Bij een vierkant

De diameter van een figuur is zijn grootste breedte.
Dat is de afstand tussen twee punten van de figuur die het verst van elkaar liggen.
Wat is de diameter van een cirkel met straal 3 cm?

Van een regelmatige zeshoek noemen we de zijde $z$ , de diameter $d$ en de omtrek $p$ . (We gebruiken liever niet de letter $o$ , omdat die op de $0$ lijkt.)

Druk de diameter $d$ uit in de zijde $z$ .
Is het verband tussen $d$ en $z$ evenredig?

(hint)

De zeshoek kun je verdelen in regelmatige driehoeken.

Druk de omtrek $p$ uit in de zijde $z$ .
Is het verband tussen $p$ en $z$ evenredig?

Druk de omtrek $p$ uit in de diameter $d$ .
Is het verband tussen $p$ en $d$ evenredig?

Voor de omtrek gebruikten we de letter $p$ . Die komt van perimeter, het Griekse woord voor "rond meter".
De omtrek van een vlakke figuur is de totale lengte van de buitenkant. Dat is de afstand die je aflegt als je over de rand rondom de figuur loopt. Het woord omtrek is waarschijnlijk bedacht door Simon Stevin.

Van een vierkant noemen we de zijde $z$ , de diameter $d$ en de omtrek $p$ .

Druk de omtrek $p$ uit in de zijde $z$ .
Is het verband tussen $p$ en $z$ evenredig?

De diameter van een vierkant is zijn diagonaal. Het is niet zo eenvoudig die uit te drukken in de zijde $z$ . Als bijvoorbeeld de zijde 3 cm is, is de diameter ongeveer 4,2 cm.

Meet maar na in de figuur.

We gaan een grafiek van het verband tussen diameter en zijde van een vierkant maken. Horizontaal zetten we $z$ uit en verticaal $d$ . Het resultaat van vraag b is al weergegeven door een stip.

Teken een paar vierkanten en meet daarvan de zijde en de diameter. Zet je metingen overzichtelijk in een tabel en teken de grafiek van het verband tussen $z$ en $d$ .
Is het verband tussen $z$ en $d$ evenredig, denk je?

Geef een formule voor $d$ , uitgedrukt in $z$ .

Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, wordt de diameter ook verdubbeld.

Leg dat uit aan de hand van de figuur.

Als je de zijde van een vierkant 3 keer zo groot maakt, wordt de diameter ook 3 keer zo groot.

Teken een figuur aan de hand waarvan je dit kunt uitleggen.

Is het verband tussen zijde en diameter evenredig?

Opmerking

Op grond van metingen kun je onmogelijk een exacte formule te weten komen voor $d$ uitgedrukt in $z$ . Immers, tekeningen zijn niet helemaal goed, metingen zijn niet 100% goed en een liniaal is niet nauwkeurig genoeg gemaakt. Maar door nauwkeurig te werken, kom je de exacte formule wel aardig op het spoor.

Bij elk vierkant is de verhouding tussen diameter en zijde hetzelfde. De diameter is namelijk (ongeveer) 1,41 keer zo groot als de zijde.
Het verband tussen diameter en zijde is dus inderdaad evenredig: $d \approx 1,41 z$ .

$z \to MAAL 1,41 \to d$

$d \to DEEL DOOR 1,41 \to z$

Een verkeersbord "einde voorrangsweg" meet 60 bij 60 cm.

Hoeveel cm is het bord breed (van linker naar rechter punt)?

De langste zijde van een geodriehoek is 16 cm.

Hoeveel mm zijn de andere zijden?

Twee wegen, beide 8 m breed, kruisen elkaar loodrecht. Ed maakt geen gebruik van de zebrapaden, maar steekt het kruispunt schuin over (zie plaatje).
Bereken hoe lang Eds route is; afronden op dm.

In opgave 34 heb je gevonden: $p = 4 z$ . We weten nu ook dat $d \approx 1,41 z$ .

Welke formule geldt voor $p$ , uitgedrukt in $d$ ?

In een kubus met ribbe 7 cm is een diagonaalvlak getekend.

Bereken de oppervlakte van het diagonaalvlak; afronden op mm².

Van een vierkant noemen we de zijde $z$ en de oppervlakte $a$ .

Onderzoek of het verband tussen $a$ en $z$ evenredig is.

Zoals gezegd is de 1,41 niet helemaal precies. Preciezer is 1,4142135623730950488016887242, maar ook dat is het nog niet helemaal. Het exacte getal komt niet mooi uit: het is een irrationaal getal. We geven het een eigen naam; we noemen dat getal "di".

di is maar een eigen verzonnen naam; hij is niet algemeen gangbaar in de wiskunde.

Bij een cirkel

Van een cirkel noemen we de diameter $d$ en de omtrek $p$ . Het is niet zo eenvoudig $p$ uit te drukken in $d$ . De diameter van een 2 euro-muntstuk is 25,75 mm, en de omtrek 80,90 mm.

We gaan een grafiek van het verband tussen de diameter en de omtrek van een cirkel maken.

Horizontaal zetten we $d$ uit en verticaal $p$ . De gegevens van het 2 euro-muntstuk zijn al weergegeven door een stip.

Teken een paar cirkels en meet daarvan de diameter en de omtrek. Zet je metingen overzichtelijk in een tabel en teken de grafiek van het verband tussen $d$ en $p$ .

Is het verband tussen $d$ en $p$ evenredig, denk je?

Geef een formule voor $p$ , uitgedrukt in $d$ .

Bij elke cirkel is de verhouding tussen de omtrek en de diameter hetzelfde. De omtrek is namelijk (ongeveer) 3,14 keer zo groot als de diameter.
Het verband tussen omtrek en diameter is dus inderdaad evenredig: $p \approx 3,14 d$ .

$d \to MAAL 3,14 \to p$

$p \to DEEL DOOR 3,14 \to d$

Een verkeersbord "verplichte rijrichting" heeft een diameter van 60 cm.

Bereken de omtrek van het bord.

De buitenste halve cirkel van een gradenboog is 15 cm lang.

Bereken de diameter.

10s

11s

Binnen de cirkel is een zo groot mogelijke regelmatige zeshoek getekend en om de cirkel een zo klein mogelijk vierkant.

Leg uit hoe uit de figuur volgt:

de omtrek van een cirkel is groter dan 3 keer zijn diameter,
de omtrek van een cirkel is kleiner dan 4 keer zijn diameter.

Zoals gezegd is de 3,14 niet helemaal precies. Preciezer is 3,141592653589793238, maar ook dat is het nog niet helemaal. Het exacte getal komt niet mooi uit: het is een irrationaal getal. Daarom heeft het een eigen naam; het getal heet "pi", en we schrijven $π$ .
$π$ is de eerste letter van het Griekse woord perimeter voor omtrek. Het symbool is in 1706 ingevoerd door de Engelse wiskundige William Jones. Deze naam is wel officieel en wordt over de hele wereld gebruikt.

Op je rekenmachine zit een knop voor $π$ . Gebruik die voor de volgende opgaven.

Van een vélocipède (rond 1880) heeft het voorwiel een diameter van 125 cm en het achterwiel een diameter van 50 cm.

Bereken hoe vaak een spaak van het voorwiel rond gaat, als de fiets 100 meter aflegt.

Dezelfde vraag voor het achterwiel. Afronden op een geheel aantal keren.

Een stalen veer wordt gemaakt door een ijzerdaad om een staaf te wikkelen.
Bereken hoeveel ijzerdraad er nodig is voor een veer van 17 wikkelingen en een diameter van 2 cm. Afronden op cm.

Een rupsband ligt om twee even grote wielen. De afstand van de assen van de wielen is 4 meter. Het geheel, van onderste tot de bovenste punt, is 4,5 meter hoog.

Bereken de lengte van de rupsband, dus helemaal rond. Afronden op dm.

Een fabriek maakt uit vellen karton kokers om kalenders te versturen. De kokers zijn even lang als het vel karton breed is. Er gaan precies vijf kokers uit een vel van 1 meter lengte.

Bereken de diameter van de kokers. Afronden op mm.

Uit een ronde boomstam wordt een zo groot mogelijke balk gezaagd met een vierkante doorsnede. Met een touw wordt de omtrek van de boomstam gemeten: 4,71 m.

Bereken de breedte van de balk (dat is dus ook de hoogte). Afronden op cm.