15.5  Oppervlakte en inhoud >
Oppervlakte
1
figuur 1
figuur 2

In figuur 1 zijn de zijden van de middelste rechthoek 2 keer zo groot als die van de kleine rechthoek.
De zijden van de grote rechthoek zijn 3 keer zo groot als die van de kleine rechthoek.

a

Hoe vaak past de linker rechthoek in de middelste?
En in de grootste? Laat dat met een tekening op het werkblad zien.

In figuur 2 zijn de zijden van de middelste driehoek 2 keer zo groot als die van de kleine driehoek.
De zijden van de grote driehoek zijn 3 keer zo groot als die van de kleine driehoek.

b

Laat weer in een tekening zien hoe vaak de kleine driehoek in de middelste past en ook in de grootste.

Als twee figuren gelijkvormig zijn en de zijden van de ene figuur zijn f keer zo groot als de zijden van de andere figuur, dan is de oppervlakte van de ene figuur f   2 keer zo groot als de oppervlakte van de andere figuur.

Dit geldt niet alleen voor driehoeken, vierhoeken, enz. maar ook als de rand niet uit rechte stukken bestaat. Bijvoorbeeld voor cirkels.

Voorbeeld:

De factor van de kleine naar de grote rechthoek is 2 1 2 . Dus de oppervlakte van de grote rechthoek is ( 2 1 2 ) 2 = 6 1 4 maal zo groot.
Dat de oppervlakte 6 1 4 maal zo groot is, zie je ook door de oppervlaktes op elkaar te delen: 50 : 8 = 6 1 4 .

2

Een A4-tje meet 21 bij 30 cm. Het deel dat daarvan bedrukt is, is de zogenaamde bladspiegel. Die is in de figuur 12,6 bij 18 cm.

a

Reken na dat de bladspiegel gelijkvormig is met het hele vel.

b

Hoeveel procent van het vel wordt in beslag genomen door de bladspiegel.

In een boek is het bedrukte deel in zowel hoogte als breedte 80% van de pagina.

c

Hoeveel procent van de pagina wordt in beslag genomen door het bedrukte deel?

3

Bekijk de cirkel in figuur 1. Er is een rooster onder de cirkel getekend.

a

Kleur in figuur 1 op je werkblad de hele hokjes binnen de cirkel.

De cirkel in figuur 1 is inclusief rooster uitvergroot met factor 2. Het resultaat zie je in figuur 2.

b

Kleur in figuur 2 de hele hokjes binnen de cirkel.

c

Hoe vaak past een hokje van figuur 1 in een hokje van figuur 2?

d

Hoeveel keer zo groot is de gekleurde oppervlakte van figuur 2 als de gekleurde oppervlakte van figuur 1?

De oppervlakte van de gekleurde gebieden zijn grove benaderingen voor de oppervlakte van de cirkels.

e

Hoe moet je het rooster veranderen om betere benaderingen voor de oppervlaktes van de cirkels te vinden?

Door hokjes in zeer fijne roosters te kleuren, kun je de oppervlakte van de cirkels goed benaderen (zo nauwkeurig als je maar wilt).
De oppervlakte van het gekleurde gebied in de grote cirkel is steeds 4 keer de oppervlakte van het gekleurde gebied in de kleine cirkel. Zo zie je dat de oppervlakte van de grote cirkel vier keer de oppervlakte van de kleine cirkel is.

4

Een cirkel met straal 1 cm heeft oppervlakte π  cm2.

a

Wat is de oppervlakte van een cirkel met straal 2 cm?
En met straal 5 cm? En met straal 1 dm = 10 cm?

b

Wat is de oppervlakte van een cirkel met straal r cm?

Inhoud

Je kunt ook ruimtelijke figuren vergroten en verkleinen.

5

We vergelijken drie houten blokken, van dezelfde houtsoort, maar verschillend van grootte. De ribben van het middelste blok zijn 2 keer zo groot als die van het kleinste blok. De ribben van het grootste blok zijn 3 keer zo groot als die van het kleinste blok.

Het middelste en het grootste blok kunnen allebei gevuld worden met een heleboel kopieën van het kleinste.

a

Teken op het werkblad hoe de kopieën van het blok in het middelste blok passen.
En ook hoe ze in het grootste blok passen.

Het middelste blok is natuurlijk zwaarder dan het kleinste blok.

b

Hoeveel keer zo zwaar?

c

Hoeveel keer zo zwaar is het grootste blok als het kleinste?

Als twee ruimtelijke figuren gelijkvormig zijn en de ribben van de ene figuur zijn f keer zo groot als de ribben van de andere figuur, dan is de inhoud van de ene figuur f   3 keer zo groot als de inhoud van de andere figuur.


Dit geldt niet alleen voor blokken, maar ook voor piramides, prismas, enz. en zelfs als de buitenkant gebogen is, zoals bij cilinders, kegels en bollen.

Voorbeeld:

De factor van de kleine naar de grote balk is 2 . De inhoud van de grote balk is dan 2 3 = 8 maal zo groot.
Dat de inhoud 8 maal zo groot is, zie je ook door de inhouden op elkaar te delen: ( 6 8 4 ) : ( 3 4 2 ) = 8 .

6

We gaan verder met de drie blokken van de vorige opgave.
We kunnen van de blokken een draadmodel maken, Dat wil zeggen dat we staven van de juiste lengte aan elkaar lassen, zó dat precies de drie blokken ontstaan. (Die zijn verder helemaal open.)
Stel dat voor het kleinste blok in totaal 32 cm staaf nodig is.

a

Hoeveel cm staaf is dan nodig voor het middelste blok?
En voor het grootste blok?

We kunnen van elk blok ook een dicht kartonnen model in elkaar vouwen. (We gebruiken geen plakrandjes, maar plakken de grensvlakken met plakband.) De modellen zijn dus hol.
Stel dat voor het kleinste blok 36 cm2 karton nodig is.

b

Hoeveel cm2 karton is dan nodig voor het middelste blok?
En voor het grootste blok?

7

Vergelijk de twee kubussen.

a

Wat is verhouding van de ribben van de grote kubus en de ribben van de kleine kubus?

De diagonalen van de grote kubus zijn natuurlijk langer dan die van de kleine kubus.

b

Hoeveel keer zo lang?

De oppervlakte van de grensvlakken van de grote kubus is natuurlijk groter dan de die van de kleine kubus.

c

Hoeveel keer zo groot?

De inhoud van de grote kubus is natuurlijk groter dan de die van de kleine kubus.

d

Hoeveel keer zo groot?

8
9

We vergelijken twee kubussen, een met ribbe 1 cm en een met ribbe 1 dm.
De ribbe van de grote kubus is dus 10 keer zo groot als de ribbe van de kleine kubus.

a

Hoeveel keer zo groot is de oppervlakte van de kleine kubus als de oppervlakte van de grote kubus?

b

Hoeveel keer zo groot is de inhoud van de kleine kubus als de inhoud van de grote kubus?

8s
9s

De afmetingen van King Kong waren 15 keer zo groot als de afmetingen van een normale gorilla (zie opgave 15). Een normale gorilla weegt 150 kg.

a

Hoeveel zou King Kong hebben gewogen?

b

Crabzilla (zie opgave 14) weegt 15 kg.

Hoe zwaar is de gewone krab ongeveer?

Dit klopt precies met wat je allang weet:

  • een oppervlakte in dm2 reken je om in cm2 door er twee 0'en achter te plaatsen (of de komma twee plaatsen naar rechts te schuiven);

  • een inhoud in dm3 reken je om in cm3 door er drie 0'en achter te plaatsen (of de komma drie plaatsen naar rechts te schuiven).

10

We kijken nog even naar opgave 19.
Een piramide heeft een grondvlak van 4 bij 4. De top ligt midden boven het grondvlak op hoogte 3. Zijn inhoud is 16.
Er zijn piramides die gelijkvormig zijn met deze piramide.

a

Wat is de inhoud als het grondvlak 8 bij 8 meet?

b

En als het grondvlak 10 bij 10 meet?

c

Wat is de inhoud als de hoogte 4,5 is?

d

En als de hoogte 2 is?

11

Een bol met straal 1 cm heeft een inhoud van 1 1 3 π  cm3.

a

Wat is de inhoud van een bol met straal 3 cm?
En met straal 5 cm? En met straal 1 dm = 10 cm?

b

Wat is de inhoud van een bol met straal r   cm?

12

In Giza, vlak bij Caïro, staan de piramides van Mycerinos, Chephren en Cheops. De grootste, de piramide van Cheops, is de bekendste.
Deze piramides, die ongeveer 4500 jaar geleden werden gebouwd, zijn gelijkvormig.
De kleinste van de drie is 92 meter breed en 58 meter hoog. De piramide van Cheops is 230 meter breed.

a

Met welke factor moet je de kleinste piramide vergroten om de piramide van Cheops te krijgen?

b

Bereken de hoogte van de piramide van Cheops.

De kleinste piramide is opgebouwd uit ongeveer 125.000 kalkzandstenen. Zo'n zandsteen weegt 4000 kilo.

c

Hoeveel ton (1 ton = 1000 kilo) weegt de kleinste van de drie piramides?

d

Hoeveel ton weegt de piramide van Cheops?