Jan eet twee keer zoveel als Piet. Samen eten ze $2$ hele pizza’s.

Hoeveel heeft ieder gegeten?

(hint)

Neem $x$ voor het aantal van Piet en stel een vergelijking op.

Niet elke vergelijking heeft als antwoord een geheel getal. In deze paragraaf gaan we rekenen met breuken. We beginnen met een herhaling.

Als je breuken bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt, moet je er voor zorgen dat de noemers gelijk zijn.

Als je breuken vermenigvuldigt, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

In wiskundetaal: $\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{d} = \frac{a b}{c d}$ .

Als je wilt oefenen in het rekenen met breuken, maak je de Rekentechniek.

De Rhind-papyrus (2000-1550 v. Chr) is een van de oudste wiskundige geschriften op de wereld. Uit dit papier weten we bijvoorbeeld dat de Egyptenaren alle breuken (met uitzondering $\frac{2}{3}$ ) uitdrukten als som van verschillende stambreuken. Stambreuken zijn breuken met teller $1$ .
Zo schreven ze $\frac{2}{9}$ als $\frac{1}{6} + \frac{1}{18}$ .
En $\frac{8}{11}$ als $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{22} + \frac{1}{66}$ .

Hoe denk jij dat een Egyptenaar de breuk $\frac{5}{6}$ op zou schrijven? En $\frac{2}{5}$ ?

Bereken (de eerste is al als voorbeeld gedaan, $x$ is een variabele).

$\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12}$

$\frac{2}{5} + \frac{3}{7}$

$\frac{3}{5} - \frac{2}{3}$

$5 \cdot \frac{13}{5}$

$5 \cdot \frac{x}{5}$

$3 \cdot \frac{2}{3} x$

$\frac{5}{7} x \cdot 7$

Neem over in je schrift en vul in.

$..... \cdot \frac{3}{7} = 3$

$9 \cdot ..... = 4$

$..... \cdot \frac{6}{x} = 6$

$5 \cdot ..... = x$

$\frac{5}{x + 2} \cdot ..... = 5$

Systematisch oplossen

We gaan nu vergelijkingen oplossen die ingewikkelder zijn omdat er breuken in voorkomen.

$\frac{2}{3} x + 4$	$=$	$\frac{1}{2} x + 2 \frac{2}{3}$	MIN $\frac{1}{2} x$
$\frac{1}{6} x + 4$	$=$	$2 \frac{2}{3}$	MIN 4
$\frac{1}{6} x$	$=$	$‐1 \frac{1}{3}$	MAAL 6
$x$	$=$	$‐8$

Hierbij is flink wat gerekend met breuken. Het kan allemaal eenvoudiger als je meteen de breuken wegwerkt. Dat doe je door te vermenigvuldigen met de noemers! Als volgt:

$\frac{2}{3} x + 4$	$=$	$\frac{1}{2} x + 2 \frac{2}{3}$	MAAL 3
$2 x + 12$	$=$	$1 \frac{1}{2} x + 8$	MAAL 2
$4 x + 24$	$=$	$3 x + 16$	MIN 24
$4 x$	$=$	$3 x - 8$	MIN $3 x$
$x$	$=$	$‐8$

Om de noemers weg te werken hebben we vermenigvuldigd met $3$ en daarna nog eens met $2$ . Dat had ook in één keer gekund door te vermenigvuldigen met $6$ .

We gaan de vergelijking $4 + \frac{1}{3} x = \frac{1}{4} x + 3$ oplossen.

Met welk getal moet je vermenigvuldigen om in één klap de breuken weg te krijgen?

Los de vergelijking op. Controleer ook je antwoord.

Los de volgende vergelijkingen op. Controleer ook je antwoord. Bedenk goed met welk getal je moet vermenigvuldigen om in één klap alle breuken weg te krijgen.

$\frac{1}{2} x + 2 = \frac{1}{5} x - 1$	$\frac{f}{3} = 4 - f$
$‐ \frac{5}{8} x - 2 \frac{2}{3} = \frac{1}{2} x + 6 \frac{1}{3}$	$\frac{t - 6}{t} = 3$
$0,3 y - 1 = 3 - 0,1 y$	$\frac{5}{p + 1} = 4$

Los de volgende vergelijkingen op. Controleer ook je antwoord.

$\frac{5}{x} + 2 = ‐ \frac{5}{2 x} + 5$	$\frac{3 x - 8}{7} = \frac{2}{7} x - 1$
$\frac{‐7}{2 x + 1} = ‐2 \frac{4}{5}$	$\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{5}{x}$

In de volgende vergelijkingen komen haakjes en breuken voor. Je kunt dat soort vergelijkingen oplossen door het volgende schema te volgen.

Voorbeeld

$\frac{1}{3} (x - 4) + 3 x$	$=$	$2 (x + \frac{1}{2}) - 3$	haakjes wegwerken
$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} + 3 x$	$=$	$2 x + 1 - 3$	breuken wegwerken (MAAL 3)
$x - 4 + 9 x$	$=$	$6 x + 3 - 9$	vereenvoudigen
$10 x - 4$	$=$	$6 x - 6$	$x$ -en aan één kant (MIN $6 x$ )
$4 x - 4$	$=$	$‐6$	gewone getallen aan de andere kant (PLUS 4)
$4 x$	$=$	$‐2$	herleiden tot $x = .....$ (DELEN DOOR 4)
$x$	$=$	$‐ \frac{1}{2}$

Controleren:

$\frac{1}{3} (x - 4) + 3 x = \frac{1}{3} (‐ \frac{1}{2} - 4) + 3 \cdot ‐ \frac{1}{2} = ‐3$

$2 (x + \frac{1}{2}) - 3 = 2 (‐ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - 3 = ‐3$

Conclusie: als $x = ‐ \frac{1}{2}$ , dan is het linkerlid gelijk aan het rechterlid.

Los de volgende vergelijkingen op.

$2 (x + \frac{1}{5}) + x = 6 - x$	$2 (x + 4) + 3 (x - 5) = ‐17$
$5 - \frac{1}{3} x = \frac{1}{2} (x + 2)$	$\frac{5}{7} (x - 5) = \frac{2}{3} (2 x + 27) - 81$
$\frac{12 - x}{x} = ‐3$

Wil je meer oefenen met het systematisch oplossen van vergelijkingen, ga naar de site van WisWeb en kies Lineaire vergelijkingen, strategie of Lineaire vergelijkingen, oefenen of Lineaire vergelijkingen, toets.
Kies niveau 4 of 5.

Janneke wil de vergelijking $\frac{2}{3} (x + 5) = \frac{1}{2} (9 - x) + 7$ oplossen zonder eerst de haakjes weg te werken. Ze vermenigvuldigt beide kanten van de vergelijking met $6$ . De vergelijking wordt dan volgens haar: $4 (6 x + 30) = 3 (54 - 6 x) + 42$ .

Los die vergelijking op.

Controleer het antwoord in de vergelijking
$\frac{2}{3} (x + 5) = \frac{1}{2} (9 - x) + 7$ .

Zoals je ziet klopt je antwoord niet in de oorspronkelijke vergelijking die Janneke wilde oplossen.

Wat heeft Janneke verkeerd gedaan?

Een koe weegt $500$ pond plus de helft van haar eigen gewicht. Wat weegt de koe?
Noem het gewicht, in pond, van de koe $x$ .

Stel een vergelijking op voor $x$ en los die op.

Het raadsel van Diophantus.
Diophantus jeugd duurde $\frac{1}{6}$ deel van zijn leven. Hij kreeg een baard nadat nog eens $\frac{1}{12}$ deel van zijn leven was verstreken. Na nog eens $\frac{1}{7}$ deel van zijn leven ging hij trouwen. Vijf jaar later kreeg hij een zoon. De zoon werd precies half zo oud als zijn vader. Diophantus stierf vier jaar na de dood van zijn zoon.
Noem het aantal jaren dat Diophantus heeft geleefd $x$ .

Stel een vergelijking op voor $x$ en bereken $x$ .

(hint)

De vergelijking is $\frac{1}{6} x + \frac{1}{12} x + \frac{1}{7} x + 5 + \frac{1}{2} x + 4 = x$ .

Diophantus (200-284 n.Chr.) wordt ook wel de ‘vader van de algebra’ genoemd. Hij was de eerste Griekse wiskundige die breuken als getallen erkende. Ook introduceerde hij het consequent gebruiken van kleine letters voor onbekende waarden en constanten.
Een diophantische vergelijking die naar hem is benoemd, is een vergelijking met minimaal twee geheeltallige onbekenden. Een voorbeeld hiervan is de stelling van Pythagoras $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , waarbij gezocht wordt naar gehele lengten voor de zijden $a$ , $b$ en $c$ .

Een Arabier laat per testament aan zijn drie zonen $17$ kamelen na; de oudste krijgt de helft, de tweede krijgt het derde deel en de jongste krijgt het negende deel.

Laat zien dat de erfenis zo niet helemaal verdeeld wordt.

In het stripverhaal wordt het probleem opgelost door een kameel te lenen. Dus door $18$ kamelen te verdelen in plaats van $17$ .

Hoeveel kamelen krijgt ieder dan?

Van de $18$ kamelen blijft er dus $1$ over. Die wordt terug gegeven.
Op die manier worden de $17$ kamelen verdeeld en blijft er niets over.

Hoeveel krijgt ieder meer dan vader in zijn testament had staan?