19.5 Oplossen en opstellen van vergelijkingen >

Oplossen van eenvoudige vergelijkingen

$x^{2} - 5 x - 24 = 0$		ontbinden in factoren
$(x - 8) (x + 3) = 0$
$x = 8$ of $x = ‐ 3$

$x^{2} + 10 x = 0$		ontbinden in factoren
$x (x + 10) = 0$
$x = 0$ of $x = ‐ 10$

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$		ontbinden in factoren
$(x - 4) (x - 2) = 0$
$x = 4$ of $x = 2$

$x^{2} - 5 x = 0$		ontbinden in factoren
$x (x - 5) = 0$
$x = 0$ of $x = 5$

$x^{2} + 3 x = 0$		ontbinden in factoren
$x (x + 3) = 0$
$x = 0$ of $x = ‐ 3$

Jamal had of het getal 0 of het getal $‐ 3$ in gedachten.

$y^{2} + 7 y - 18 = 0$		ontbinden in factoren
$(y - 2) (y + 9) = 0$
$y = 2$ of $y = ‐ 9$

Janneke had of het getal 2 of het getal in $‐ 9$ gedachten.

Vergelijkingen waarbij je eerst moet herleiden op 0

$x^{2} + 6 x = 16$		MIN 16
$x^{2} + 6 x - 16 = 0$		ONTBINDEN
$(x + 8) (x - 2) = 0$
$x = ‐ 8$ of $x = 2$

$x^{2} - 5 x = 6$		MIN 6
$x^{2} - 5 x - 6 = 0$		ONTBINDEN
$(x - 6) (x + 1) = 0$
$x = 6$ of $x = ‐ 1$

$x^{2} = 8 x$		MIN $8 x$
$x^{2} - 8 x = 0$		ONTBINDEN
$x (x - 8) = 0$
$x = 0$ of $x = 8$

$x^{2} + 16 = 8 x$		MIN $8 x$
$x^{2} - 8 x + 16 = 0$		ONTBINDEN
${(x - 4)}^{2} = 0$
$x = 4$

$x^{2} + 2 x = 24$

$x^{2} + 2 x = 24$		MIN 24
$x^{2} + 2 x - 24 = 0$		ONTBINDEN
$(x + 6) (x - 4) = 0$
$x = ‐ 6$ of $x = 4$

$x (x + 4) + 4 \cdot 4 = 181$
$x^{2} + 4 x + 16 = 181$
$x^{2} + 4 x - 165 = 0$
$(x + 15) (x - 11) = 0$
$x = ‐ 15$ of $x = 11$
Alleen het antwoord $x = 11$ voldoet, omdat het om een lengte gaat.

$x^{2} = 2 x - 1$		MIN $2 x$ , PLUS 1
$x^{2} - 2 x + 1 = 0$		ONTBINDEN
$(x - 1) (x - 1) = 0$
$x = 1$

$12 - 4 x = x^{2}$		PLUS $4 x$ , MIN 12
$x^{2} + 4 x - 12 = 0$		ONTBINDEN
$(x + 6) (x - 2) = 0$
$x = ‐ 6$ of $x = 2$

$x^{2} = 12 - 11 x$		PLUS $11 x$ , MIN 12
$x^{2} + 11 x - 12 = 0$		ONTBINDEN
$(x + 12) (x - 1) = 0$
$x = ‐ 12$ of $x = 1$

$5 x + 14 = x^{2}$		MIN $5 x$ , MIN 14
$x^{2} - 5 x - 14 = 0$		ONTBINDEN
$(x + 2) (x - 7) = 0$
$x = ‐ 2$ of $x = 7$

Vergelijkingen met haakjes

$x^{2} + 5 = 3 (x + 1)$		HAAKJES WEG
$x^{2} + 5 = 3 x + 3$		MIN $3 x$ , MIN 3
$x^{2} - 3 x + 2 = 0$		ONTBINDEN
$(x - 2) (x - 1) = 0$
$x = 2$ of $x = 1$

$2 (x^{2} - 2) = 4 (x^{2} - 3)$		HAAKJES WEG
$2 x^{2} - 4 = 4 x^{2} - 12$		MIN $2 x^{2}$ , PLUS 4
$2 x^{2} - 8 = 0$		DELEN DOOR 2
$x^{2} - 4 = 0$		ONTBINDEN
$(x - 2) (x + 2) = 0$
$x = 2$ of $x = ‐ 2$

$3 {(x + 1)}^{2} = x^{2} + 3$		HAAKJES WEG
$3 x^{2} + 6 x + 3 = x^{2} + 3$		MIN $x^{2}$ , MIN 3
$2 x^{2} + 6 x = 0$		DELEN DOOR 2
$x^{2} + 3 x = 0$		ONTBINDEN
$x (x + 3) = 0$
$x = 0$ of $x = ‐ 3$

$3 (4 - 3 x) + x^{2} = 4 x^{2}$		HAAKJES WEG
$12 - 9 x + x^{2} = 4 x^{2}$		MIN $x^{2}$ , PLUS $9 x$ , MIN 12
$3 x^{2} + 9 x - 12 = 0$		DELEN DOOR 3
$x^{2} + 3 x - 4 = 0$		ONTBINDEN
$(x + 4) (x - 1) = 0$
$x = ‐ 4$ of $x = 1$

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2}$
$2 x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} + 8 x + 16$
$x^{2} - 4 x - 12 = 0$
$(x - 6) (x + 2) = 0$
$x = 6$ of $x = ‐ 2$

De oplossingen zijn $x = ‐ 2$ en $x = 6$ . Maar omdat $x > 0$ moet zijn, vervalt de oplossing $x = ‐ 2$ . De korte rechthoekszijde is 6, de lange rechthoekszijde is 8 en de schuine zijde is 10.

$x (x + 7) = 260$
$x^{2} + 7 x - 260 = 0$
$(x + 20) (x - 13) = 0$
$x = ‐ 20$ of $x = 13$
Alleen $x = 13$ voldoet.

$5 x^{2} = 405$
$x^{2} = 81$
$x = 9$ of $x = ‐ 9$
Alleen $x = 9$ voldoet.

$6 x + 6 (x - 6) = 168$
$12 x - 36 = 168$
$12 x = 204$
$x = 17$

10s

$x^{2} + {(x + 1)}^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 3)}^{2} + {(x + 4)}^{2}$
$3 x^{2} + 6 x + 5 = 2 x^{2} + 14 x + 25$
$x^{2} - 8 x - 20 = 0$
$(x - 10) (x + 2) = 0$
$x = 10$ of $x = ‐ 2$
De kleinste positieve oplossing van de vijf opeenvolgende getallen is 10.

$x^{2} + {(x + 1)}^{2} + {(x + 2)}^{2} + {(x + 3)}^{2} = {(x + 4)}^{2} + {(x + 5)}^{2} + {(x + 6)}^{2}$
$4 x^{2} + 12 x + 14 = 3 x^{2} + 30 x + 77$
$x^{2} - 18 x - 63 = 0$
$(x - 21) (x + 3) = 0$
$x = 21$ of $x = ‐ 3$
De kleinste positieve oplossing van de zeven opeenvolgende getallen is 21.

11s

prijs per persoon: $25 - 0,50 \cdot 7 =$ € 21,50
totale prijs: $17 \cdot 21,50 =$ € 365,50

prijs per persoon: $25 - 0,5 (x - 10) = 30 - 0,5 x$
totale prijs: $x \cdot (30 - 0,5 x) = 30 x - 0,5 x^{2}$

$30 x - 0,5 x^{2} = 432$
$x^{2} - 60 x + 864 = 0$
$(x - 36) (x - 24) = 0$
$x = 36$ of $x = 24$
$x = 36$ voldoet niet, want $11 \leq x \leq 30$ , dus alleen $x = 24$ voldoet.

$h + 11$

$h (h + 11) = 210$
$h^{2} + 11 h - 210 = 0$
$(h + 21) (h - 10) = 0$
$h = ‐ 21$ of $h = 10$
Er zijn 10 honden en 21 katten.

$h (37 - h) = 210$
$37 h - h^{2} - 210 = 0$
$h^{2} - 37 h + 210 = 0$
$(h - 30) (h - 7) = 0$
$h = 30$ of $h = 7$
Er zijn 30 honden en 7 katten of 7 honden en 30 katten.

honden	1	2	3	5	6	7	10	14
katten	210	105	70	42	35	30	21	15
honden	15	21	30	35	42	70	105	210
katten	14	10	7	6	5	3	2	1

Opp. Berends $= x^{2}$
Opp. Ermers $= (x - 30) (x - 40)$

Vergelijking:
$x^{2} = 2 (x - 30) (x - 40)$
$x^{2} = 2 x^{2} - 140 x + 2400$
$x^{2} - 140 x + 2400 = 0$
$(x - 20) (x - 120) = 0$
$x = 20$ of $x = 120$

$x = 20$ voldoet niet, want dan wordt de lengte en breedte van het land van Ermers negatief.

Afmetingen Berends is 120 bij 120 meter.
Afmetingen Ermers is 90 bij 80 meter.

${(x + 6)}^{2} = 441$
$x + 6 = 21$ of $x + 6 = ‐ 21$
$x = 15$ of $x = ‐ 27$

Opp. kleine vierkant $= 441 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 81$
Zijde kleine vierkant $= \sqrt{81} = 9$ cm

$d = \sqrt{9^{2} + 9^{2}} = \sqrt{162}$ cm

Alles door elkaar

$x^{2} - 10 x + 9 = 0$		ONTBINDEN
$(x - 9) (x - 1) = 0$
$x = 9$ of $x = 1$

$5 x^{2} = 80$		DELEN DOOR 5
$x^{2} = 16$
$x = 4$ of $x = ‐ 4$

${(3 + x)}^{2} = 49$
$3 + x = 7$ of $3 + x = ‐ 7$		MIN 3
$x = 4$ of $x = ‐ 10$

$12 - 2 x = 2 x^{2}$		PLUS $2 x$ , MIN 12
$2 x^{2} + 2 x - 12 = 0$		DELEN DOOR 2
$x^{2} + x - 6 = 0$		ONTBINDEN
$(x + 3) (x - 2) = 0$
$x = ‐ 3$ of $x = 2$

$x + 2 = 64$		MIN 2
$x = 62$

${(x + 2)}^{3} = 64$
$x + 2 = 4$		MIN 2
$x = 2$