Machten

Waarvan is $3^{7}$ de verkorte schrijfwijze?

Leg uit dat $3^{2} \cdot 3^{6} = 3^{8}$ .

Vul de juiste getallen in.
$3^{5} \cdot 3^{7} = 3^{.....}$
$3^{4} \cdot 3^{8} = 3^{.....}$
$3^{5} \cdot 3^{6} = 3^{.....}$
$3^{4} \cdot 3 = 3^{.....}$

Vul de juiste getallen in.
$3 \cdot 3^{5} \cdot 3^{7} = 3^{.....}$
$3^{3} \cdot 3^{4} \cdot 3^{8} = 3^{.....}$
$3^{4} \cdot 3^{5} \cdot 3^{6} = 3^{.....}$
$3^{4} \cdot 3 \cdot 3^{3} = 3^{.....}$

Zijn $3^{5}$ en $5^{3}$ hetzelfde?

$3^{5}$ kun je op verschillende manieren uitspreken.

de vijfde macht van 3, of
3 tot de macht vijf, of
3 tot de vijfde.

De getallen 3 en 5 in deze macht hebben een verschillende betekenis: 3 noemen we het grondtal en 5 noemen we de exponent.

Schrijf als macht en bereken de uitkomst:
twee tot de zevende,
zeven tot de tweede,
vier tot de vijfde,
vijf tot de vierde.

Zeven tot de tweede noemen we meestal anders. Hoe?

Schrijf de macht op met 6 als grondtal en 4 als exponent. Bereken die macht.

Bereken alle derdemachten die kleiner zijn dan 300.

Bereken alle vierdemachten die kleiner zijn dan 300.

Bereken alle vijfdemachten die kleiner zijn dan 300.

Schrijf 64 als macht van 2.
Schrijf 64 ook als macht van 4.
En schrijf 64 als macht van 8.

Schrijf 1000 als derdemacht.
Schrijf 8 als derdemacht.
Schrijf nu 8000 als derdemacht.

Het grondtal hoeft niet geheel te zijn, bijvoorbeeld
${(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{8}{27}$ .

Bereken:

${(\frac{2}{5})}^{3}$	${(0,1)}^{4}$	${(\frac{3}{4})}^{3}$
${(1,1)}^{3}$	${(\frac{2}{3})}^{4}$	${(0,2)}^{4}$

Het grondtal kan ook negatief zijn.

Bereken:

${(‐ 3)}^{4}$

${(‐ 2)}^{3}$

${(‐ 1)}^{40}$

Bekijk de vier rijen getallen. Elke rij begint met 1. De eerste rij is gemaakt door herhaald met 2 te vermenigvuldigen. 2 is het grondtal van de rij: de rij getallen is "gegrond" op het getal 2. In het Engels spreekt men van "base" (basis): de rij is "gebaseerd" op 2.
Van de andere drie rijen zijn de grondtallen 3, 4 en 5.

René Descartes
1596-1650

De term grondtal is in Nederland ingeburgerd in de achttiende eeuw. De exponent noemde men toen de "aanwijzer", maar dat woord wordt tegenwoordig niet meer gebruikt. Vóór de zeventiende eeuw schreef men $a$ $a$ $a$ $a$ $a$ meestal voluit voor $a^{5}$ .
De afkorting (waarbij dus de exponent klein, rechtsboven het grondtal wordt geschreven) stamt van de Franse wiskundige René Descartes. De Britten wilden de Franse notatie niet overnemen en zijn lang $a$ $a$ $a$ $a$ $a$ blijven schrijven in plaats van $a^{5}$ (tot in de achttiende eeuw). Je ziet dat de notatie die wij gebruiken nog niet zo oud is.

De hoofdeigenschap

Vul de juiste exponenten in; $n$ en $m$ zijn positieve gehele getallen. Maak de sommen van links naar rechts.

$2^{2} \cdot 2^{6} = 2^{...}$	$2^{5} \cdot 4 = 2^{...}$
$3^{2} \cdot 3^{6} = 3^{...}$	$3^{2} \cdot 27 = 3^{...}$
$5^{2} \cdot 5^{3} = 5^{...}$	$5^{2} \cdot 25 = 5^{...}$

$10^{3} \cdot 10^{3} = 10^{...}$	$10^{11} \cdot 10.000 = 10^{...}$
$10^{n} \cdot 10^{3} = 10^{...}$	$10^{n} \cdot 100 = 10^{...}$
$10^{n} \cdot 10^{m} = 10^{...}$	$10^{n} \cdot 10 = 10^{...}$

${(\frac{1}{2})}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{...}$

${(\frac{3}{4})}^{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{7} = {(\frac{3}{4})}^{...}$

Hoofdeigenschap voor het rekenen met machten
Voor alle getallen $a$ en alle positieve gehele getallen $m$ en $n$ geldt:
$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$ .

Als je $a^{0}$ betekenis wil geven, en je wilt dat de hoofdeigenschap ook voor $n = 0$ geldt, dan moet dus $a^{0} \cdot a^{m} = a^{m}$ , dus moet je $a^{0} = 1$ nemen, net zoals we dat eerder al voor $2^{0}$ gedaan hebben.

We spreken voor alle getallen $a$ af: $a^{0} = 1$ .

Macht van een macht

${(2^{3})}^{2} = 2^{3} \cdot 2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{6}$

Schrijf zo ook als een macht van 2:

${(2^{3})}^{3}$

${(2^{3})}^{4}$

${(2^{4})}^{0}$

Schrijf zo ook als een macht van 3:

${(3^{2})}^{3}$

${(3^{3})}^{4}$

${(3^{4})}^{0}$

Er geldt: $32 = 2^{5}$ , dus $32^{3} = {(2^{5})}^{3} = 2^{15}$ .
Schrijf als macht van 2, 3 of $a$ . Werk van links naar rechts.

$16^{10}$	$32^{10}$
$9^{10}$	$27^{15}$
$4^{11}$	$8^{15}$
${(a^{p})}^{3}$	${(a^{p})}^{q}$

$a$ is willekeurig; $p$ en $q$ zijn positief en geheel.

Schrijf 64 als macht van 2, van 4 en van 8.

Schrijf $64^{3}$ als macht van 2, van 4 en van 8.

Van een getal $f$ weten we $f^{4} = 25$ .
Welk getallen zijn $f^{8}$ , $f^{2}$ en $f^{6}$ ?
Leg je antwoorden uit.

Macht van een macht

Voor alle getallen $a$ en positieve gehele getallen $p$ en $q$ geldt: ${(a^{p})}^{q} = a^{p q}$ .

Machten delen

Neem over en vul de juiste getallen in: $3 \cdot ... = 36$ dus $36 : 3 = ...$ .

Neem over en vul steeds het juiste getal in:
$3^{4} \cdot 3^{...} = 3^{10}$ , dus $3^{10} : 3^{4} = 3^{...}$
$3^{4} \cdot 3^{...} = 3^{12}$ , dus $3^{12} : 3^{4} = 3^{...}$
$3^{2} \cdot 3^{...} = 3^{12}$ , dus $3^{12} : 3^{2} = 3^{...}$
$3^{20} \cdot 3^{...} = 3^{40}$ , dus $3^{40} : 3^{20} = 3^{...}$

Schrijf de uitkomsten van de delingen als macht van 3:

$3^{40} : 3^{10} = 3^{...}$	$3^{40} : 3^{5} = 3^{...}$
$3^{40} : 3^{40} = 3^{...}$	$3^{40} : 3^{30} = 3^{...}$

Schrijf de uitkomsten van de delingen als macht van $\frac{1}{2}$ :

${(\frac{1}{2})}^{40} : {(\frac{1}{2})}^{10} = {(\frac{1}{2})}^{...}$	${(\frac{1}{2})}^{40} : {(\frac{1}{2})}^{15} = {(\frac{1}{2})}^{...}$
${(\frac{1}{2})}^{40} : {(\frac{1}{2})}^{30} = {(\frac{1}{2})}^{...}$	${(\frac{1}{2})}^{40} : {(\frac{1}{2})}^{40} = {(\frac{1}{2})}^{...}$

Machten delen

Voor alle getallen $a$ die niet 0 zijn en alle positieve gehele getallen $m$ en $n$ met $m > n$ geldt: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ .

Machten van breuken

Machten van 2

$2^{0}$	$2^{1}$	$2^{2}$	$2^{3}$	$2^{4}$	$2^{5}$	$2^{6}$	$2^{7}$
1	2	4	8	16	32	64	128

Machten van 3

$3^{0}$	$3^{1}$	$3^{2}$	$3^{3}$	$3^{4}$	$3^{5}$	$3^{6}$	$3^{7}$
1	3	9	27	81	243	729	2187

Hierboven staan twee tabellen, een met machten van 2 en een met machten van 3. Die kun je goed gebruiken in de volgende opgave.

Er geldt: ${(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2^{3}}{3^{3}}$ .
Volgens de tabellen hierboven is dit $\frac{8}{27}$ .
Dus ${(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = \frac{8}{27}$ .

Bereken zo ook met de tabellen:

${(\frac{2}{3})}^{4}$	${(\frac{3}{2})}^{5}$
${(\frac{2}{3})}^{6}$	${(\frac{3}{2})}^{7}$

Bereken met de tabellen:

${0,3}^{6}$	${0,2}^{7}$
${(\frac{1}{3})}^{7}$	${(\frac{10}{3})}^{6}$

Macht van een breuk

Voor alle gehele getallen (niet 0) $a$ en $b$ en alle positieve gehele getallen $n$ geldt: ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ .

Machten met dezelfde exponent

Bereken:

$2^{2} \cdot 5^{2}$

$2^{3} \cdot 5^{3}$

$2^{4} \cdot 5^{4}$

Je krijgt steeds machten van 10. Je kunt dat goed als volgt begrijpen:
$2^{2} \cdot 5^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 10 \cdot 10 = 10^{2}$ .

Leg zo ook uit dat $2^{3} \cdot 5^{3} = 10^{3}$
en dat ${0,2}^{3} \cdot 10^{3} = 2^{3}$ .

Vul het passende grondtal in.

$2^{5} \cdot 3^{5} = {(...)}^{5}$	$20^{6} \cdot {0,1}^{6} = {(...)}^{6}$
${(\frac{1}{9})}^{5} \cdot 3^{5} = {(...)}^{5}$	$20^{7} \cdot {(\frac{1}{4})}^{7} = {(...)}^{7}$

Bereken:

${(\frac{1}{9})}^{3} \cdot 3^{3}$	${(\frac{1}{9})}^{3} \cdot 3^{4}$
${(\frac{1}{9})}^{3} \cdot 3^{5}$	${(\frac{1}{9})}^{3} \cdot 3^{6}$
${(\frac{1}{2})}^{10} \cdot 2^{10}$	${(\frac{1}{4})}^{4} \cdot {(\frac{2}{3})}^{4}$

12s

13s

Bereken handig; schrijf een tussenstap op:

$2^{5} \cdot 5^{5}$	$2^{5} \cdot 5^{6}$
${(\frac{1}{9})}^{30} \cdot 9^{30}$	${(\frac{1}{9})}^{30} \cdot 9^{31}$
${(\frac{1}{2})}^{10} \cdot 2^{10}$	${(\frac{1}{2})}^{10} \cdot 20^{10}$
${(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 2^{10}$	${(\frac{1}{2})}^{10} \cdot 2^{5}$

Machten met dezelfde exponent vermenigvuldigen

Voor alle getallen $a$ en $b$ en alle positieve gehele getallen $m$ geldt: $a^{m} \cdot b^{m} = {(a \cdot b)}^{m}$ .

Oefenen: alles door elkaar

Bereken:

${0,1}^{3}$	$10^{6}$	${(\frac{4}{5})}^{3}$
$3^{4} \cdot 10^{6}$	$8^{0}$	${(‐ 1)}^{10}$
$6^{0} \cdot 0^{6}$	$6^{1} \cdot 1^{6}$	$3^{30} \cdot {(\frac{1}{2})}^{30}$

Vul de juiste getallen in.

$2^{3} \cdot 3^{3} = {(...)}^{3}$	$2^{4} \cdot 2^{3} = 2^{...}$
$2^{4} : 2^{3} = 2^{...}$	$2^{40} : 2^{30} = 2^{...}$
$2^{40} : 2^{40} = 2^{...}$	$2^{10} \cdot 3^{10} = 6^{...}$

14s

15s

Er geldt: $2^{12} = 4096$ .

Is 4096 een kwadraat, een derdemacht, een vierdemacht, een vijfdemacht?
Zo ja, van welke getallen?

Schrijf de antwoorden van de volgende sommen als macht van 2 en ook als macht van 4.

$4096 \cdot 4$	$4096 \cdot \frac{1}{4}$
$4096 \cdot {(\frac{1}{2})}^{6}$	$4096 \cdot {(\frac{1}{4})}^{6}$

Bereken:

$4^{6} : 4^{7} \cdot 4^{3} = 4^{...}$	$81^{6} = 3^{...}$	$27^{5} \cdot 9^{4} = 3^{...}$
$2^{20} : 4^{5} \cdot 8^{2} = 2^{...}$	${(2^{3} \cdot 2^{...})}^{2} = 2^{30}$	$100^{p} \cdot 10.000 = 10^{...}$
$100^{2} \cdot {(‐ 10)}^{4} = 10^{...}$	$1000^{p} : 10^{a} = 10^{...}$

Lijst met oppervlaktematen

1 km²	$= 10^{2}$ hm²	1 m²	$= 10^{2}$ dm²
1 hm²	$= 10^{2}$ dam²	1 dm²	$= 10^{2}$ cm²
1 dam²	$= 10^{2}$ m²	1 cm²	$= 10^{2}$ mm²

Bekijk de lijst met oppervlaktematen en vul de juiste machten van 10 in (van links naar rechts).

1 km²	$= .....$ dam²	10 km²	$= .....$ dam²
1 km²	$= .....$ m²	10 km²	$= .....$ m²
1 m²	$= .....$ cm²	10 m²	$= .....$ cm²

Iemand heeft met zijn rekenmachine uitgerekend dat
$2^{26} = 67.108.864$ .
Bereken zonder rekenmachine $2^{27}$ en $2^{25}$ .