Op twee manieren

figuur 2

In figuur 1 zie je drie vierkanten, de okerkleurige hebben oppervlakte 100 en 36 cm². De blauwe heeft oppervlakte 64 cm².

figuur 1

De drie vierkanten worden op elkaar geplakt zoals in figuur 2.

Hoeveel cm² oker zie je nog in de geplakte figuur? Je kunt dit op twee manieren berekenen, met en zonder haakjes. Schrijf op hoe.

Twee blauwe vierkanten van 16 en 9 cm² worden op een oker vierkant van 100 cm² geplakt.
Hoe dat gedaan is, zie je in het plaatje.

Hoeveel cm² oker nog te zien is, kun je op twee manieren uitrekenen, met en zonder haakjes.
Schrijf de twee berekeningen op.

Gegeven zijn drie even brede stroken van lengte $A$ , $B$ en $C$ . Daaronder staat een strook van lengte $A + B + C$ .

Teken zo ook stroken van lengte:
$A + B - C$ ,
$A - B + C$ ,
$A - B - C$ ,
$A + (B + C)$ ,
$A + (B - C)$ ,
$A - (B + C)$ en
$A - (B - C)$

Welke van de bovenstaande stroken zijn gelijk?

In opgave 24 heb je een voorbeeld van de regel
$a - (b - c) = a - b + c$ gezien.

Controleer of die regel ook geldt voor $a = ‐ 3$ , $b = ‐ 7$ , $c = 10$ en voor $a = ‐ 3$ , $b = 8$ , $c = ‐ 11$ .

In opgave 25 heb je een voorbeeld van de regel
$a - (b + c) = a - b - c$ gezien.

Controleer of die regel ook geldt voor $a = ‐ 3$ , $b = ‐ 7$ , $c = 10$ en voor $a = ‐ 3$ , $b = 8$ , $c = ‐ 11$ .

$8500 - 1007$ kun je als volgt uitrekenen.
$8500 - 1007 = 8500 - (1000 + 7) = 8500 - 1000 - 7 = 7500 - 7 = 7493$

Reken ook zo uit, schrijf de tussenstappen op:
$8500 - 1003$
$8500 - 1010$
$8500 - (1000 + x)$

Bereken zo ook, met tussenstappen:
$8500 - 999 = 8500 - (1000 - 1) = 8500 - 1000 + 1 = \dots$
$8500 - 997$
$8500 - 990$
$8500 - (1000 - x)$

Opmerking:

• $getal - 103 = \dots$
Je kunt er eerst 100 van aftrekken en dan nog 3 aftrekken.
$getal - (100 + 3) = getal - 100 - 3$

• $getal - 97 = \dots$
Als je er 100 van aftrekt, heb je er 3 teveel afgetrokken, dus moet er nog 3 bij.
$getal - 97 = getal - 100 + 3$

Voor alle getallen $x$ , $a$ en $b$ geldt:
$x - (a + b) = x - a - b$

$x - (a - b) = x - a + b$

In een bus zitten 30 mensen.
Bij een halte stappen 10 mensen uit de bus, bij de volgende stappen er 5 uit en bij de halte daarna stappen er 8 uit. Het aantal dat er nog in de bus zit kun je op twee manieren berekenen.
$30 - (10 + 5 + 8)$ en $30 - 10 - 5 - 8$ .

Schrijf de berekening ook op twee manieren als er eerst $a$ uitstappen, dan $b$ en ten slotte $c$ .

In het vorige onderdeel heb je gezien: $30 - (a + b + c) = 30 - a - b - c$ . Daar waren de getallen $a$ , $b$ en $c$ positief.

Ga na dat de regel ook klopt voor $a = ‐ 3$ , $b = 5$ en $c = ‐ 7$ .

Als er 5 uitstappen, 3 instappen en ten slotte 10 uitstappen, wat stelt $5 - 3 + 10$ dan voor?

Het aantal mensen dat nog in de bus zit, kun je op twee manieren berekenen:
$30 - (5 - 3 + 10)$ en $30 - 5 + 3 - 10$ .

Als er $a$ uitstappen, $b$ instappen en $c$ uitstappen, schrijf het aantal mensen dat nog in de bus zit op twee manieren, met en zonder haakjes.

Ga na of de regel $30 - (a - b + c) = 30 - a + b - c$ klopt als $a = ‐ 20$ , $b = 5$ en $c = ‐ 15$ .

Neem de tabel over en vul hem verder in.

$x$	$a$	$b$	$c$	$x - (a - b - c)$	$x - a + b + c$
1	2	3	4
-1	5	-3	-4
5		1	2	7
-1	1	-2			-6

Tegengestelde

Ali en Ben spelen niets liever dan spelletjes tegen elkaar. Ali houdt het verloop van de spelletjes bij. In de eerste regel staat het verloop van het volgende spel: Ali verliest eerst 2 (knikkers), vervolgens wint hij 3, verliest daarna 5 en wint daarna 2. Dan wint Ben eerst 2, verliest dan 3, wint 5 en verliest ten slotte 2.
In de tweede regel staat het verloop van het tweede spel.

Wat moet er in de tweede regel bij Ben staan?

En in de derde regel?

Wat krijg je als de twee getallen van Ali en Ben in een regel optelt?

Neem de tabel over en vul hem verder in.

De getallen $a$ en $b$ hoeven niet postief te zijn. Vul maar eens voor $a = ‐ 3$ en voor $b = ‐ 7$ in.

Reken uit wat er in de tweede regel bij Ali en Ben uitkomt. En ook in de derde regel.

Herhaling
Twee getallen zijn tegengesteld als ze opgeteld 0 zijn.
Het tegengestelde van $a$ noteren we met $‐ a$ .
Een getal en zijn tegengestelde liggen symmetrisch om 0 op de getallenlijn.

Schrijf zonder haakjes.
$‐ (2 + a - 2 b)$
$‐ (2 a + b - 2 c)$
$‐ (‐ a + ‐ b - c)$

Op de getallenlijn

figuur 1

Op de getallenlijn in figuur 1 zijn 0, 2 en $x$ aangegeven.

Neem de getallenlijn over en teken zo nauwkeurig mogelijk:
$x + 2$ , $‐ (x + 2)$ , $‐ x + 2$ , $‐ (‐ x + 2)$ .
Geef aan hoe je dat gedaan hebt.

figuur 2

Op de getallenlijn in figuur 2 zijn 0, 2 en $y$ aangegeven.

Neem de getallenlijn over en teken zo nauwkeurig mogelijk:
$y + 2$ , $‐ (y + 2)$ , $‐ y + 2$ , $‐ (‐ y + 2)$ .
Hoe doe je dat?

Geef op de getallenlijn op het werkblad aan:
$‐ x$ , $‐ y$ , $x + y$ , $x + ‐ y$ , $x - y$ , $‐ (x + y)$ , $‐ x + ‐ y$ .
Geef aan hoe je dat gedaan hebt, gebruik eventueel meer dan één getallenlijn.

Joris en Corien zijn aan het knikkeren. Samen hebben ze 54 knikkers. Als ze beginnen heeft Joris er $x$ .

Hoeveel heeft Corien er dan? (Uitdrukken in $x$ .)

Joris heeft pech: hij verliest $y$ knikkers aan Corien.

Hoeveel knikkers heeft Joris nu?

Druk het aantal knikkers dat Corien nu heeft op twee manieren uit in $x$ en $y$ : met haakjes en zonder haakjes.

Welke gelijkheid heb je gevonden voor de getallen $x$ en $y$ ?

Trek af = Tel het tegengestelde erbij op

Wat is juist?

$(3 - 5) + (‐ 7 + ‐ 3) = 3 - 5 + ‐ 7 + ‐ 3$

$(3 - 5) - (7 - 3) = 3 - 5 - 7 - 3$

$(‐ 3 - 5) + (‐ 7 - 3) = ‐ 3 - 5 + ‐ 7 - 3$

$(‐ 3 + 5) + (7 - 3) = ‐ 3 + 5 + 7 - 3$

Als je iets van de vorm $(\dots) + (\dots)$ uit moet rekenen, kun je de haakjes weglaten.

Bij $(\dots) - (\dots)$ kun je de haakjes niet zomaar weglaten.

In opgave 36 zie je hier een voorbeeld van.
We gaan eens kijken hoe je $(\dots) - (\dots)$ zonder haakjes kunt schrijven.

Bekijk het volgende voorbeeld.
$100 - (10 - 1) = 100 + (‐ 10 + 1) = 100 + ‐ 10 + 1 = 91$
Behandel zo ook (neem over en vul in):
$100 - (‐ 3 + 10) = 100 + (\dots + \dots) = 100 + \dots + \dots = \dots$
$100 - (‐ 8 + 7) = 100 + (\dots + \dots) = 100 + \dots + \dots = \dots$
$100 - (8 - 17) = 100 + (\dots + \dots) = 100 + \dots + \dots = \dots$
$100 - (‐ 8 + ‐ 17) = 100 + (\dots + \dots) = 100 + \dots + \dots = \dots$
$100 - (a + b) = 100 + (\dots + \dots) = 100 + \dots + \dots = \dots$
$100 - (a - b) = 100 + (\dots + \dots) = 100 + \dots + \dots = \dots$

14s

15s

In een magisch vierkant zijn de drie rijsommen, de drie kolomsommen en de twee diagonaalsommen aan elkaar gelijk: dat getal is de magische som. Van het hier afgebeelde $3 \times 3$ -magisch vierkant zijn drie getallen ingevuld.
Welk getal moet er op de plaats van het vraagteken staan?

In hoofdstuk 9 heb je gezien: er iets van aftrekken is hetzelfde als het tegengestelde erbij optellen.

Dat gebruiken we in de volgende voorbeelden om haakjes weg te werken.

Voorbeeld:

Zie ook de busopgave 29: $30 - (a - b + c) = 30 + (‐ a + b - c) = 30 - a + b - c$ .

Of wat in de tabel van opgave 30 te zien is: $x - (a - b - c) = x + (‐ a + b + c) = x - a + b + c$ .

Voorbeeld
Kijk in het volgende heel precies welke stappen gemaakt worden.

$(a - b + 2 c)$	$+$	$(2 a - 3 b - 2 c) =$	haakjes weglaten, het is een optelling
$a - b + 2 c$	$+$	$2 a - 3 b - 2 c =$	vereenvoudigen
$3 a - 4 b$

$‐ (a - b + 2 c)$	$+$	$(2 a - 3 b - 2 c) =$	tegengestelde nemen
$‐ a + b - 2 c$	$+$	$(2 a - 3 b - 2 c) =$	haakjes weglaten, het is een optelling
$‐ a + b - 2 c$	$+$	$2 a - 3 b - 2 c =$	vereenvoudigen
$a - 2 b - 4 c$

$(a - b + 2 c)$	$-$	$(2 a - 3 b - 2 c) =$	aftrekken = het tegengestelde erbij optellen
$(a - b + 2 c)$	$+$	$‐ (2 a - 3 b - 2 c) =$	tegengestelde nemen
$(a - b + 2 c)$	$+$	$(‐ 2 a + 3 b + 2 c) =$	haakjes weglaten, het is een optelling
$a - b + 2 c$	$+$	$‐ 2 a + 3 b + 2 c =$	vereenvoudigen
$‐ a + 2 b + 4 c$

$\dots - (\dots)$ schrijf je zó zonder haakjes.

Maak er een optelling van volgens de regel: aftrekken = het tegengestelde erbij optellen.
Nu kun je de haakjes weglaten.

Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.
$‐ (‐ a - 2 b - 2 c) + (2 a - 3 b - 2 c)$
$‐ (‐ a - 2 b - 2 c) - (2 a - 3 b - 2 c)$
$(‐ a + 2 b - 2 c) - (‐ 2 a - 3 b + 2 c)$

Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$3 a + (a + 2)$	$20 - (x + 1)$
$‐ 3 a - (a - 2)$	$2 x - (x - 1)$
$3 a + (‐ a + 2)$	$2 x - (3 x - 5)$
$‐ 3 a + (‐ a - 2)$	$3 x - (3 x - 5)$

Voorbeeld:

$2 x - 2 (x + 5) = 2 x + ‐ 2 (x + 5) = 2 x + ‐ 2 x + ‐ 10 = ‐ 10$
of korter:
$2 x - 2 (x + 5) = 2 x - 2 x - 10 = ‐ 10$

Schrijf zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

$3 (x + 5)$	$3 (x + 5) + 5 (x - 3)$
$5 (x + 5) - 3 (x + 2)$	$5 (x + 5) - 3 (x - 5)$

Schrijf zonder haakjes.

${(5 x)}^{2} =$	$3 {(5 x)}^{2} =$
${(3 \cdot 5 x)}^{2} =$	$5 {(‐ 2 x)}^{2} =$
$5 {(‐ x)}^{2} =$	$‐ 5 \cdot ‐ x^{2} =$

Schrijf zonder haakjes.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x - \frac{3}{4})$	$‐ \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x - \frac{3}{4})$
$‐ \frac{1}{2} (‐ \frac{2}{3} x - \frac{3}{4})$	$‐ \frac{1}{2} (‐ \frac{2}{3} x + \frac{3}{4})$

figuur 1

In figuur 1 zie je twee vierkanten. Het linker vierkant is 4 bij 4 hokjes en telt dus 16 hokjes. Door een aantal hokjes te kleuren, is in dit vierkant de letter Z aangeven.

Een mooiere letter Z krijg je als je begint met een vierkant van 8 bij 8 hokjes. Dan bestaat het vierkant uit 64 hokjes. Op deze manier worden op het scherm van een computer letters en cijfers aangegeven.

Hoeveel hokjes blijven er wit als je op deze manier de letter Z aangeeft in een vierkant van 8 bij 8 hokjes?
En in een vierkant van 32 bij 32 hokjes?

Het aantal hokjes dat wit blijft als je de letter Z aangeeft in een vierkant, kun je op twee manieren berekenen.

Je berekent het totaal aantal hokjes en trekt daar het aantal gekleurde hokjes van af.
Je let niet op de bovenste en de onderste rij van het vierkant; dat zijn allemaal gekleurde hokjes. Dan doe je: aantal rijen maal aantal witte hokjes per rij.

Bereken op deze twee manieren het aantal hokjes dat wit blijft in een vierkant van 64 bij 64 hokjes.

figuur 2

In een vierkant van $n$ bij $n$ hokjes de letter Z aangegeven, zie figuur 2.

Schrijf op de twee manieren het aantal hokjes op dat wit blijft. Laat haakjes in je antwoord gewoon staan.

Welke gelijkheid vind je?

Werk de haakjes uit en controleer of de gelijkheid klopt.