19.5 Oplossen en opstellen van vergelijkingen >

We kunnen nu beginnen aan het systematisch oplossen van vergelijkingen. Er zijn twee belangrijke stappen:

herleiden op 0,
ontbinden in factoren.

In de volgende opgaven wordt het oplossen van vergelijkingen steeds moeilijker. We beginnen met eenvoudige vergelijkingen die je alleen hoeft te ontbinden en we eindigen met vergelijkingen waarbij je eerst haakjes moet uitwerken, voordat je op nul herleidt en dan pas ontbindt in factoren.
Lees eerst het voorbeeld goed door voordat je begint aan de opgave.

Oplossen van eenvoudige vergelijkingen

Voorbeeld

Los op:

$x^{2} + 4 x - 21 = 0$	ontbinden in factoren
$(x - 3) (x + 7) = 0$
$x = 3$ of $x = ‐7$

Controle:	$x^{2} + 4 x - 21 = 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21 = 9 + 12 - 21 = 0$
	$x^{2} + 4 x - 21 = {(‐7)}^{2} + 4 \cdot ‐7 - 21 = 49 - 28 - 21 = 0$

Los de volgende vergelijkingen op.

$x^{2} - 5 x - 24 = 0$	$x^{2} + 10 x = 0$
$x^{2} - 6 x + 8 = 0$	$x^{2} - 5 x = 0$

Wil je meer vergelijkingen oplossen zoals in opgave 36, maak dan volgende miniloco.
Het teken $\lor$ in de miniloco is het wiskundig symbool voor "en/of".

Gerd heeft een getal in gedachten. Als hij daarvan het kwadraat neemt en daar drie keer het getal bij optelt is zijn uitkomst nul.
Noem het getal dat Gerd in gedachten heeft $x$ .

Stel een vergelijking op in $x$ en bereken daarmee welk getal Gerd in gedachten had.

Janneke heeft ook een getal in gedachten. Als zij van dat getal het kwadraat neemt en daarbij zeven maal het getal optelt en vervolgens 18 afhaalt komt zij ook uit op nul.
Noem het getal dat Janneke in gedachten heeft $y$ .

Stel een vergelijking op in $y$ en bereken daarmee welk getal Janneke in gedachten had.

Bij het oplossen van vergelijkingen beginnen we steeds met herleiden op nul: het rechter- of linkerlid maken we 0.
Het is handig de termen te rangschikken: voorop de term met $x^{2}$ , dan de term met $x$ , dan het getal zonder $x$ .
We ontbinden het linker- of rechterlid in factoren: we schrijven het als product.
We controleren de oplossing(en).

Vergelijkingen waarbij je eerst moet herleiden op 0

Voorbeeld

Los op:

$x^{2} + 10 x = ‐ 16$	herleiden op 0 (plus 16)
$x^{2} + 10 x + 16 = 0$	ontbinden in factoren
$(x + 2) (x + 8) = 0$
$x = ‐ 2$ of $x = ‐ 8$

Controle:	$x^{2} + 10 x = {(‐2)}^{2} + 10 \cdot ‐2 = 4 - 20 = ‐ 16$
	$x^{2} + 10 x = {(‐8)}^{2} + 10 \cdot ‐8 = 64 - 80 = ‐ 16$

Los de volgende vergelijkingen op.

$x^{2} + 6 x = 16$	$x^{2} - 5 x = 6$
$x^{2} = 8 x$	$x^{2} + 16 = 8 x$

De kamer van Maaike is vierkant. Er loopt een balkon langs dat even lang is als haar kamer. Het balkon is 2 meter breed. De oppervlakte van de kamer en het balkon samen is 24 vierkante meter.
Noem de breedte van de kamer $x$ .

Stel een vergelijking op in $x$ .

Bepaal $x$ .

Als het goed is, heb je een positieve en een negatieve waarde voor $x$ gevonden, namelijk $4$ en $‐ 6$ .
Omdat het om een lengte gaat, vervalt het antwoord $x = ‐6$ .
De conclusie is dat alleen het antwoord $x = 4$ voldoet aan de vraag.
De afmetingen van de kamer zijn 4 bij 4 meter.

De plattegrond van een lokaal heeft een totale oppervlakte van 181 m². De maten in het plaatje zijn in meters.

Stel een vergelijking op voor $x$ en bereken hoe groot $x$ is.

Voorbeeld

Los op:

$x^{2} = 5 x - 4$	herleiden op 0 (min $5 x$ , plus 4)
$x^{2} - 5 x + 4 = 0$	ontbinden in factoren
$(x - 4) (x - 1) = 0$
$x = 4$ of $x = 1$

Controle:	$x^{2} = 4^{2} = 16$ en $5 x - 4 = 5 \cdot 4 - 4 = 16$
	$x^{2} = 1^{2} = 1$ en $5 x - 4 = 5 \cdot 1 - 4 = 1$

Los de volgende vergelijkingen op.

$x^{2} = 2 x - 1$	$12 - 4 x = x^{2}$
$x^{2} = 12 - 11 x$	$5 x + 14 = x^{2}$

Vergelijkingen met haakjes

Soms moet je eerst de haakjes uitwerken, voordat je op nul herleidt en ontbindt in factoren.

Voorbeeld

Los op:

$(x + 1) (x + 3) = 1 - x^{2}$	haakjes uitwerken
$x^{2} + 4 x + 3 = 1 - x^{2}$	herleiden op 0 (plus $x^{2}$ , min 1)
$2 x^{2} + 4 x + 2 = 0$	delen door 2
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$	ontbinden in factoren
$(x + 1) (x + 1) = 0$
$x = ‐ 1$

Controle:

$(x + 1) (x + 3) = 0 \cdot 2 = 0$ en $1 - x^{2} = 1 - {(‐1)}^{2} = 1 - 1 = 0$

Los de volgende vergelijkingen op.

$x^{2} + 5 = 3 (x + 1)$	$2 (x^{2} - 2) = 4 (x^{2} - 3)$
$3 {(x + 1)}^{2} = x^{2} + 3$	$3 (4 - 3 x) + x^{2} = 4 x^{2}$

Wil je meer oefenen met het systematisch oplossen van vergelijkingen, ga naar de site van WisWeb en kies Vergelijkingen, kwadratisch of Vergelijkingen, kwadratisch toets.
Kies niveau 3, 4 of 5.

Van een rechthoekige driehoek zijn de zijden $x$ , $x + 2$ en $x + 4$ .

Stel een vergelijking op voor $x$ (stelling van Pythagoras).

Bepaal $x$ .

Wat zijn de afmetingen van de rechthoekige driehoek?

We bekijken drie terrassen, betegeld met vierkante tegels. In de plaatjes is aangegeven hoeveel tegels er langs de randen liggen.
Terras a is betegeld met 260 tegels, terras b met 405 tegels en terras c met 168 tegels.
Stel bij elk van de terrassen een vergelijking op voor $x$ en los die vergelijking op.

10s

Zoals je weet, geldt $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ .
Voor welke vijf opeenvolgende positieve getallen geldt: $\dots^{2} + \dots^{2} + \dots^{2} = \dots^{2} + \dots^{2}$ ? Dus de som van de kwadraten van de eerste drie getallen is gelijk aan de som van de kwadraten van de laatste twee getallen.
Als $x$ het kleinste getal is, krijg je de vergelijking $x^{2} + {(x + 1)}^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 3)}^{2} + {(x + 4)}^{2}$ .

Los deze vergelijking op en bereken daarmee $x$ .

Wat is het kleinste positieve getal van zeven opeenvolgende getallen, waarvan de som van de kwadraten van de kleinste vier getallen gelijk is aan de som van de kwadraten van de grootste drie?

Stel weer een vergelijking op en los deze op.

11s

Bij een voorstelling in de schouwburg Junushoff in Wageningen kost een kaartje € 25,-. De schouwburg geeft bij die voorstelling korting aan groepen van meer dan 10 personen. Dat gaat zo:

een groep van 11 personen krijgt op elk van de 11 kaartjes € 0,50 korting;
een groep van 12 personen krijgt op elk van die 12 kaartjes een korting van € 1,-;
een groep van 13 personen krijgt op elk van de 13 kaartjes een korting van € 1,50.
Zo gaat dat door tot een groep van 30 personen.
Bij een groep van 30 of meer personen is de korting op elk kaartje € 10,-.

Een groep van 17 personen bezoekt die voorstelling.

Bereken de totale entreeprijs van de groep.

Een groep van $x$ personen (met $11 \leq x \leq 30$ ) bezoekt die voorstelling.

Laat zien dat de totale entreeprijs van de groep, uitgedrukt in $x$ , gelijk is aan $30 x - 0,5 x^{2}$ .

Bereken $x$ , als gegeven is dat deze totale entreeprijs € 432,- is.

We bekijken twee dierenpensions waarin een aantal katten en een aantal honden wonen. In beide pensions is het product van het aantal katten en het aantal honden 210.

In het ene pension zijn er 11 katten meer dan honden. Noem het aantal honden $h$ .

Hoeveel katten (uitgedrukt in $h$ ) zitten er dan in het pension?

Stel een vergelijking op en bereken het aantal honden en katten.

In het andere pension is het totaal aantal dieren 37.

Bereken het aantal honden en katten door een vergelijking op te lossen.

In plaats van een vergelijking op te lossen, hadden we ook een tabel kunnen maken.

Maak een tabel waarbij het product van het aantal katten en het aantal honden 210 is en bepaal de antwoorden van vraag b en c met deze tabel.

Landbouwer Berends heeft een vierkant stuk land. Het stuk land van Ermers dat er naast ligt, is 30 meter korter en 40 meter smaller dan het land van Berends.
De oppervlakte van het stuk land van Berends is twee keer zo groot als het land van boer Ermers.
Wat zijn de afmetingen van de twee stukken land?
Bereken die afmetingen door het oplossen van een vergelijking.
Maak eventueel een schets van de situatie.

Een vierkant en vier rechthoeken van 6 bij $x$ cm worden zo neergelegd dat een groot vierkant ontstaat. De oppervlakte van dit grote vierkant is 441 cm².

Bereken de zijden van het kleine vierkant.
Stel daarbij een vergelijking op in $x$ en los die op.

Bereken de lengte van de diagonaal $d$ van het kleine vierkant.

Alles door elkaar

Los de volgende vergelijkingen op.

$x^{2} - 10 x + 9 = 0$	$5 x^{2} = 80$
${(3 + x)}^{2} = 49$	$12 - 2 x = 2 x^{2}$
$x + 2 = 64$	${(x + 2)}^{3} = 64$

Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden van $20$ en $40$ . De hoekpunten van een rechthoek met oppervlakte $168$ liggen op de zijden van de driehoek, zie figuur. De hoogte van de rechthoek noemen we $x$ .

Toon aan: $x^{2} - 20 x + 84 = 0$ .

(hint)

Uit gelijkvormigheid volgt dat de andere zijde van de rechthoek

40 - 2 x

is.

Los de vergelijking uit het voorgaande onderdeel op.

Hiernaast zie je het kunstwerk van Piet Mondriaan uit 1932: “Composition with Blue and Red”.

Druk de oppervlakte van het rode en het blauwe gebied uit in $x$ .
Geef een uitdrukking zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Het witte gebied bestaat uit $4$ delen.

Druk de oppervlakte van dit gebied in $x$ uit.
Geef een uitdrukking zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Het gele gebied is het kleinst, wellicht is dat een reden waarom dit niet in de titel genoemd wordt.

De oppervlakte van dit gele gebied is $1$ .

Bereken $x$ .

Bereken de oppervlakte van het rode gebied.

Het lijkt erop dat meer dan de helft van het schilderij rood is.

Bereken exact welk deel van het schilderij rood geverfd is

Hassan heeft een vlieger gemaakt waarvan de diagonalen lengteverschil $4$ hebben. De oppervlakte van de vlieger is $30$ .
De lengte van de lange diagonaal noemen we $x$ .

Toon aan dat $x^{2} - 4 x - 60 = 0$ .

Bereken $x$ .