We kunnen nu beginnen aan het systematisch oplossen van vergelijkingen. Er zijn twee belangrijke stappen:

herleiden op 0,
ontbinden in factoren.

Voorbeeld

Los op:

$x^{2} = 5 x - 4$		herleid op 0 (min $5 x$ , plus 4)
$x^{2} - 5 x + 4 = 0$		ontbind in factoren
$(x - 4) (x - 1) = 0$
$x = 4$ of $x = 1$

Controle:	$x^{2} = 4^{2} = 16$ en $5 x - 4 = 5 \cdot 4 - 4 = 16$
	$x^{2} = 1^{2} = 1$ en $5 x - 4 = 5 \cdot 1 - 4 = 1$

Voorbeeld

Los op:

$4 x^{3} = 100 x$		herleid op 0 (min $100 x$ )
$4 x^{3} - 100 x = 0$		deel door 4
$x^{3} - 25 x = 0$		ontbind in factoren
$x (x^{2} - 25) = 0$
$x = 0$ of $x^{2} = 25$
$x = 0$ of $x = 5$ of $x = ‐ 5$

Controle:	$4 x^{3} = 4 \cdot 0^{3} = 0$ en $100 x = 100 \cdot 0 = 0$
	$4 x^{3} = 4 \cdot 5^{3} = 500$ en $100 x = 100 \cdot 5 = 500$
	$4 x^{3} = 4 \cdot {(‐ 5)}^{3} = ‐ 500$ en $100 x = 100 \cdot ‐ 5 = ‐ 500$

Stappenplan
Bij het oplossen van vergelijkingen zoals hierboven beginnen we steeds met herleiden op nul: het rechter- of linkerlid maken we 0.
Het is handig de termen te rangschikken: voorop de term met $x^{2}$ , dan de term met $x$ , dan het getal zonder $x$ .
We ontbinden het linker- of rechterlid in factoren: we schrijven het als product.
We controleren de oplossing(en).

Los de volgende vergelijkingen op.

$x^{2} + 10 x = ‐ 16$	$x^{2} - 5 x = 6$
$10 x = x^{2}$	$x^{3} + 9 x^{2} = 0$
$x^{2} + 6 x = 16$	$12 - 11 x = x^{2}$
$x^{2} + 16 = 8 x$	$3 x^{2} = 6 x - 3$
$2 x^{2} = 10 x$	$3 - 4 x = 1 - 2 x^{2}$

Soms moet je eerst de haakjes uitwerken, voordat je op nul herleidt en ontbindt in factoren.

Voorbeeld

Los op:

$x (2 x - 7) = {(x - 2)}^{2}$		haakjes uitwerken
$2 x^{2} - 7 x = x^{2} - 4 x + 4$		herleiden op nul
$x^{2} - 3 x - 4 = 0$		ontbinden in factoren
$(x - 4) (x + 1) = 0$
$x = 4$ of $x = ‐1$

Los de volgende vergelijkingen op.

$3 (x + 1) = x^{2} + 5$	$x (x^{2} - 2) = x^{2} (x + 2)$
$(x + 1) (x + 3) = 1 - x^{2}$	$2 (x^{2} - 2) = 4 (x^{2} - 3)$
$3 {(x + 1)}^{2} = x^{2} + 3$	${(x^{2} + 2)}^{2} = {(x^{2} - 4)}^{2}$

Los de volgende vergelijkingen op.

$5 x^{4} = 80$	$12 - 4 x = x^{2}$
$5 x^{4} = 80 x^{2}$	$12 - 2 x = 2 x^{2}$
$5 x^{4} = 80 x^{3}$	$12 - 9 x = 3 x^{2}$

$x^{2} - 10 x + 9 = 0$	${(3 + x)}^{2} = 49$
$x^{2} (x^{2} - 10 x + 9) = 0$	${(3 + x)}^{2} = ‐ 49$
$(x - 1) (x^{2} - 10 x + 9) = 0$	${(3 + x)}^{2} = 0$

$x + 2 = 64$	${(x + 2)}^{3} = 64$
${(x + 2)}^{2} = 64$	${(x + 2)}^{6} = 64$

Bekijk de vergelijking $x^{3} + 2 x^{2} - 13 x + 10 = 0$ .

Ga na dat 1 een oplossing is.

Als 1 een oplossing is, dan kun je de uitdrukking
$x^{3} + 2 x^{2} - 13 x + 10$ ontbinden in $(x - 1) (a x^{2} + b x + c)$ . Door een beetje te puzzelen kun je de waarden van $a$ , $b$ en $c$ achterhalen.

Ga na dat $a = 1$ , $b = 3$ en $c = ‐ 10$ .

De uitdrukking $x^{3} + 2 x^{2} - 13 x + 10$ kun je dus ontbinden in $(x - 1) (x^{2} + 3 x - 10)$ . Omdat verder geldt dat $(x^{2} + 3 x - 10) = (x - 2) (x + 5)$ kun je de vergelijking $x^{3} + 2 x^{2} - 13 x + 10 = 0$ schrijven als $(x - 1) (x - 2) (x + 5) = 0$ .
De oplossingen van $x^{3} + 2 x^{2} - 13 x + 10 = 0$ zijn dus: 1, 2 en $‐ 5$ .

Bepaal op dezelfde wijze de oplossingen van:
$x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15 = 0$ als $‐ 5$ een oplossing is,
$x^{3} - x^{2} - 6 x = 0$ als 3 een oplossing is en
$x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8 = 0$ als 1 en $‐ 2$ oplossingen zijn.

Opmerking:

Wil je meer oefenen, tot je snel een foutloos vergelijkingen kunt oplossen, dan kun je de volgende digitale mini-loco spelen.
• Mini-loco kwadratische vergelijkingen
Of deze applet, mozaïekspel:
• Mozaïekspel kwadratische vergelijkingen . (Gebruik kladpapier.)

Mini-loco kwadratische vergelijkingen

Mozaïek kwadratische vergelijingen