Het gebruik van haakjes

Anne en Vinja zijn hun huiswerk aan het maken. Op een gegeven moment vraagt Anne: Twee keer drie plus vijf kwadraat, dat is toch honderdeenentwintig? Welnee, antwoordt Vinja, Volgens mij komt daar honderdachtentwintig uit. Beiden hebben geen rekenfouten gemaakt; ze hebben alleen de haakjes verschillend geplaatst. Anne rekent als volgt: ${(2 \cdot 3 + 5)}^{2} = {(6 + 5)}^{2} = 11^{2} = 121$ .

Hoe heeft Vinja gerekend?

Bij de rekensom twee keer drie plus vijf in het kwadraat kun je op nog drie andere manieren rekenen.

Probeer die drie manieren te vinden.

Zoek alle mogelijke antwoorden bij twee min drie maal vijf plus zeven.

Achmed en Peter hebben ook een meningsverschil. Twee keer drie kwadraat is volgens Achmed 18 en volgens Peter 36. Achmed heeft $2 \cdot 3^{2}$ uitgerekend.
Wat heeft Peter uitgerekend?

Je hebt eerder rekensommen met haakjes gemaakt. Soms kun je haakjes weglaten zonder dat de som verandert, soms niet. In de paragraaf Volgorde van hoofdstuk 1 kwam onder andere de volgende opgave voor.
Iemand heeft een getal in gedachten genomen. Dat getal noemen we $a$ . Je weet niet welk getal $a$ is; $a$ is een variabele.
Je gaat bij $a$ de getallen 4 en 2 optellen. Dat kan

met haakjes: $a + (4 + 2)$
en zonder haakjes: $a + 4 + 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Je gaat van $a$ de getallen 4 en 2 aftrekken. Dat kan

met haakjes: $a - (4 - 2)$
en zonder haakjes: $a - 4 - 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Je gaat $a$ met de getallen 4 en 2 vermenigvuldigen. Dat kan

met haakjes: $a \cdot (4 \cdot 2)$
en zonder haakjes: $a \cdot 4 \cdot 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Je gaat $a$ door de getallen 4 en 2 delen. Dat kan

met haakjes: $a : (4 : 2)$
en zonder haakjes: $a : 4 : 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Met de getallen 2, 3 en 4 kun je, door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken, veel getallen maken. Bijvoorbeeld: ${(2 + \sqrt{4})}^{3} = 64$

Maak op deze manier, door 2, 3 en 4 elk precies een keer te gebruiken, de getallen 1 tot en met 10. Je mag ook haakjes gebruiken. Sommige zijn erg lastig; geef het niet te snel op.

Misschien vind je het wel leuk om de getallen 11, 12, 13, ... zo te maken. Ze lukken natuurlijk niet allemaal.

Kun je op deze manier ook getallen maken die groter zijn dan 1000?

Soms kun je haakjes weglaten zonder dat de som verandert, soms niet. Met getallenvoorbeelden kun je achterhalen wanneer dat wel kan en wanneer niet.

Welke gelijkheden zijn juist?

$a + (b + c) = a + b + c$	$a + (b - c) = a + b - c$
$a - (b + c) = a - b + c$	$a - (b - c) = a - b - c$

Welke gelijkheden zijn juist?

$a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c$	$a \cdot (b : c) = a \cdot b : c$
$a : (b \cdot c) = a : b \cdot c$	$a : (b : c) = a : b : c$

Welke gelijkheden zijn juist?

$a \cdot (b + c) = a \cdot b \cdot c$	$a \cdot (b - c) = a \cdot b - c$
$a : (b + c) = a : b + c$	$a : (b - c) = a : b - c$

In eerdere hoofdstukken heb je de volgorde van de bewerkingen geleerd. Hier staan ze nog een keer op een rijtje.

De volgorde van bewerkingen.

Eerst wat tussen de haakjes staat uitrekenen.
Machtsverheffen (dus ook kwadrateren) gaat voor vermenigvuldigen en delen.
Vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aftrekken.

Met behulp van deze regels kun je de juiste uitkomst van lange berekeningen vinden. Als voorbeeld nemen we de volgende berekening:
$1 - 2 \cdot (3 - 4) + 5 : (6 + (7 - 8)) - 9 + 10$

We doen deze berekening voor. Kijk goed hoe dat werkt.

$1 - 2 \cdot (3 - 4) + 5 : (6 + (7 - 8)) - 9 + 10$	haakjes wegwerken
$1 - 2 \cdot ‐ 1 + 5 : (6 + ‐ 1) - 9 + 10$	haakjes wegwerken
$1 - 2 \cdot ‐ 1 + 5 : 5 - 9 + 10$	vermenigvuldigen en delen
$1 - ‐ 2 + 1 - 9 + 10$
$1 + 2 + 1 - 9 + 10$	optellen en aftrekken
$5$

Je kunt natuurlijk meer stappen in één keer maken.

Maak zo ook de volgende rekensommen.

$3 \cdot 5 + 20 : (2 - 6) - 3 \cdot (7 - 4) - (6 + (3 - 7))$

$3 \cdot (4 + 5) + {(6 - 9)}^{2}$

$(1 + 2 \cdot 3^{4} - 5 \cdot 6) : 7$

Daan, Sem en Thomas hebben samen 30 knikkers. Sem geeft 5 knikkers aan Thomas. Thomas geeft er 4 aan Daan en Daan geeft er 2 aan Sem. Nu hebben ze alledrie evenveel knikkers.
Hoeveel knikkers had Daan eerst?

Opmerking
$‐ 2 x$ moet je lezen als het tegengestelde van $2 x$ .
$‐ 2 \cdot x$ lees je als $‐ 2$ vermenigvuldigd met $x$ .
Er geldt: $‐ 2 x = ‐ 2 \cdot x$ .
$‐ x^{2}$ moet je lezen als het tegengestelde van $x^{2}$ .
${(‐ x)}^{2}$ is: het kwadraat van het tegengestelde van $x$ .

Laat zien dat $‐ 2 x = ‐ 2 \cdot x$ voor $x = ‐ 3$ , $‐ 1 \frac{1}{2}$ , 3, 12.

$‐ x^{2}$ en ${(‐ x)}^{2}$ zijn niet hetzelfde!
Vul maar eens voor $x = ‐ 3$ , $‐ 1 \frac{1}{2}$ , 3, 12 in.

Wat is het verband tussen $‐ x^{2}$ en ${(‐ x)}^{2}$ ?

Welke van de volgende vier getallen zijn gelijk?
$‐ a x$ , $a \cdot ‐ x$ , $‐ a \cdot ‐ x$ en $a x$ .
Vul voor $a$ en $x$ getallen in, ook negatieve.

Samengevat:

$‐ a \cdot x = a \cdot ‐ x = ‐ a x$
$‐ a \cdot ‐ x = a x$
${(‐ x)}^{2} = x^{2}$
$‐ x^{2}$ en $x^{2}$ zijn elkaars tegengestelde

Bereken $2 \cdot 3 \cdot 10^{2}$ , $2 \cdot {(3 \cdot 10)}^{2}$ en ${(2 \cdot 3 \cdot 10)}^{2}$ .
Je krijgt drie verschillende getallen, denk aan de volgorde van bewerkingen.

Hoeveel keer zo groot is ${(10 \cdot 133)}^{2}$ als $10 \cdot 133^{2}$ (zonder rekenmachine)?
Hoe kom je daarop?

${(10 x)}^{2} = 10 x \cdot 10 x = 10 \cdot x \cdot 10 \cdot x = 10 \cdot 10 \cdot x \cdot x = 100 x^{2}$ , dus ${(10 x)}^{2}$ is 10 keer zo groot als $10 x^{2}$ .

Hoe schrijf je ${(a b)}^{2}$ zonder haakjes?

Schrijf ${(‐ 3)}^{2}$ , ${(‐ 3)}^{3}$ en ${(‐ 3)}^{4}$ zonder haakjes.

Schrijf ${(‐ a)}^{2}$ , ${(‐ a)}^{3}$ en ${(‐ a)}^{4}$ zonder haakjes.

De distributiewet

Uitdrukkingen met variabelen waar haakjes in voorkomen, kun je ook zonder haakjes schrijven.

Distributiewet
$a (b + c) = a b + a c$
$a (b - c) = a b - a c$

$8 \cdot 10 = 80$ en $8 \cdot 7 = 56$ , dus $8 \cdot 17 = 80 + 56 = 136$ .
Hier pas je de distributiewet $a (b + c) = a b + a c$ toe.

Wat zijn de getallen $a$ , $b$ en $c$ ?

De distributiewet $a (b - c) = a b - a c$ kun je toepassen om $18 \cdot 999$ uit te rekenen.

Wat neem je dan voor $a$ , $b$ en $c$ ? Bereken ook $18 \cdot 999$ .

Bij de twee gelijkheden kun je plaatjes maken.
In figuur 1 zie je drie keer dezelfde rechthoek (in tweeën gedeeld).

figuur 1

Kleur op het werkblad in de eerste rechthoek het gebied met oppervlakte $a (b + c)$ , in de tweede het gebied met oppervlakte $a b$ en in de derde het gebied met oppervlakte $a c$ .
Je ziet: $a (b + c) = a b + a c$ .

figuur 2

In figuur 2 zie je weer drie keer eenzelfde rechthoek (in tweeën gedeeld).

Kleur op het werkblad in de eerste rechthoek het gebied met oppervlakte $a (b - c)$ , in de tweede het gebied met oppervlakte $a b$ en in de derde het gebied met oppervlakte $a c$ .
Je ziet: $a (b - c) = a b - a c$ .

Maar de gelijkheden kloppen voor alle getallen.

Controleer de gelijkheid $a (b - c) = a b - a c$ voor $a = ‐ 2$ , $b = 3$ en $c = ‐ 4$ .

Schrijf zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.
$3 (x + 5) + 3 (x - 5)$
$‐ 3 (x - 5) + 2 (x - 5)$
$‐ 3 x^{2} + {(3 x)}^{2}$
$a (2 a + b) + b (‐ a - 2 b)$

$a$ en $b$ zijn getallen. Een uitdrukking als $a + b$ heet een tweeterm, omdat er twee termen worden opgeteld; $a$ en $b$ zijn de termen.
Ook $3 a^{2} + 17 a b$ is een tweeterm; $3 a^{2}$ en $17 a b$ zijn de termen.
$3 a^{2} + 17 b - a b + 2012$ is een vierterm.