0.1 Grafieken >

Hoofdstukken > Grafieken

In een grafiek zijn gegevens overzichtelijk in beeld gebracht. Je kunt er allerlei veranderingen mee zichtbaar maken.
Hieronder zie je bijvoorbeeld drie grafieken over het temperatuurverloop gedurende 24 uur (een dag).

Leg uit waarom grafiek 1 zeer ongeloofwaardig is.

Grafieken 2 en 3 beschrijven het temperatuurverloop van twee dagen in Nederland.

Beschrijf voor beide dagen het temperatuurverloop.

Geef enkele duidelijke verschillen tussen grafieken 2 en 3.

In een grafiek wordt het verband tussen twee grootheden weergegeven.
Een grootheid is iets wat je kunt meten.
Voorbeelden zijn lengte, oppervlakte, temperatuur, tijd, inhoud en snelheid.
De bijbehorende eenheid is de maat waar je de grootheden in meet.
Voorbeelden zijn meter, m², $°$ C, jaar, liter en km/u.

Door het verband van twee grootheden in een grafiek weer te geven, kun je aflezen hoe de twee grootheden met elkaar samenhangen.

Zie bijvoorbeeld hieronder een grafiek van de totale hoeveelheid gereden kilometers met de auto in Italië.

Deze grafiek kun je opdelen in verschillende stukken:

stukken waar de grafiek stijgt;
stukken waar de grafiek daalt;
stukken waar de grafiek constant is.

Red Bull Stratos project
De Oostenrijker Felix Baumgartner deed in oktober 2012 een recordpoging om met een vrije val te proberen een snelheid te halen groter dan de geluidssnelheid. Hij sprong hiervoor met een speciaal ruimtepak van ruim 39 km hoogte vanuit een luchtballon.
Hieronder staat een grafiek van zijn snelheid tijdens het begin van zijn sprong.

Welke grootheden horen er bij dit verband? En wat zijn de bijbehorende eenheden?

In welke periode stijgt de grafiek? En in welke periode daalt de grafiek?

Wat is de grootste snelheid van Baumgartner tijdens zijn sprong (in m/s).
Hoeveel km/uur is dat?

De geluidssnelheid is ongeveer 300 m/s.
(Op die hoogte bij lage temperatuur eigenlijk iets minder.)

Hoeveel seconden ging Felix sneller dan het geluid?

Je zou denken dat Felix zijn parachute open heeft getrokken op het moment dat de snelheid afneemt. Dat is echter niet zo, want pas na ongeveer 10 minuten opende hij zijn parachute.

Probeer (op internet) een verklaring te vinden dat de snelheid vanaf een bepaald moment afneemt.

Yvon gaat op de fiets naar school. Haar broer Teun heeft een knieblessure en wordt door zijn moeder met de auto naar school gebracht. In de figuur hiernaast kun je zien hoe ver Yvon en haar moeder op elk moment van hun huis af zijn.

Welke van de twee lijngrafieken hoort bij de reis van Yvon en welke bij haar moeder? Hoe weet je dat?

Hoe ver wonen Yvon en Teun van school af? Hoe weet je dat?

Hoeveel stoplichten is Yvon waarschijnlijk tegengekomen onderweg? Hoe zie je dat?
Waarom weet je niet zeker hoeveel stoplichten ze onderweg is tegengekomen?

Yvon en haar moeder nemen dezelfde weg (Yvon over het fietspad, haar moeder over de weg) naar school. Yvon wordt onderweg ingehaald door haar moeder.

Lees uit de grafiek af hoe laat Yvon door haar moeder wordt ingehaald.
Hoeveel km moet ze dan nog fietsen naar school?

De grafiek hiernaast gaat over de gemiddelde lengte van jongens in Nederland.

Omschrijf nauwkeurig het verband dat hier wordt weergegeven.

Wat stelt één hokje horizontaal voor? En verticaal?

Neem de tabel hieronder over en vul het verder in.

leeftijd (jaar)	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
lengte (cm)	50	80

Hoe oud schat jij een jongetje dat $90$ cm lang is?
Hoe zeker ben je van je schatting?

In welke periode van 2 jaar groeit een jongen het snelst?

Hieronder zie je de waterstanden van Delfzijl van oudjaarsdag 2015 afkomstig van http://getij.rws.nl. De waterstand is in cm boven NAP (Normaal Amsterdams Peil).

Op welke tijdstippen is het op oudjaarsdag 2015 hoogwater?

Hoeveel tijd zit er tussen twee keer hoogwater?
Bereken hiermee hoe laat op nieuwjaarsdag 2016 het hoogwater is.

Hoeveel dm bedraagt het verschil tussen hoogwater en laagwater?

Een wadzeiler wil via de Waddenzee naar Delfzijl. Daarvoor moet hij door een vaargeul met een diepte van 3 m onder NAP. De boot heeft een diepgang van 2 meter.

Tussen welke tijdstippen op oudjaarsdag 2015 kan de boot niet door de vaargeul?

Een grafiek heeft een assenstelsel, bestaande uit een horizontale as en een verticale as.
Bij de assen moet altijd staan wat de grootheid en de bijbehorende eenheid is.

Bij een grafiek kun je een tabel maken. Zie opgave 4.
Natuurlijk kun je omgekeerd bij een tabel ook een grafiek maken:

Teken een assenstelsel;
De horizontale as komt altijd overeen met de bovenste rij van de tabel, de verticale as met de onderste rij van de tabel;
Kijk naar het grootste en kleinste getal van de bovenste rij: deze moeten in gelijke stappen over de horizontale as verdeeld worden; Kies een geschikte stapgrootte, zodat de horizontale as tussen 6 tot 10 cm lang is;
Kijk naar het grootste en kleinste getal van de onderste rij: deze moeten in gelijke stappen over de verticale as verdeeld worden; Kies ook nu een geschikte stapgrootte, zodat de verticale as tussen 6 tot 12 cm lang is;
Zet de namen van de grootheden en de eenheden bij de beide assen;
Elk tweetal getallen uit de tabel geeft een punt in de grafiek. Teken ze allemaal;
Teken een vloeiende lijn door de punten.
(Er bestaan ook grafieken waarbij de punten met rechte lijnstukken verbonden moeten worden.)

Voorbeeld:

Maak een grafiek bij de tabel hieronder voor het verband tussen de hoogte waarop een groep bergbeklimmers zich bevindt en de tijd.

tijd (uren)	0	1	2	3	4	6
hoogte (m)	2700	2900	3200	3000	2700	2600

Als je horizontaal stapgrootte 1 uur kiest en verticaal begint bij hoogte 0 met stapgrootte 500 m, dan krijg je figuur 1 hieronder. Dat is niet handig, want je krijgt een heel stuk ongebruikt assenstelsel.
Dan kan je beter een zogenaamde scheurlijn of zaagtand gebruiken. Zie figuur 2.
Je krijgt dan een grafiek die je nauwkeuriger kan tekenen.
Let op: Je mag nooit naast de zaagtand nog iets in de grafiek tekenen. En de zaagtand is één keer naar links en één keer naar rechts. Een zaagtand op de horizontale as is vrij ongebruikelijk.

figuur 1

figuur 2

Opmerking:

Zoals je in de voorbeelden en opgaven hiervoor al hebt kunnen zien, wordt de scheurlijn vaak weggelaten. Wel moet dan duidelijk bij de verticale as het begin van de schaalverdeling aangegeven zijn.

We kijken nog eens naar de figuren 1 en 2 uit voorgaand voorbeeld.

Als je in figuur 2 kijkt, dan lijkt de toename van de hoogte tussen tijdstip 0 en tijdstip 2 meer dan verdubbeld, tel de hokjes verticaal maar.

Hoeveel keer zo groot is de toename in werkelijkheid?

In de dagelijkse praktijk kan het vanwege het beeld dat het oproept reden zijn om figuur 1 te gebruiken, of juist figuur 2.

Als de klimmers willen benadrukken hoe hoog ze zijn geweest, welke figuur zullen ze dan gebruiken?
Als de klimmers willen benadrukken hoe snel ze geklommen hebben, welke figuur zullen ze dan gebruken?

Opmerking:

Een grafiek zonder scheurlijn is eerlijker, maar een grafiek met scheurlijn is nauwkeuriger te tekenen en af te lezen.
Een grafiek met scheurlijn kan zeer misleidend zijn als je niet goed naar de bijbehorende waarden kijkt. Deze misleiding wordt nogal eens - bewust of onbewust - gebruikt in publicaties, reclames en/of krantenartikelen.

Sharon is amateur meteoroloog. Elke twee uur meet ze de temperatuur in haar tuin. Hieronder staat een tabel met haar meetresultaten.

tijd (uur)	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
temperatuur ( $° C$ )	5	4	1	2	6	13	22	25	25	17	10	6	5

Teken de grafiek die bij deze tabel hoort.

Wat is volgens jouw grafiek de temperatuur om 11 uur ‘s ochtends?

Zou het kunnen dat de temperatuur om 11 uur 's ochtends in werkelijkheid 21 $°$ C was?

Wanneer is de temperatuur maximaal en wanneer minimaal?

Welk deel van deze dag was de temperatuur hoger dan 15 $°$ C?
Geef je antwoord afgerond op hele procenten.

Is het vanzelfsprekend dat de temperatuur om 0 uur hetzelfde is als de temperatuur om 24 uur?

Mark doet bij het vak biologie een onderzoekje naar de voortplanting van fruitvliegjes. In een oud aquarium stopt hij 200 fruitvliegjes en wat rottend fruit. Elke dag telt hij hoeveel fruitvliegjes er zijn. Deze gegevens heeft hij in een tabel gezet.

dag	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
aantal	200	220	240	270	290	320	350	390	430	480

Als je bij deze gegevens een grafiek wilt tekenen, dan is het in dit geval wel verstandig een scheurlijn te gebruiken.

Kies verstandig een schaalverdeling op de verticale as en teken de grafiek bij de tabel.

Een van de opdrachten bij het onderzoek is om een model te bedenken voor de groei van het aantal fruitvliegjes. Mark onderzoekt twee verschillende modellen.

Het aantal vliegjes neemt elke dag met 30 toe.
Het aantal vliegjes neemt elke dag met 10% toe.

Neem onderstaande tabel over en vul hem verder in. Rond de getallen in de onderste rij af op gehelen.

dag	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
model 1	200	230
model 2	200	220

Teken in je grafiek van vraag a (elk met een andere kleur) de grafieken van beide modellen erbij.

Bereken met beide modellen een schatting van het aantal fruitvliegjes na 12 dagen.

Welk model komt het best overeen met het werkelijke aantal fruitvliegjes?
Welke schatting van vraag d is (dus) het beste?

Zonnebloemen zijn snelgroeiende planten. Voor hun profielwerkstuk hebben twee leerlingen van een zonnebloem gedurende twintig weken elke twee weken de lengte gemeten.
Het resultaat van hun metingen hebben ze in hun verslag met de grafiek hiernaast weergegeven.

Het lijkt wel of de zonnebloem regelmatig groeit.

Door welke fout komt dat?

Teken een goede grafiek.

In welke periode groeide de zonnebloem het snelst?

Hoe groot wordt de zonnebloem uiteindelijk, denk je?

In de Verenigde Staten zijn in de loop van de tijd paarden en muilezels vervangen door tractoren. De twee grafieken van hun aantallen zijn in één figuur getekend. Om er voor te zorgen dat de beide grafieken in een plaatje passen, zijn er twee verschillende verticale schaalverdelingen gebruikt.

Boven de verticale assen staat “ $\times 10^{6}$ ”.

Wat wordt daarmee bedoeld?

De grafieken snijden elkaar bij het jaar 1945.

Hoeveel paarden en muilezels waren er toen? En hoeveel tractoren?

In 1950 waren er meer paarden en muilezels dan tractoren. Controleer of deze bewering waar is.

Leg uit dat er een tijdstip moet zijn geweest waarop er evenveel tractoren waren als paarden en muilezels.
In welk decennium (dat is een periode van 10 jaar) was dit tijdstip?

Maak een nieuwe tekening van de grafieken, zo dat je wel in één keer af kunt lezen wanneer er evenveel tractoren als paarden en muilezels waren.

Het voordeel van grafieken is dat je in een oogopslag een duidelijk totaalbeeld krijgt. Bovendien kun je grafieken sneller met elkaar vergelijken dan tabellen, zelfs als een schaalverdeling ontbreekt. Grafieken waarbij de schaalverdeling ontbreekt, noemen we globale grafieken.

Jan overlegt telefonisch met zijn vriendin Saskia over het huiswerk economie.
Jan: “Het aandeel "Fried Air" is in april constant gestegen, maar het verloor in de eerste week van mei vrijwel de hele winst van april. In de tweede en derde week van mei bleef het aandeel stabiel. In de laatste week van mei daalde het aandeel steeds sterker en eind mei was het bijna niets meer waard.”
Om het verhaal van Jan te kunnen volgen, schetst Saskia snel een globale grafiek.

Probeer ook de schets van Saskia te tekenen.

Teken een globale grafiek bij elk van de volgende situaties.

De werkgelegenheid klimt langzaam uit het dal.
De daling van de werkloosheid neemt af.
De ijskappen van Groenland en Antarctica smelten in steeds hoger tempo.
De snelste stijging van het Rijnwater is voorbij.

Hiernaast staan de globale grafieken van het temperatuurverloop in vijf steden gedurende een jaar.

Horizontaal is het kalenderjaar uitgezet, verticaal de gemiddelde maandtemperatuur.

Van welke van de vijf grafieken weet je zeker dat ze bij een stad horen die op het noordelijk halfrond ligt?

Welke grafiek hoort bij de stad die het dichtst bij de evenaar ligt?

De vijf steden zijn: Amsterdam, Sydney, Paramaribo, Pretoria en Moskou.

Welke grafiek hoort bij welke stad?

We onderscheiden zes manieren waarop een grafiek zich kan ontwikkelen:

$•$ Constante stijging	$•$ Afnemende stijging	$•$ Toenemende stijging
$•$ Constante daling	$•$ Afnemende daling	$•$ Toenemende daling

Schets bij elk van deze vormen van verandering een globale grafiek.

De grafiek staat ook op het werkblad.

Geef nauwkeurig de stukken aan met:
constante stijging, afnemende stijging, toenemende stijging, constante daling, afnemende daling en toenemende daling.