y = a x - \frac{1}{100} x^{2}$ , voor zeker getal $a$ ; hierbij zijn $x$ en $y$ in meters.

a

Bereken het getal $a$ als de kogel $100$ meter ver komt.

b

Bereken de grootste hoogte die de kogel bereikt als de kogel $100$ meter ver komt.

6

Je ziet het begin van een rij. In de rij zit een regelmaat.

a

Uit hoeveel stippen bestaat de figuur als $n = 10$ ?

b

Geef een formule waarbij je het aantal stippen uitdrukt in $n$ .
Schrijf de formule zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

c

Is er een figuur die bestaat uit $10.204$ stippen?
Licht je antwoord toe met een algebraïsche berekening.

7

Uit een driehoekige lap stof knippen we een rechthoekig stuk.

Noem de breedte van dit stuk $x$ en de oppervlakte $O$ .

a

Druk $O$ uit in $x$ .

(hint)

Druk eerst

y

uit in

x

met behulp van gelijkvormigheid.

We willen de afmetingen weten waarbij de oppervlakte van de rechthoek het grootst is.

b

Bereken algebraïsch bij welke $x$ de oppervlakte het grootst is.

c

Hoe groot is de oppervlakte dan?

8

In een vierkant van $8$ bij $8$ cm wordt een kleiner vierkant (is gekleurd) getekend. De oppervlakte van het kleinere vierkant is drie keer zo groot als de oppervlakte van de vier driehoeken samen.

Bereken exact de waarde van $x$ .

9

$O A B C$ is een rechthoek van $4$ bij $8$ met $A$ en $C$ op de coördinaatassen.
Het punt $P$ beweegt over diagonaal $O B$ .
We vragen ons af op welke plaats $P$ het dichtst bij $A$ is.
(Die vraag kun je natuulijk ook meetkundig aanpakken, maar het gaat ook algebraïsch.)
De eerste coördinaat van $P$ noemen we $x$ .

a

Druk de tweede coördinaat van $P$ uit in $x$ .

De afstand van $P$ tot $A$ is $\sqrt{1 \frac{1}{4} x^{2} - 16 x + 64}$ .

b

Toon dat aan.

(hint)

Stelling van Pythagoras

$\sqrt{1 \frac{1}{4} x^{2} - 16 x + 64}$ is zo klein mogelijk als
$1 \frac{1}{4} x^{2} - 16 x + 64$ dat is.

c

Bereken algebraïsch voor welke waarde van $x$ de uitkomst van $1 \frac{1}{4} x^{2} - 16 x + 64$ minimaal is.

d

Bereken exact de kleinste afstand van $A$ tot $P$ .