priemgetal

Een positief getal dat je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen, noemen we een priemgetal. Het getal 1 neemt een uitzonderingspositie in: we spreken af dat 1 geen priemgetal is.

ontbinden in factoren

Een veelterm schrijven als product van factoren, heet ontbinden in factoren.

Voorbeelden
$x^{2} + 4 x = x (x + 4)$
$x^{2} - 4 x - 21 = (x + 3) (x - 7)$
$x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2}$

voorrangsregels

Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en vóór het tegengestelde nemen.

Dus:	$2 x^{2} = 2 \cdot x \cdot x$
	$‐ x^{2} = ‐ (x \cdot x)$

systematisch oplossen

Soms kun je een vergelijking ontbinden in factoren. In dat geval kun je de vergelijking oplossen met de regel: een product is 0 als minstens één van de factoren 0 is. Voordat je kunt ontbinden in factoren, moet je vaak een aantal bewerkingen uitvoeren, zoals:

op nul herleiden,
haakjes uitwerken,
termen rangschikken,
delen door een getal.

Voorbeeld
${(x + 3)}^{2} = ‐ {(x - 1)}^{2} + 58$
$x^{2} + 6 x + 9 = ‐ x^{2} + 2 x - 1 + 58$
$2 x^{2} + 4 x - 48 = 0$
$x^{2} + 2 x - 24 = 0$
$(x + 6) (x - 4) = 0$
$x = ‐ 6$ of $x = 4$

Controle:
${(x + 3)}^{2} = {(‐ 3)}^{2} = 9$ en $‐ {(x - 1)}^{2} + 58 = ‐ 49 + 58 = 9$
${(x + 3)}^{2} = 7^{2} = 49$ en $‐ {(x - 1)}^{2} + 58 = ‐ 3^{2} + 58 = 49$

Voorbeeld
We lossen de vergelijking $(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) = 0$ op. Er zijn twee mogelijkheden:
Of $x^{2} = 4$ , dus $x = 2$ of $x = ‐ 2$ ,
of $x^{2} = ‐ 9$ , maar dat kan niet.
De vergelijking heeft dus twee oplossingen: 2 en $‐ 2$ .

product is 0

Als het product van twee getallen nul is, dan is het ene getal nul of is het andere getal nul.

In algebrataal
Als $a \cdot b = 0$ , dan $a = 0$ of $b = 0$ .

Een dergelijke uitspraak geldt ook voor het product van drie of meer factoren dat nul is.

Distributiewetten

Voor alle getallen $a$ , $b$ en $c$ geldt:

$a (b + c) = a b + a c$
$a (b - c) = a b - a c$

Product van tweetermen
Voor alle getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ geldt:

$(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$

Merkwaardige producten
Voor alle getallen $a$ en $b$ geldt:

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

vergelijkingen opstellen

Een rechthoek heeft oppervlakte 21; zijn lengte is 4 groter dan zijn breedte. Wat zijn de afmetingen?

Noem de breedte $x$ .
We krijgen dan de vergelijking: $x (x + 4) = 21$
Deze vergelijking heeft twee oplossingen: $‐ 7$ en 3.
De oplossing $‐ 7$ kan niet omdat lengte en breedte allebei positief moeten zijn. De breedte van de rechthoek is dus 3 en de lengte 7.

de graad van een vergelijking

De vergelijking $5 x = x^{2} + 4 x - 12$ is een tweedegraads vergelijking: de hoogste macht van $x$ in deze vergelijking is 2. Er zijn ook derde-, vierde- of tiendegraads vergelijkingen. De vergelijking $5 (x + 3) = 2 x - 5$ is een eerstegraads vergelijking.