16.6 Merkwaardige producten >

Hoofdstukken > Haakjes

Voor alle getallen $a$ , $b$ en $c$ geldt:
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
Dit zijn de zogenaamde merkwaardige producten.

De producten krijgen extra aandacht, omdat er vaak fouten mee gemaakt worden.

Om te zien dat de drie gelijkheden juist zijn, hoef je alleen maar de haakjes uit te werken. Doe dat.

Het plaatje hoort bij het eerste merkwaardige product (voor positieve getallen $a$ en $b$ ).
Leg uit hoe je met het plaatje kunt begrijpen dat ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$3 {(x + 1)}^{2}$ , ${(3 x - 1)}^{2}$ en $(3 x + 1) (3 x - 1)$

${(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2}$ , ${(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ en ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$

De term merkwaardig komt van opmerkenswaardig: de moeite van het onthouden waard, zou je dat (vrij) kunnen vertalen. De drie merkwaardige producten zijn onder die naam pas eind negentiende eeuw in het onderwijs terecht gekomen.

Schrijf $a^{2} - (a + b) (a - b)$ zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

In de INTRO heb je de volgende gelijkheden ontdekt.
In opgave 1: $n^{2} - (n + 1) (n - 1) = 1$ ;
In opgave 2: $n^{2} - (n + 2) (n - 2) = 4$ ;
In opgave 3: $n^{2} - (n + 3) (n - 3) = 9$ .

Verklaar het bovenstaande met het resultaat van onderdeel a.

De merkwaardige producten worden vooral van rechts naar links gebruikt, dus als:

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$
$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Voorbeeld:

$x^{2} + 10 x + 25 = {(x + 5)}^{2}$
$x^{2} - 8 x + 16 = {(x - 4)}^{2}$
$x^{2} - 144 = (x - 12) (x + 12)$
$9 x^{2} + 12 x + 4 = (3 x + 2) (3 x + 2)$

Ga zelf maar na dat het klopt door (in gedachten) de haakjes weer weg te werken.

Schrijf op deze manier als kwadraat of als product van twee tweetermen.

$x^{2} + 16 x + 64$	$x^{2} - 16 x + 64$	$x^{2} - 64$
$x^{2} - 6 x + 9$	$x^{2} - 100$	$x^{2} - 12 x + 36$
$4 x^{2} + 12 x + 9$	$4 x^{2} - 12 x + 9$	$4 x^{2} - 9$
$100 x^{2} + 20 x y + y^{2}$	$100 x^{2} - 20 x y + y^{2}$	$100 x^{2} - y^{2}$