Mijn buurman legt een vierkant terras met vierkante tegels. Hij werkt vanuit de hoek linksonder. Hij gebruikt vierkante betontegels die op een grote stapel voor zijn huis liggen. Op een gegeven moment heeft buurman een stuk van 6 bij 6 tegels gelegd. Hij wil het stuk uitbreiden tot een stuk van 7 bij 7 tegels.

Hoeveel tegels moet hij dan van de stapel halen (in de tekening links donkerblauw)?

Hoeveel tegels moet hij halen als hij een stuk van 15 bij 15 tegels wil uitbreiden tot een stuk van 16 bij 16 tegels?

En hoeveel als hij een stuk van $n$ bij $n$ tegels wil uitbreiden tot een stuk van $n + 1$ bij $n + 1$ tegels?

Bereken het aantal tegels dat je nodig hebt voor een terras van $n + 1$ bij $n + 1$ tegels op de volgende twee manieren.

Manier 1: het aantal tegels voor een terras van $n$ bij $n$ tegels + het aantal tegels dat erbij komt.

Manier 2: het aantal tegels in de lengte × aantal tegels in de breedte.

Welke gelijkheid vind je?

Bereken met deze formule $101^{2}$ .

Een vierkant terras is gelegd met $n^{2} + 10 n + 25$ tegels. Dat zie je in het plaatje.

Hoeveel tegels liggen er op elk van de vier delen van het terras?

Wat zijn de afmetingen van dit terras (lengte en breedte)?

Welke gelijkheid vind je als je de oppervlakte van het terras op twee manieren opschrijft?

figuur 1

In figuur 1 is een terras getekend van $n + 4$ bij $n + 3$ tegels.

Hoeveel tegels liggen er op elk van de vier delen van het terras?

Welke gelijkheid vind je als je de oppervlakte van het terras op twee manieren opschrijft?

Een ander terras meet $n + 2$ bij $n + 5$ tegels.

Teken een plaatje bij dit terras. Vermeld de afmetingen erbij.

Welke gelijkheid vind je door de oppervlakte van dit terras op twee manieren op te schrijven?

figuur 2

Een rechthoekig terras is gelegd met $n^{2} + 6 n + 8$ tegels.

Welke gelijkheid vind je door de oppervlakte van het terras op een andere manier op te schrijven?
Je kunt gebruik maken van figuur 2.

Een rechthoek van lengte 10 en breedte 7 heeft oppervlakte 70. Een tweede rechthoek is iets langer en ook iets breder; de lengte is $10 + a$ , de breedte is $7 + b$ .

Hoeveel is de oppervlakte van de rechthoek groter dan 70 (uitdrukken in $a$ en $b$ )?

Hoe kun je $(10 + a) (7 + b)$ zonder haakjes schrijven?

Het getal $100 + p$ vermenigvuldigen we met $3 + q$ : dus $(100 + p) (3 + q)$ .
De uitkomst bestaat uit vier termen.

Schrijf die uitkomst op.

Schrijf $(a + 3) (b + 5)$ zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk (kijk naar onderdeel a). Maak er eventueel een plaatje bij.

$a$ , $b$ , $c$ en $d$ zijn getallen. $(a + b) (c + d)$ is een product van twee tweetermen, omdat twee tweetermen $(a + b)$ en $(c + d)$ worden vermenigvuldigd.

Voor alle getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ geldt:
$(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ .

Controleer de bovenstaande gelijkheid voor de getallen $a = ‐1$ , $b = 5$ , $c = ‐ 7$ en $d = 3$ .

Als je twee tweetermen vermenigvuldigt, bestaat de uitkomst uit vier termen. Elke term van de eerste tweeterm moet worden vermenigvuldigd met elke term van de tweede tweeterm.

Teken voor positieve getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ een plaatje bij de gelijkheid $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ .
Leg uit hoe je aan de hand van het plaatje de gelijkheid kunt begrijpen.

De gelijkheid $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ kun je gebruiken om de getallen 34 en 27 te vermenigvuldigen: $34 \cdot 27 = (30 + 4) (20 + 7) = 30 \cdot 20 + 30 \cdot 7 + 4 \cdot 20 + 4 \cdot 7 = \dots$ .

Welke uitkomst krijg je?

Bereken zo ook: $(2 + \frac{1}{2}) (3 + \frac{1}{2})$ . Controleer achteraf je uitkomst door het product $2 \frac{1}{2} \cdot 3 \frac{1}{2}$ met je rekenmachine uit te rekenen.

Vul in en bereken: $2 \frac{1}{2} \cdot 3 \frac{1}{2} = \frac{\dots}{2} \cdot \frac{\dots}{2} = \dots$ .
Vind je hetzelfde als in het vorige onderdeel?

Oefenen

Voorbeeld

$(x + 2) (x + 5) = x \cdot x + x \cdot 5 + 2 \cdot x + 2 \cdot 5$ en dit kun je korter schrijven als $x^{2} + 7 x + 10$ . Bij deze gelijkheid kun je een plaatje tekenen (zie figuur 1).

figuur 1

figuur 2

$(x + 2) (x - 7) = (x + 2) (x + ‐ 7) = x \cdot x + x \cdot ‐ 7 + 2 \cdot x + 2 \cdot ‐ 7 = x^{2} - 5 x - 14$ .

Bij $(x + 2) (x - 7)$ kun je ook een plaatje tekenen, al heeft dat weinig met de werkelijkheid te maken (zie figuur 2).

Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.
Kijk goed naar de voorbeelden hierboven. Maak er zo nodig een plaatje bij.

$(x - 3) (x - 7)$	$(x + 3) (x - 7)$
$(x + 8) (x - 1)$	$(x - 8) (x + 1)$
$(x + 4) (x - 4)$	$(x - 4) (x - 4)$
$(x - \frac{1}{2}) (x + 2)$	$(x + \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2})$

$(2 x - 3) (x - 7)$	$(2 x + 3) (x - 7)$
$(2 x + 8) (3 x - 1)$	$(2 x - 8) (3 x + 1)$
$(2 x + 4) (\frac{1}{2} x - 4)$	$(2 x - 4) (2 x - 4)$
$2 (x - \frac{1}{2}) (x + 2)$	$2 (x + \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2})$

${(p + 2 q)}^{2}$	${(p - 2 q)}^{2}$
${(5 p + 2 q)}^{2}$	${(5 p - 2 q)}^{2}$
${(‐ 5 p + 2 q)}^{2}$	${(‐ 5 p - 2 q)}^{2}$
$(‐ 5 p + 2 q) (5 p + 2 q)$	$(5 p - 2 q) (‐ 5 p + 2 q)$

Wil je meer oefenen met het uitschrijven van haakjes, ga naar de site van AlgebraKiT en kies niveau 1 of niveau 2 of niveau 3.

In opgave 4 heb je met knippen de volgende gelijkheid gezien.
$a (a + 1) = (a + 2) (a - 1) + 2$
Laat zien dat deze gelijkheid juist is door de haakjes weg te werken.

Een marktkoopman koopt 20 kilo bessen in voor 2 euro per kilo.

Hij verkoopt ze voor $2 + x$ euro per kilo.
Hoeveel heeft hij verdiend?

De zaken gaan goed. In plaats van 20 kilo, koopt hij $n$ kilo meer, dus $20 + n$ kilo.

Druk het bedrag dat hij ervoor moet betalen uit in $n$ .
Doe dat op twee manieren, met en zonder haakjes.

De verkoopprijs op de markt is $2 + x$ euro. Hij verkoopt al zijn bessen, dus $20 + n$ kilo. Het totale verkoopbedrag is $(2 + x) (20 + n)$ .

Schrijf dit zonder haakjes.

We hebben in opgave 20 een product van tweetermen als drieterm geschreven. Andersom kan ook. Doe dat bij:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 3) (x + 2)$	$x^{2} - 5 x + 6$
$x^{2} + 7 x + 6 = (x + \dots) (x + \dots)$	$x^{2} - 7 x + 6$
$x^{2} + x - 6$	$x^{2} - x - 6$
$x^{2} + 5 x - 6$	$x^{2} - 5 x - 6$

11s

12s

We hebben in opgave 20 een product van tweetermen als drieterm geschreven. Andersom kan ook. Doe dat bij:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 3) (x + 2)$	$4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$
$x^{2} + 7 x + 6$	$4 a^{2} - 5 a b + b^{2}$
$x^{2} - x - 6$	$2 a^{2} + 7 a b + 5 b^{2}$
$x^{2} + 5 x - 6$	$2 a^{2} + 11 a b + 5 b^{2}$

Wil je meer oefenen met ontbinden, ga naar de site van AlgebraKiT en kies niveau 1 of niveau 2.